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Masa y energía relativista

Masa y energía relativista

A lo largo de la historia, los científicos del mundo se han encargado de establecer principios y relaciones que expliquen por qué los cuerpos se comportan diferente al moverse a velocidades cercanas a las de la luz. En la mecánica clásica estudiamos la relación que existe entre la fuerza aplicada a una partícula de masa \(m\) y su velocidad \(v\). Vimos que al ser la fuerza ilimitada, la aceleración que siente la partícula también lo es. El problema es que todo esto cambia cuando estudiamos un cuerpo moviéndose a altas velocidades. En este tipo de escenarios, la masa de la partícula se define en términos de otra cantidad que se conoce como masa en reposo y depende de la persona que esté observando. Pero, ¿por qué hay dos masas? ¿Qué diferencias tienen? ¿Qué consecuencias tienen? En este artículo analizaremos mejor estas preguntas.

Relación relativista entre masa y energía

La masa y la energía son magnitudes relacionadas que podemos convertir respectivamente en la otra utilizando la velocidad de la luz. En física, la masa se considera una forma de energía porque la masa de una partícula puede convertirse en otras formas de energía, como la energía térmica, la energía cinética, etc. Del mismo modo, la energía cinética o la energía radiante pueden formar partículas con masa.

Para entender mejor esta relación debemos estudiar cada concepto por separado. Comencemos con la energía relativista.

Energía relativista

El primer postulado de la teoría de la relatividad especial de Einstein afirma que las leyes de la física son las mismas para todos los marcos de referencia inerciales.

Las leyes de la física se pueden expresar mediante ecuaciones que poseen la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales.

Recuerda que un marco o sistema de referencia inercial es aquel en que el movimiento de sus cuerpos se puede describir mediante fuerzas reales, sin la necesidad de utilizar fuerzas ficticias.

Cuando se estudia adecuadamente, esta teoría proporciona una expresión para la energía relativista cuya dependencia del marco de referencia inercial se capta mediante un factor relativista.

Para comprender la energía relativista, hay que tener en cuenta la energía total y la energía en reposo.

La energía total

La energía total \(\textbf{E}\) es la suma de todas las energías que lleva un objeto con masa. Matemáticamente, se puede definir como:

\[E=\gamma mc^2\]

Aquí, \(m\) es la masa, \(c\) es la velocidad de la luz, y \(\gamma\) es el factor de Lorentz y se puede calcular como sigue:

\[\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]

Donde, \(v\) es la velocidad del objeto en movimiento \(\mathrm{m/s}\), mientras que \(c\) es la velocidad de la luz en el vacío \(\mathrm{m/s}\).

Está claro que \(E\) está relacionado con el momento relativista, que es el momento de un objeto que viaja a una velocidad relativista.

Por otro lado, si la velocidad es cero, \(\gamma\) no será cero. Esto nos indica que el objeto tiene cierta energía de reposo.

Energía en reposo

La energía de reposo puede definirse como la energía de un objeto cuya velocidad con respecto al sistema de referencia es cero. Se puede describir matemáticamente como

\[\textbf{E}_0=mc^2\]

Donde \(\mathrm{E}_0\) es la energía de reposo en joules \(\mathrm{J}\).

Esto puede recordarte a la ecuación más famosa de Einstein, que demostró que cuando un objeto está en reposo, su energía es proporcional a su masa. Así, cuando se almacena energía en un objeto, su masa en reposo aumenta. Esto también demuestra que la destrucción de la masa puede liberar energía. Para ilustrarlo mejor, veamos el siguiente ejemplo.

Calcula la energía en reposo de un protón en joules.

Solución:

La masa de un solo protón es aproximadamente \(1,67 \cdot 10^{ -27} \,\, \mathrm{kg}\), y sabemos que la velocidad de la luz \(c\) es \(3\cdot 10^8\, \, \mathrm{m/s}\). Pongamos estos valores en la siguiente ecuación:

\[\textbf{E}_0=mc^2\]

Esto nos da:

\[\mathrm{E}_0=(1,67\cdot 10^{-27})(3\cdot 10^8)^2 = 1,503 \cdot 10^{-10}\,\, \mathrm{kg\cdot m^2/s^2}\]

Ahora, cambiamos la unidad a julios para ver el valor de la energía en unidades del Sistema Internacional. Sabemos que:

\[1\, \, \mathrm{kg\cdot m^2/s^2}=1 \, \, \mathrm{J}\]

El resultado, por lo tanto, es:

\[\mathrm{E}_0=1,503\cdot 10^{-10}\, \, \mathrm{J}\]

Esto puede parecer un valor pequeño, pero tenemos que tener en cuenta que esto es solo para un único protón. Si quisieras calcular la energía en reposo de una masa de 1 gramo, te sorprendería que el resultado es de \(9 \cdot 10 ^{13} \mathrm{J}\).

