Cuando hablamos en nuestro día a día del tiempo y los relojes, solemos asumir algo que podemos comprobar constantemente: el tiempo es una magnitud física absoluta, que nos permite entender la simultaneidad temporal como lo que hace posible identificar eventos físicos en el tiempo, de forma inequívoca, al suceder en el mismo instante.
Sin embargo, el desarrollo de la teoría de relatividad especial de Albert Einstein llevó a reconsiderar el carácter absoluto del tiempo (y el espacio). La lección principal de la teoría de relatividad especial es que, dependiendo de qué sistema de referencia se escoja —es decir, las condiciones físicas de los relojes y reglas usados—, medimos tiempos distintos y distancias distintas respecto de otros sistemas de referencia. El cambio de la medida del tiempo es lo que se conoce como dilatación temporal.
Definición de la dilatación del tiempo
La dilatación del tiempo (o dilatación temporal) es la variación en la medición del tiempo medido desde un sistema de referencia con respecto a otro sistema de referencia en distinto estado de movimiento.
La dilatación del tiempo se produce cuando un observador o sistema de referencia se mueve con respecto a otro observador con velocidad constante, lo que hace que el tiempo en su sistema de referencia fluya más lentamente.
Tiempo propio
El tiempo propio es el tiempo medido por un observador que se encuentra en reposo con respecto al evento que observa.
Por ejemplo, para medir el tiempo que tarda un vaso de agua en evaporarse en un tren en marcha, el tiempo propio será medido por alguien que esté montado (con su sistema de referencia) en el tren y no alguien que se encuentre en tierra firme.
Aunque la relatividad especial es un formalismo que resulta de una aplicación particular de la teoría general —que hoy conocemos como teoría de relatividad general—, la dilatación temporal es un efecto común en ambas teorías. Sin embargo, se puede obtener una fórmula sencilla en relatividad especial para calcular el efecto de la dilatación temporal, mientras que no existe una fórmula cerrada dentro de la teoría de relatividad general.
Fig. 1: Las naves espaciales son ejemplos perfectos de dilatación del tiempo, ya que se sabe que por cada 12 meses terrestres transcurren 0,01 segundos menos en un reloj en la EEI (ISS en inglés).
Fórmula de la dilatación temporal
Vamos a proporcionar un razonamiento sencillo y diagramático de cómo funciona la dilatación del tiempo en relatividad especial. Para ello, consideraremos un sistema de referencia en movimiento con respecto a otro y vcacularemos las trayectorias de la luz en este sistema.
La razón por la que usamos señales lumínicas en nuestro razonamiento es porque es la entidad física que más rápido viaja y aquella cuya velocidad se mide como un valor constante, independientemente del sistema de referencia usado (este es, de hecho, uno de los postulados de la teoría de relatividad).
La física moderna, como la teoría de relatividad, se basa en postulados que nos parecen completamente contraintuitivos pero que se confirman experimentalmente.
Esta teoría nace únicamente de dos ideas:
- Los efectos físicos han de ser los mismos, independientemente del sistema de referencia que se utilice para describirlos.
- La velocidad de la luz es constante, independientemente del sistema de referencia que se utilice para medirla.
Mientras que la primera idea nos suele parecer natural, la segunda nos parece algo falsa: en nuestra experiencia, si alguien se echa a correr a una velocidad, podemos empezar a correr a la misma velocidad para seguirle el ritmo y que su velocidad se vuelva cero, respecto de nosotros.
El postulado de Einstein, avalado por el experimento de Michelson-Morley (no tan distinto del experimento que vamos a utilizar para nuestro razonamiento) dice que no existe velocidad a la que puedas correr o tren en el que te puedas montar (no importa lo rápido que vaya) tal que puedas alcanzar a la luz y medir velocidad cero, pues siempre medirás el mismo valor. De hecho, no hay objeto que vaya más rápido que la luz: su velocidad es constante y maximal.
Ejemplo de la dilatación del tiempo
Imagina un pasajero en un tren con un reloj que está cronometrando cuánto tiempo tarda un pulso de luz en viajar al reflejarse entre dos espejos horizontales en el vagón: uno en el suelo del vagón y otro en el techo, encima del primero, a una distancia (\(L\)), tal y como se ilustra en las Fig. 2. Un segundo espectador está observando el tren, mientras viaja por una vía paralela a un andén, como vemos en la Fig. 3.
Fig. 2: Vista desde el tren.
Fig. 3 Vista desde el andén.
Consideramos las trayectorias seguidas por la luz, tal y como las ve cada observador:
- El observador en el interior del tren ve que la luz viaja en línea recta y de vuelta, recorriendo una distancia total de \(2L\).
- El observador del andén ve que la luz recorre una distancia total de \(2s\), ya que el tren se mueve a una velocidad (\(v\)) hacia la derecha respecto al andén.
