líneas espectrales

Líneas espectrales del Hidrógeno

Las líneas espectrales del Hidrógeno fueron observadas y analizadas por Balmer antes de que la comunidad científica tuviera un conocimiento completo de la estructura de un átomo. Sólo después de que Niels Bohr propusiera su nuevo modelo atómico en \(1913\), pudieron explicarse las observaciones realizadas por Balmer. Veamos cada uno de estos acontecimientos por separado.

Ecuación de Balmer

Balmer calculó rápidamente las longitudes de onda exactas de cada línea de emisión de la figura \(2\) (\(410\, \mathrm{nm}\ ), \ (434\, \mathrm{nm}\), \ (486\, \mathrm{nm}\), y \ (656\, \mathrm{nm}\)), y mediante ensayo y error llegó a una ecuación que las relacionaba a todas. Esta relación se conoce como ecuación de Balmer o serie de Balmer y puede expresarse matemáticamente como

$$\frac{1}{lambda_n}=R \left (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right ),$$

donde \(R\) es la constante de Rydberg igual a \(1,1\times10^7 \, \frac{1}{\mathrm{m}}), y \(n\) es un número entero que representa el número cuántico principal.

La ecuación de Balmer describe las longitudes de onda de las transiciones que se producen entre \(n\geq3\) y \(n=2\). En total, hay cuatro transiciones en la serie de Balmer, de \ (n=6\) a \ (n=2\) que corresponden a \ (410\, \mathrm{nm}\ ), de \(n=5\) a \ (n=2\) que corresponden a \ (434\, \mathrm{nm}\), y así sucesivamente.

Un par de años más tarde, Johannes Rydberg generalizó la ecuación de Balmer para tener en cuenta todas las transiciones, en lugar de sólo el espectro visible. La versión modificada es la siguiente

$$\frac{1}{lambda_n}=R \left (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right ),$$

donde todos los términos siguen siendo los mismos que para la serie de Balmer, excepto que \(n_1\) y \(n_2\) corresponden a dos niveles de energía diferentes, y \(n_2 > n_1\).

Aunque la ecuación de Balmer era y sigue siendo correcta basándose únicamente en observaciones, los físicos en el momento de su descubrimiento no podían explicar el significado de estas líneas de emisión. Ahí es donde entran Niels Bohr y su modelo.

El modelo de Bohr

Bohr, al igual que muchos físicos de la época, no estaba satisfecho con la teoría atómica. Era un hecho conocido que un átomo está formado por protones cargados positivamente y electrones cargados negativamente, sin embargo, por qué el átomo no se colapsaba seguía siendo un misterio. Lo mismo ocurría con las líneas espectrales de las que hemos hablado antes, pues nadie podía explicar la emisión constante de determinadas longitudes de onda de luz por parte de ciertos elementos. Bohr encontró la forma de explicar ambos fenómenos proponiendo un nuevo modelo para el hidrógeno en particular.

Lo que hizo que su modelo se diferenciara de las versiones anteriores del modelo atómico, fue la aplicación de la teoría cuántica primitiva. Utilizó las ideas de Max Planck y Albert Einstein sobre la cuantización de la energía, afirmando que en el modelo cuántico la emisión y absorción de radiación electromagnética se produce en paquetes discretos de energía llamados fotones.

La energía de un fotón puede calcularse de la siguiente manera

$$ E = h f$$

donde, \(E\) es la energía del fotón medida en julios (\( \mathrm{J}\)), \(h\) es la constante de Planck (\(h=6,626\times10^{-34}\, \mathrm{J}\cdot\mathrm{s}\)), y \(f\) es la frecuencia de la onda luminosa en \(\mathrm{Hz}\).