Masa relativista

Cuando estudiamos relatividad, nos encontramos con diversas magnitudes relacionadas con la masa de un objeto. ¡Veamos cuáles son!

Masa en reposo

El término masa en reposo o masa invariante se refiere a la masa total del objeto que es independiente del movimiento del sistema.

El valor de la masa en reposo es igual en todos los marcos de referencia inercial.

La masa invariante es la unidad de medida natural usada para todos aquellos sistemas en su marco de referencia del centro de masa. Gracias a la mecánica clásica sabemos que el momento lineal de una partícula de masa \(m\) y velocidad \(\vec{v}\) se puede calcular con la siguiente expresión:

\[\vec{p}=m\vec{v}\]

Masa relativista

La masa relativista es una magnitud que depende del sistema de referencia en el que se mida. El valor de la masa relativista aumenta al aumentar la velocidad del objeto.

En la mecánica relativista la masa relativista o masa inercial de un cuerpo se puede describir en términos de su masa en reposo \(m_0\) y de su velocidad respecto al observador que la mide.

\[m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \gamma m_0\]

Lo que implica que el momento lineal de una partícula relativista en reposo se puede calcular como:

\[\vec{p}=\gamma m_0 \vec{v}\]

La masa relativista describe la energía total del objeto y depende directamente de su movimiento en el sistema de referencia observado. Esto quiere decir que el valor que midan diferentes observadores puede no ser el mismo.

Ejercicios resueltos con la masa relativista

Al igual que la masa puede convertirse en energía, la energía también puede convertirse en masa. Para entender cómo funciona esto, tenemos que ver la relación entre la energía almacenada y la energía potencial.

¿Qué ocurre con la energía almacenada en un muelle comprimido? Pasa a formar parte no solamente de la energía total, sino también de la masa del muelle. Entonces, ¿cómo es que no notamos estos cambios en la masa?

Supongamos que una gran batería es capaz de mover \(700\) amperios-hora (\(\mathrm{A} \cdot \mathrm{h}\)) de carga a \(15\) voltios. Calcula la diferencia de masa cuando la batería pasa de estar totalmente descargada a estar totalmente cargada.

En primer lugar, utilizando la ecuación siguiente, averigüemos cuánta energía puede almacenarse en la batería en forma de energía potencial eléctrica \(\textbf{P}\):

\[\textbf{P}_{eléctrica}=q\cdot V\]

Donde, \(q\) es la carga en amperios-hora, mientras que \(V\) es la diferencia de potencial eléctrico en voltios.

El cambio de energía es en forma de energía potencial eléctrica, y queremos determinar la diferencia de masa. Entonces, podemos unir la ecuación anterior y la expresión de la energía en reposo:

\[\Delta \textbf{E}=\textbf{P}_{eléctrica}=q\cdot V=(\Delta m)\cdot c^2\]

La carga \(q\) es de \(700 \,\, \mathrm{A}\cdot \mathrm{h}\), mientras que \(V\) es de \(15 \,\, \mathrm{V}\). Esto nos da:

\[ \Delta m =\dfrac{q\cdot V}{c^2}\]

\[\Delta m = \dfrac{(700 \, \, \mathrm{A}\cdot \mathrm{V})(15 \, \,\mathrm{V})}{(3 \cdot 10^{8} \, \, \mathrm{m/s})^2}\]

A continuación, escribimos los amperios como coulombs por segundo y convertimos las horas en segundos.

\[\Delta m = \dfrac{(700\, \, \mathrm{C/s})(3600\, \, \mathrm{s} \cdot \mathrm{J/C})}{(3\cdot 10^{8}\, \, \mathrm{m/s})^2}\]

\[\Delta m = \dfrac{(2,52 \cdot 10^6)(15 \, \, \mathrm{J})}{(3\cdot 10^8 \, \, \mathrm{m/s})^2}\]

Sabiendo que \(1 \, \, \mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}^ 2 / \mathrm{s}^ 2) = 1 \,\, \mathrm{J}\), podemos cambiar el resultado a kilogramos, lo que nos da la diferencia de masa como sigue:

\[\Delta m = 4,2 \cdot 10^{-10} \, \, \mathrm{kg}\]

Como puedes ver, únicamente hay una cantidad muy pequeña de cambio en la masa, lo que explica por qué no notamos este fenómeno en nuestra vida cotidiana.

