A lo largo de la historia, los científicos del mundo se han encargado de establecer principios y relaciones que expliquen por qué los cuerpos se comportan diferente al moverse a velocidades cercanas a la de la luz. En la mecánica clásica estudiamos la relación que existe entre la fuerza aplicada a una partícula de masa \(m\) y su velocidad \(v\). Vimos que, al ser la fuerza ilimitada, la aceleración que siente la partícula también lo es.
El problema es que todo esto cambia cuando estudiamos un cuerpo moviéndose a altas velocidades. En este tipo de escenarios, la masa de la partícula se define en términos de otra cantidad, que se conoce como masa en reposo, y que depende de la persona que esté observando. Pero, ¿por qué hay dos masas? ¿Qué diferencias tienen? ¿Qué consecuencias provocan? En este artículo analizaremos las respuestas a estas preguntas.
Relación relativista entre masa y energía
La masa y la energía son magnitudes relacionadas que podemos convertir, respectivamente, en la otra utilizando la velocidad de la luz. En física, la masa se considera una forma de energía, porque la masa de una partícula puede convertirse en otras formas de energía (como la energía térmica, la energía cinética, etc). Del mismo modo, la energía cinética o la energía radiante pueden formar partículas con masa.
Para entender mejor esta relación debemos estudiar cada concepto por separado. Comencemos con la energía relativista.
Energía relativista
El primer postulado de la teoría de la relatividad especial de Einstein afirma que las leyes de la física son las mismas para todos los marcos de referencia inerciales.
Las leyes de la física se pueden expresar mediante ecuaciones que poseen la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales.
Recuerda que un marco o sistema de referencia inercial es aquel en el que el movimiento de sus cuerpos se puede describir mediante fuerzas reales, sin la necesidad de utilizar fuerzas ficticias.
Cuando se estudia adecuadamente, esta teoría proporciona una expresión para la energía relativista, cuya dependencia del marco de referencia inercial se capta mediante un factor relativista.
La energía total
Para comprender la energía relativista, hay que tener en cuenta la energía total y la energía en reposo.
La energía total \(\textbf{E}\) es la suma de todas las energías que lleva un objeto con masa.
Matemáticamente, se puede definir como:
\[E=\gamma mc^2\]
Aquí:
- \(m\) es la masa
- \(c\) es la velocidad de la luz
- \(\gamma\) es el factor de Lorentz y se puede calcular como sigue: \[\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
- Donde, \(v\) es la velocidad del objeto en movimiento \(\mathrm{m/s}\), mientras que \(c\) es la velocidad de la luz en el vacío \(\mathrm{m/s}\).
Está claro que \(E\) está relacionado con el momento relativista, que es el momento de un objeto que viaja a una velocidad relativista. Por otro lado, si la velocidad es cero, \(\gamma\) no será cero. Esto nos indica que el objeto tiene cierta energía de reposo.
Energía en reposo
La energía de reposo puede definirse como la energía de un objeto cuya velocidad con respecto al sistema de referencia es cero.
Se puede describir, matemáticamente, como:
\[\textbf{E}_0=mc^2\]
- Donde \(\mathrm{E}_0\) es la energía de reposo, en julios \(\mathrm{J}\).
Esto puede recordarte la ecuación más famosa de Einstein, que demostró que cuando un objeto está en reposo, su energía es proporcional a su masa. Así, cuando se almacena energía en un objeto, su masa en reposo aumenta. Esto también demuestra que la destrucción de la masa puede liberar energía. Para ilustrarlo mejor, veamos el siguiente ejemplo:
Calcula la energía en reposo de un protón, en julios.
Solución:
La masa de un solo protón es, aproximadamente, \(1,67 \cdot 10^{ -27} \,\, \mathrm{kg}\); y sabemos que la velocidad de la luz \(c\) es \(3\cdot 10^8\, \, \mathrm{m/s}\).
Pongamos estos valores en la siguiente ecuación:
\[\textbf{E}_0=mc^2\]
Esto nos da:
\[\mathrm{E}_0=(1,67\cdot 10^{-27})(3\cdot 10^8)^2 = 1,503 \cdot 10^{-10}\,\, \mathrm{kg\cdot m^2/s^2}\]
Ahora, cambiamos la unidad a julios, para ver el valor de la energía en unidades del Sistema Internacional. Sabemos que:
\[1\, \, \mathrm{kg\cdot m^2/s^2}=1 \, \, \mathrm{J}\]
El resultado, por lo tanto, es:
\[\mathrm{E}_0=1,503\cdot 10^{-10}\, \, \mathrm{J}\]
Esto puede parecer un valor pequeño, pero tenemos que tener en cuenta que esto es solo para un único protón. Si quisieras calcular la energía en reposo de una masa de 1 gramo, te sorprendería que el resultado sea de \(9 \cdot 10 ^{13} \mathrm{J}\).