Teniendo esto en cuenta, Bohr planteó la hipótesis de que la energía potencial de un átomo también está cuantizada, lo que significa que un electrón sólo puede poseer una determinada cantidad de energía en función de su ubicación respecto al núcleo. Según el elemento y el número de protones de su átomo, existe un número discreto de niveles de energía a distancias fijas del núcleo. Cuando un electrón ocupa un determinado nivel de energía, no irradia energía. Sin embargo, si un electrón absorbe o emite un fotón de longitud de onda muy específica, puede moverse entre estos niveles de energía, como se visualiza en la figura \(4\).

El modelo de Bohr no sólo explicaba el razonamiento de las líneas espectrales observadas experimentalmente por Balmer, sino que también aportaba una aclaración a la constante de Rydberg, que inicialmente era sólo un parámetro de ajuste.

Fórmula de las líneas espectrales

Cuando un electrón absorbe energía, se excita y, por tanto, pasa a un nivel de energía superior con un radio mayor. El electrón permanece en este estado durante un breve periodo de tiempo y después vuelve al nivel de energía inferior, emitiendo simultáneamente un fotón. Este fotón tendrá una longitud de onda muy específica, ya que todas las órbitas se encuentran a una distancia determinada del núcleo y necesitarán una cantidad constante de energía al moverse entre dos niveles de energía concretos.

Podemos calcular la cantidad de energía necesaria para completar esta transición restando la energía de los dos niveles energéticos; también es igual a laenergía del fotón. Matemáticamente, esto puede expresarse así

$$ E_{texto}{fotón emitido}}=Izquierda |\\Delta E \Derecha |=E_j-E_i$$

donde \(i\) y \(j\) son los números cuánticos principales, que se refieren a los niveles de energía específicos (\(n=i\) es un nivel de energía superior y \(n=j\) es uno inferior).

Esta fórmula de energía puede utilizarse para calcular la longitud de onda de cualquier fotón emitido o absorbido por el electrón.

Líneas espectrales Longitud de onda

Para hallar la expresión de la longitud de onda, tenemos que considerar la relación de Planck

$$ E = h f.$$

Reexpresando la frecuencia en términos de longitud de onda

$$ f =\frac{c}{\lambda}$$

obtenemos la siguiente ecuación

\Inicio E&=\frac{hc}{\lambda} {\lambda &=\frac{hc}{E}. \fin{align}

Aquí, \(E\) es la energía de un fotón, \(h\) es la constante de Planck, \(c\) es la velocidad de la luz (\(c=3\times10^8 \, \frac{mathrm{m}}{mathrm{s}})), y \(\lambda\) es la longitud de onda de la luz en metros (\(\mathrm{m})).

Por último, podemos introducir la expresión del momento de un fotón

$$ p = \frac{E}{c} $$

y obtenemos

$$ \lambda = \frac{h}{p} $$

donde \(p\) es el momento de una partícula medido en kilogramo metro por segundo \(\left ( \frac{\mathrm{kg \cdot m}}{\mathrm{s}} \right )\). ¡Veamos un problema de ejemplo para hallar la longitud de onda de un fotón!

Líneas espectrales de los elementos

Basándonos en el número de protones del núcleo de un átomo, podemos determinar el número de electrones de un átomo neutro. Teniendo en cuenta que los distintos elementos tienen un número diferente de protones, tendrán distintos niveles de energía. La cantidad y disposición variables de los niveles de energía en un átomo dan lugar a las propiedades distintivas de cada elemento químico. Así pues, al igual que el hidrógeno,cada elemento tendrá un conjunto único de líneas espectrales que serán idénticas siempre. Las líneas espectrales pueden utilizarse para reconocer con gran precisión la composición química de cualquier material.

Esto resulta especialmente útil al analizar estrellas lejanas, ya que las líneas espectrales no sólo pueden indicarnos la composición química de una estrella, sino también la temperatura y la densidad de dichos elementos. En la Figura \(6\) siguiente puedes ver ejemplos de algunos objetos celestes y sus líneas espectrales.

Fig. 6 - Líneas espectrales de varias estrellas y nebulosas.