Trabajo y energía relativista

El trabajo realizado sobre un objeto es igual al producto de la fuerza aplicada por la distancia recorrida en dirección de la fuerza.

\[\textbf{W}=\int \textbf{F}\cdot ds\]

Si una fuerza \(\textbf{F}\) realiza un trabajo \(\textbf{W}\) sobre un objeto en reposo, este modificará la energía cinética del objeto. Esta variación se puede expresar de la siguiente manera

\[\textbf{W}=\Delta \textbf{E}_c= \int_0^s \textbf{F} \cdot ds\]

Recuerda que la fuerza se define como la derivada del momento

\[\textbf{F}=\dfrac{d\vec{p}}{dt}=\dfrac{d(\gamma m_0\vec{v})}{dt}\]

Sustituyendo en la expresión del trabajo

\[\textbf{W}=\int_0^s \dfrac{d(\gamma m_0v)}{dt}\cdot ds= \int_0^{v} v\cdot d(\gamma m_0v)\]

Ahora, escribimos explícitamente el factor de Lorentz:

\[\textbf{W}=\int^v_0 v\cdot d\left(\dfrac{m_0 v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \right)\]

Esta integral se puede resolver por partes

\[\begin{aligned}\Delta \textbf{E}_c&=\dfrac{m_0v^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_0\int^v_0 \dfrac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} dv\\ &=\dfrac{m_0v^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_0 c^2\left. \left(\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\right) \right |^v_0\\ &=\dfrac{\bcancel{m_0v^2}+m_0c^2-\bcancel{m_0v^2}+m_0c^2\cdot\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} \\&= mc^2-m_0c^2\end{aligned}\]

Debido a que para un objeto en reposo, \(\textbf{E}_0\) es igual a cero.

\[\textbf{E}_c=mc^2-m_0c^2 \]

Esta expresión se denomina energía cinética relativista, donde el término \(mc^2\) es la energía total relativista del objeto y el término \(m_0c^2\) se considera la energía en reposo del objeto.

Conversión masa-energía

La masa y la energía son dos conceptos que están profundamente relacionados en el contexto de la física de partículas y la física moderna. La relación masa-energía se expresa en una fórmula del famoso físico Albert Einstein. Expresa que cualquier cambio en la energía de un objeto en reposo produce también un cambio en su masa.

La relación entre masa y energía fue estudiada por muchos científicos antes de Einstein. Isaac Newton especuló con la posibilidad de que la materia y la luz fueran convertibles entre sí, y en los siglos siguientes se hicieron varios intentos de relacionar la materia con la energía cinética. J. J. Thompson y Oliver Heaviside observaron cambios en la masa de un objeto cuando tiene carga eléctrica, un fenómeno que se ha descrito como masa electromagnética.

Pero fue Einstein quien propuso que cuando un objeto emite energía \(E\) en forma de radiación electromagnética, pierde una masa igual a la energía dividida por el cuadrado de la velocidad de la luz. Esto se expresa como:

\[m=\dfrac{E}{c^2}\]

¿Te parece familiar? ¡Claro! Es la expresión que estudiamos para la energía relativista.

\[m=\dfrac{E}{c^2} \rightarrow E=mc^2\]

La derivación de Einstein

Albert Einstein obtuvo su famosa ecuación en 1905 en un artículo titulado “¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido energético?” Einstein describe cómo la emisión de energía en forma de luz reduce la energía cinética del cuerpo. Sus resultados incluyen dos puntos importantes:

La energía emitida es independiente de las características del cuerpo. La masa de un cuerpo es una medida de su contenido energético.

La teoría de Einstein solo especulaba que la emisión de energía en forma de luz reducía la cantidad de masa del objeto. Sin embargo, la equivalencia masa-energía puede utilizarse con respecto a todas las formas de energía.

Ejemplos de la equivalencia entre masa y energía

Hay muchos ejemplos de conversiones masa-energía que ocurren en la vida cotidiana. Uno de ellos es la razón de la existencia del universo, el Big Bang. Según la teoría del Big Bang, el universo se formó después de que se liberara una cantidad gigantesca de energía que se convirtió en masa.