Masa relativista
Cuando estudiamos relatividad, nos encontramos con diversas magnitudes relacionadas con la masa de un objeto. ¡Veamos cuáles son!
Masa en reposo
El término masa en reposo —o masa invariante— se refiere a la masa total del objeto que es independiente del movimiento del sistema. El valor de la masa en reposo es igual en todos los marcos de referencia inercial.
La masa invariante es la unidad de medida natural usada para todos aquellos sistemas en su marco de referencia del centro de masa. Gracias a la mecánica clásica sabemos que el momento lineal de una partícula de masa \(m\) y velocidad \(\vec{v}\) se puede calcular con la siguiente expresión:
\[\vec{p}=m\vec{v}\]
Masa relativista
La masa relativista es una magnitud que depende del sistema de referencia en el que se mida. El valor de la masa relativista aumenta al aumentar la velocidad del objeto.
La masa relativista describe la energía total del objeto y depende directamente de su movimiento en el sistema de referencia observado. Esto quiere decir que el valor que midan diferentes observadores puede no ser el mismo.
En la mecánica relativista la masa relativista o masa inercial de un cuerpo se puede describir en términos de su masa en reposo \(m_0\) y de su velocidad respecto al observador que la mide:
\[m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \gamma m_0\]
Lo que implica que el momento lineal de una partícula relativista en reposo se puede calcular como:
\[\vec{p}=\gamma m_0 \vec{v}\]
Ejercicios resueltos con la masa relativista
Al igual que la masa puede convertirse en energía, la energía también puede convertirse en masa. Para entender cómo funciona esto, tenemos que ver la relación entre la energía almacenada y la energía potencial.
¿Qué ocurre con la energía almacenada en un muelle comprimido? Pasa a formar parte no solamente de la energía total, sino también de la masa del muelle. Entonces, ¿cómo es que no notamos estos cambios en la masa?
Supongamos que una gran batería es capaz de mover \(700\) amperios-hora (\(\mathrm{A} \cdot \mathrm{h}\)) de carga a \(15\) voltios. Calcula la diferencia de masa cuando la batería pasa de estar totalmente descargada a estar totalmente cargada.
Solución:
En primer lugar, utilizando la ecuación siguiente, averigüemos cuánta energía puede almacenarse en la batería en forma de energía potencial eléctrica \(\textbf{P}\):
\[\textbf{P}_{eléctrica}=q\cdot V\]
- Donde, \(q\) es la carga en amperios-hora, mientras que \(V\) es la diferencia de potencial eléctrico en voltios.
El cambio de energía es en forma de energía potencial eléctrica, y queremos determinar la diferencia de masa. Entonces, podemos unir la ecuación anterior y la expresión de la energía en reposo:
\[\Delta \textbf{E}=\textbf{P}_{eléctrica}=q\cdot V=(\Delta m)\cdot c^2\]
La carga \(q\) es de \(700 \,\, \mathrm{A}\cdot \mathrm{h}\), mientras que \(V\) es de \(15 \,\, \mathrm{V}\).
Esto nos da:
\[ \Delta m =\dfrac{q\cdot V}{c^2}\]
\[\Delta m = \dfrac{(700 \, \, \mathrm{A}\cdot \mathrm{V})(15 \, \,\mathrm{V})}{(3 \cdot 10^{8} \, \, \mathrm{m/s})^2}\]
A continuación, escribimos los amperios como coulombs por segundo y convertimos las horas en segundos:
\[\Delta m = \dfrac{(700\, \, \mathrm{C/s})(3600\, \, \mathrm{s} \cdot \mathrm{J/C})}{(3\cdot 10^{8}\, \, \mathrm{m/s})^2}\]
\[\Delta m = \dfrac{(2,52 \cdot 10^6)(15 \, \, \mathrm{J})}{(3\cdot 10^8 \, \, \mathrm{m/s})^2}\]
Sabiendo que \(1 \, \, \mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}^ 2 / \mathrm{s}^ 2) = 1 \,\, \mathrm{J}\), podemos cambiar el resultado a kilogramos, lo que nos da la diferencia de masa como sigue:
\[\Delta m = 4,2 \cdot 10^{-10} \, \, \mathrm{kg}\]
Como puedes ver, únicamente hay una cantidad muy pequeña de cambio en la masa, lo que explica por qué no notamos este fenómeno en nuestra vida cotidiana.