Partimos de que la luz viaja a una velocidad \(c=3\cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\) respecto de cualquier observador (postulado de la teoría de relatividad y confirmado experimentalmente hasta la fecha) y que el tiempo es la distancia dividida por la velocidad. Por tanto:
- El tiempo medido por el observador dentro del tren es: \[\Delta t_0=\dfrac{2L}{c},\]
- que se corresponde con el tiempo propio, ya que el observador del tren se encuentra en reposo con respecto al sistema que está observando y estudiando.
- El tiempo observado por el observador en el andén será, bajo el mismo razonamiento y según su marco de referencia,
\[\Delta t=\dfrac{2s}{c}.\]
Llamemos \(d\) a la distancia horizontal recorrida por el tren entre los rebotes de la luz, es decir \(vt/2\). Para encontrar la relación entre \(\Delta t_0\) y \(\Delta t\) hay que considerar los triángulos formados por \(L\), \(s\) y \(d\).
Si se aplica el teorema de Pitágoras, \(s\) equivale a:
\[s=\sqrt{L^2+d^2}\]
Hemos visto que \(\Delta t\) es igual a \(2s/c\). Ahora, tan solo tenemos que juntar estas dos últimas ecuaciones para relacionar \(\Delta t\) con \(L\):
\[\Delta t=\dfrac{2s}{c}=\dfrac{2\sqrt{L^2+d^2}}{c},\]
Lo cual nos lleva, al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación y volviendo a escribir \(d\) en términos de la velocidad y el tiempo transcurrido, a:
\[(\Delta t)^2=\dfrac{4\left( L^2+\dfrac{V^2(\Delta t)^2}{4}\right)}{c^2}=\dfrac{4L^2}{c^2}+\dfrac{v^2}{c^2}\cdot (\Delta t)^2,\]
Donde es fácil detectar que el primer término se corresponde con el cuadrado del intervalo de tiempo transcurrido para el observador en el tren, es decir:
\[(\Delta t)^2=(\Delta t_0)^2+\dfrac{v^2}{c^2}\cdot (\Delta t)^2.\]
Esto ya nos ha dado una relación entre los intervalos de tiempo en los que solo aparecen cantidades constantes medidas desde los sistemas de referencia: la velocidad relativa entre ambos (la del tren) y la velocidad de la luz. Resolviendo para \(\Delta t\):
\[\Delta t=\dfrac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}=\gamma\Delta t_0\],
Donde hemos definido la siguiente cantidad, conocida como factor de Lorentz:
\[\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\]
El factor que hemos definido en la ecuación anterior da buena cuenta de por qué no medimos efectos relativistas en nuestro día a día y por qué las consecuencias de la relatividad nos parecen contraintuitivas: si la velocidad que consideramos en nuestro experimento es pequeña comparada con la velocidad de la luz, el factor de Lorentz \(\gamma\) es prácticamente 1, pues el cociente de velocidad de sistema de referencia y velocidad de la luz es prácticamente nulo.
Prueba de la dilatación del tiempo
Puede parecer que no es posible ver la dilatación temporal en la vida real, ya que se produce a velocidades relativas; pero, gracias a la tecnología actual, los humanos interactuamos con el espacio más que nunca.
Un gran ejemplo de ello es el sistema de posicionamiento global, o GPS, que se utiliza en casi todos los ámbitos de la vida. Las señales del GPS viajan a velocidades relativistas, lo que significa que hay que hacer correcciones por dilatación temporal: de lo contrario, el sistema GPS fallaría en cuestión de minutos.
Fig. 4: Satélite NAVSTAR GPS. Ejemplo de por qué la dilatación temporal es importante.
Otro gran ejemplo de dilatación del tiempo es el experimento de Frisch-Smith:
El experimento Frisch-Smith fue realizado en 1963 por David H. Frisch y consistía en medir una cantidad de muones en la atmósfera emitidos por el Sol por unidad de tiempo.
La velocidad media de los muones procedentes del Sol es realmente alta y cercana a la velocidad de la luz.
El experimento midió la cantidad de muones en dos puntos, con una diferencia de altitud de 1907 metros, que los muones deberían tardar \(6,4\,\mathrm{\mu s}\) en recorrer. Sin embargo, la vida media de un muón es de \(2,2\,\mathrm{\mu s}\), lo que significa que solo un \(25\%\) de los muones llegarían al punto final. No obstante, aproximadamente el \(73\%\) de los muones alcanzaron el punto final por hora, porque su tiempo propio es menor que el tiempo propio de un observador en la Tierra.
Esto confirmó que el tiempo fluía más lentamente para ellos, con un factor de dilatación del tiempo de \(8,80\pm 0,8\).
Fig. 5: Resultados del experimento de Frisch-Smith.
Dilatación del tiempo - Puntos clave
- La dilatación del tiempo es la idea de que el tiempo se mide de forma diferente para los objetos en movimiento que para los objetos inmóviles cuando viajan por el espacio.
- El tiempo propio es el tiempo medido por un observador en reposo, en relación con el acontecimiento observado.
- La dilatación del tiempo se produce cuando un observador se mueve con respecto a otro observador, lo que hace que el tiempo fluya más lentamente.
- Estos cálculos son cada vez más necesarios en la vida cotidiana.
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