Masa y energía relativistas Formación del universo StudySmarterFig. 1 - El universo es un gran ejemplo de conversión de energía en masa.

Otros grandes ejemplos de conversión energía-masa son las centrales nucleares, las armas nucleares y el sol. Sin embargo, hay una diferencia en la manera en que convierten la masa en energía. Por ejemplo, mientras que el sol convierte la masa en energía mediante la fusión nuclear, las centrales nucleares lo hacen mediante la fisión nuclear.

Masa y energía relativistas Conversión de energía en masa StudySmarterFig. 2 - Tanto el sol como las armas nucleares convierten la masa en energía.

Masa y energía relativistas - Puntos clave

  • La energía total \(\textbf{E}\) es la suma de todas las energías que lleva un objeto con masa. Matemáticamente, se puede definir como \(\textbf{E} = \gamma mc^2\).
  • La energía en reposo puede definirse como la energía de un objeto cuya velocidad es cero. Se puede definir matemáticamente como \(\textbf{E}_0 = mc^2\).
  • Al igual que la masa puede convertirse en energía, la energía también puede convertirse en masa. Sin embargo, en contextos cotidianos, el cambio de masa es tan pequeño que no lo notamos.
  • La formación del universo (Big Bang), las centrales nucleares y el sol son ejemplos de conversión masa-energía.

Preguntas frecuentes sobre Masa y energía relativista

La masa se considera una forma de energía porque la masa de una partícula puede convertirse en otras formas de energía, como la energía térmica, la energía cinética, etc. 

A diferencia de la energía clásica, la energía relativista depende de la masa y de la velocidad del objeto que estudiemos. Cuando la velocidad se acerca a la velocidad de la luz, la energía relativista tiende al infinito.

La masa relativista es una magnitud que depende del sistema de referencia en el que se mida, mientras que el término masa en reposo se refiere a la masa total del objeto que es independiente del movimiento del sistema.  

Para calcular la masa relativista utilizamos la siguiente fórmula:

m=m0/ sqrt(1−v2/c2)=γm0.

E=mc2-m0c2

Cuestionario final de Masa y energía relativista

Pregunta

¿Quién expresó el principio de equivalencia energía-masa en una fórmula?

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Answer

Albert Einstein.

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Pregunta

¿Cuál es la expresión para la energía cinética relativista?

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Answer

\[\textbf{E}_c=mc^2-m_0c^2.\]

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Pregunta

Una de las afirmaciones de la formulación de Albert Einstein es: "La masa de un cuerpo es una medida de su contenido de carga". ¿Verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Falso.

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Pregunta

Una de las afirmaciones de la formulación de Albert Einstein es: "La energía emitida es independiente de las características del cuerpo". ¿Verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

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Pregunta

¿Cuál es la fórmula para la energía total relativista?

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Answer

\(E=\gamma mc^2\).

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Pregunta

¿Cómo se define la energía en reposo?

Mostrar respuesta

Answer

La energía de reposo puede definirse como la energía de un objeto cuya velocidad con respecto al sistema de referencia es cero. 

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Pregunta

¿Cuál es la expresión matemática para la energía en reposo?

Mostrar respuesta

Answer

\[\textbf{E}_0=mc^2.\]

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Pregunta

¿Cuál es la energía en reposo de un protón?

Mostrar respuesta

Answer

\[1,503\cdot 10^{-10} \, \, \mathrm{kg\cdot m^2/s^2}.\]

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Pregunta

¿Qué es la masa en reposo?

Mostrar respuesta

Answer

Es la masa total del objeto que es independiente del movimiento del sistema.

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Pregunta

El valor de la masa en reposo es ______ en todos los marcos de referencia inercial.

Mostrar respuesta

Answer

Igual.

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Pregunta

¿Qué es la masa relativista?

Mostrar respuesta

Answer

Es la magnitud de la masa que depende del sistema de referencia en el que se mida.

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Pregunta

¿Cuál es la fórmula de la masa relativista?

Mostrar respuesta

Answer

\(m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.\)

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Pregunta

¿Cuál es la expresión del momento lineal de una partícula relativista en reposo?

Mostrar respuesta

Answer

\(\vec{p}=\gamma m_0 \vec{v}.\)

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Pregunta

¿Qué dice el primer postulado de la teoría de la relatividad?

Mostrar respuesta

Answer

Las leyes de la física se pueden expresar mediante ecuaciones que poseen la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales.

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