Trabajo y energía relativista
El trabajo realizado sobre un objeto es igual al producto de la fuerza aplicada por la distancia recorrida en dirección de la fuerza:
\[\textbf{W}=\int \textbf{F}\cdot ds\]
Si una fuerza \(\textbf{F}\) realiza un trabajo \(\textbf{W}\) sobre un objeto en reposo, este modificará la energía cinética del objeto. Esa variación se puede expresar de la siguiente manera:
\[\textbf{W}=\Delta \textbf{E}_c= \int_0^s \textbf{F} \cdot ds\]
Recuerda que la fuerza se define como la derivada del momento:
\[\textbf{F}=\dfrac{d\vec{p}}{dt}=\dfrac{d(\gamma m_0\vec{v})}{dt}\]
Sustituyendo en la expresión del trabajo:
\[\textbf{W}=\int_0^s \dfrac{d(\gamma m_0v)}{dt}\cdot ds= \int_0^{v} v\cdot d(\gamma m_0v)\]
Ahora, escribimos explícitamente el factor de Lorentz:
\[\textbf{W}=\int^v_0 v\cdot d\left(\dfrac{m_0 v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \right)\]
Esta integral se puede resolver por partes:
\[\begin{aligned}\Delta \textbf{E}_c&=\dfrac{m_0v^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_0\int^v_0 \dfrac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} dv\\ &=\dfrac{m_0v^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_0 c^2\left. \left(\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\right) \right |^v_0\\ &=\dfrac{\bcancel{m_0v^2}+m_0c^2-\bcancel{m_0v^2}+m_0c^2\cdot\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} \\&= mc^2-m_0c^2\end{aligned}\]
Debido a que para un objeto en reposo, \(\textbf{E}_0\) es igual a cero:
\[\textbf{E}_c=mc^2-m_0c^2 \]
Esta expresión se denomina energía cinética relativista, donde el término \(mc^2\) es la energía total relativista del objeto y el término \(m_0c^2\) se considera la energía en reposo del objeto.
Conversión masa-energía
La masa y la energía son dos conceptos que están profundamente relacionados en el contexto de la física de partículas y la física moderna. La relación masa-energía se expresa en una fórmula del famoso físico Albert Einstein, que se refiere a que cualquier cambio en la energía de un objeto en reposo produce también un cambio en su masa.
La relación entre masa y energía fue estudiada por muchos científicos antes de Einstein.
- Isaac Newton especuló con la posibilidad de que la materia y la luz fueran convertibles entre sí.
- En los siglos siguientes se hicieron varios intentos de relacionar la materia con la energía cinética.
- J. J. Thompson y Oliver Heaviside observaron cambios en la masa de un objeto cuando tiene carga eléctrica, un fenómeno que se ha descrito como masa electromagnética.
Pero, fue Einstein quien propuso que cuando un objeto emite energía \(E\) en forma de radiación electromagnética, pierde una masa igual a la energía dividida por el cuadrado de la velocidad de la luz. Esto se expresa como:
\[m=\dfrac{E}{c^2}\]
¿Te parece familiar? ¡Claro! Es la expresión que estudiamos para la energía relativista:
\[m=\dfrac{E}{c^2} \rightarrow E=mc^2\]
La derivación de Einstein
Albert Einstein expuso su famosa ecuación, en 1905, en un artículo titulado “¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido energético?” Con ella, Einstein describe cómo la emisión de energía en forma de luz reduce la energía cinética del cuerpo. Sus resultados incluyen dos puntos importantes:
La energía emitida es independiente de las características del cuerpo. La masa de un cuerpo es una medida de su contenido energético.
En ese entonces, la teoría de Einstein solo especulaba que la emisión de energía en forma de luz reducía la cantidad de masa del objeto. Sin embargo, la equivalencia masa-energía puede utilizarse con respecto a todas las formas de energía.
Ejemplos de la equivalencia entre masa y energía
Hay muchos ejemplos de conversiones masa-energía que ocurren en la vida cotidiana. Uno de ellos es la razón de la existencia del universo: el Big Bang. Según la teoría del Big Bang, el universo se formó después de que se liberara una cantidad gigantesca de energía que se convirtió en masa.
Fig. 1: El universo es un gran ejemplo de conversión de energía en masa.
Otros grandes ejemplos de conversión energía-masa son las centrales nucleares, las armas nucleares y el sol. Sin embargo, hay una diferencia en la manera en que convierten la masa en energía.
Por ejemplo, mientras que el sol convierte la masa en energía mediante la fusión nuclear, las centrales nucleares lo hacen mediante la fisión nuclear.
Fig. 2: Tanto el sol como las armas nucleares convierten la masa en energía
Masa y energía relativistas - Puntos clave
- La energía total \(\textbf{E}\) es la suma de todas las energías que lleva un objeto con masa. Matemáticamente, se puede definir como \(\textbf{E} = \gamma mc^2\).
- La energía en reposo puede definirse como la energía de un objeto cuya velocidad es cero. Se puede expresar, matemáticamente, como \(\textbf{E}_0 = mc^2\).
- Al igual que la masa puede convertirse en energía, la energía también puede convertirse en masa. Sin embargo, en contextos cotidianos, el cambio de masa es tan pequeño que no lo notamos.
- La formación del universo (Big Bang), las centrales nucleares y el sol son ejemplos de conversión masa-energía.
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