Masa y energía relativista

Relación relativista entre masa y energía

La masa y la energía son magnitudes relacionadas que podemos convertir, respectivamente, en la otra utilizando la velocidad de la luz. En física, la masa se considera una forma de energía, porque la masa de una partícula puede convertirse en otras formas de energía (como la energía térmica, la energía cinética, etc). Del mismo modo, la energía cinética o la energía radiante pueden formar partículas con masa.

Para entender mejor esta relación debemos estudiar cada concepto por separado. Comencemos con la energía relativista.

¿Qué es la energía relativista?

El primer postulado de la teoría de la relatividad especial de Einstein afirma que las leyes de la física son las mismas para todos los marcos de referencia inerciales.

Cuando se estudia adecuadamente, esta teoría proporciona una expresión para la energía relativista, cuya dependencia del marco de referencia inercial se capta mediante un factor relativista.

La energía total

Para comprender la energía relativista, hay que tener en cuenta la energía total y la energía en reposo.

Matemáticamente, se puede definir como:

\[E=\gamma mc^2\]

Aquí:

• \(m\) es la masa
• \(c\) es la velocidad de la luz
• \(\gamma\) es el factor de Lorentz y se puede calcular como sigue: \[\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
  • Donde, \(v\) es la velocidad del objeto en movimiento \(\mathrm{m/s}\), mientras que \(c\) es la velocidad de la luz en el vacío \(\mathrm{m/s}\).

Está claro que \(E\) está relacionado con el momento relativista, que es el momento de un objeto que viaja a una velocidad relativista. Por otro lado, si la velocidad es cero, \(\gamma\) no será cero. Esto nos indica que el objeto tiene cierta energía de reposo.

Energía en reposo

Se puede describir, matemáticamente, como:

\[\textbf{E}_0=mc^2\]

• Donde \(\mathrm{E}_0\) es la energía de reposo, en julios \(\mathrm{J}\).

Esto puede recordarte la ecuación más famosa de Einstein, que demostró que cuando un objeto está en reposo, su energía es proporcional a su masa. Así, cuando se almacena energía en un objeto, su masa en reposo aumenta. Esto también demuestra que la destrucción de la masa puede liberar energía. Para ilustrarlo mejor, veamos el siguiente ejemplo:

Masa en reposo

La masa invariante es la unidad de medida natural usada para todos aquellos sistemas en su marco de referencia del centro de masa. Gracias a la mecánica clásica sabemos que el momento lineal de una partícula de masa \(m\) y velocidad \(\vec{v}\) se puede calcular con la siguiente expresión:

\[\vec{p}=m\vec{v}\]

¿Qué es la masa relativista?

La masa relativista describe la energía total del objeto y depende directamente de su movimiento en el sistema de referencia observado. Esto quiere decir que el valor que midan diferentes observadores puede no ser el mismo.

En la mecánica relativista la masa relativista o masa inercial de un cuerpo se puede describir en términos de su masa en reposo \(m_0\) y de su velocidad respecto al observador que la mide:

\[m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \gamma m_0\]

Lo que implica que el momento lineal de una partícula relativista en reposo se puede calcular como:

\[\vec{p}=\gamma m_0 \vec{v}\]

Ejercicios resueltos con la masa relativista

Al igual que la masa puede convertirse en energía, la energía también puede convertirse en masa. Para entender cómo funciona esto, tenemos que ver la relación entre la energía almacenada y la energía potencial.

¿Qué ocurre con la energía almacenada en un muelle comprimido? Pasa a formar parte no solamente de la energía total, sino también de la masa del muelle. Entonces, ¿cómo es que no notamos estos cambios en la masa?

Trabajo y energía relativista

El trabajo realizado sobre un objeto es igual al producto de la fuerza aplicada por la distancia recorrida en dirección de la fuerza:

\[\textbf{W}=\int \textbf{F}\cdot ds\]

Si una fuerza \(\textbf{F}\) realiza un trabajo \(\textbf{W}\) sobre un objeto en reposo, este modificará la energía cinética del objeto. Esa variación se puede expresar de la siguiente manera:

\[\textbf{W}=\Delta \textbf{E}_c= \int_0^s \textbf{F} \cdot ds\]

Recuerda que la fuerza se define como la derivada del momento:

\[\textbf{F}=\dfrac{d\vec{p}}{dt}=\dfrac{d(\gamma m_0\vec{v})}{dt}\]

Sustituyendo en la expresión del trabajo:

\[\textbf{W}=\int_0^s \dfrac{d(\gamma m_0v)}{dt}\cdot ds= \int_0^{v} v\cdot d(\gamma m_0v)\]

Ahora, escribimos explícitamente el factor de Lorentz:

\[\textbf{W}=\int^v_0 v\cdot d\left(\dfrac{m_0 v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \right)\]

Esta integral se puede resolver por partes:

\[\begin{aligned}\Delta \textbf{E}_c&=\dfrac{m_0v^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_0\int^v_0 \dfrac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} dv\\ &=\dfrac{m_0v^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_0 c^2\left. \left(\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\right) \right |^v_0\\ &=\dfrac{\bcancel{m_0v^2}+m_0c^2-\bcancel{m_0v^2}+m_0c^2\cdot\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} \\&= mc^2-m_0c^2\end{aligned}\]

Debido a que para un objeto en reposo, \(\textbf{E}_0\) es igual a cero:

\[\textbf{E}_c=mc^2-m_0c^2 \]

Esta expresión se denomina energía cinética relativista, donde el término \(mc^2\) es la energía total relativista del objeto y el término \(m_0c^2\) se considera la energía en reposo del objeto.

Conversión masa-energía

La masa y la energía son dos conceptos que están profundamente relacionados en el contexto de la física de partículas y la física moderna. La relación masa-energía se expresa en una fórmula del famoso físico Albert Einstein, que se refiere a que cualquier cambio en la energía de un objeto en reposo produce también un cambio en su masa.

La relación entre masa y energía fue estudiada por muchos científicos antes de Einstein.

• Isaac Newton especuló con la posibilidad de que la materia y la luz fueran convertibles entre sí.
• En los siglos siguientes se hicieron varios intentos de relacionar la materia con la energía cinética.
• J. J. Thompson y Oliver Heaviside observaron cambios en la masa de un objeto cuando tiene carga eléctrica, un fenómeno que se ha descrito como masa electromagnética.

Pero, fue Einstein quien propuso que cuando un objeto emite energía \(E\) en forma de radiación electromagnética, pierde una masa igual a la energía dividida por el cuadrado de la velocidad de la luz. Esto se expresa como:

\[m=\dfrac{E}{c^2}\]

¿Te parece familiar? ¡Claro! Es la expresión que estudiamos para la energía relativista:

\[m=\dfrac{E}{c^2} \rightarrow E=mc^2\]

La derivación de Einstein

Albert Einstein expuso su famosa ecuación, en 1905, en un artículo titulado “¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido energético?” Con ella, Einstein describe cómo la emisión de energía en forma de luz reduce la energía cinética del cuerpo. Sus resultados incluyen dos puntos importantes:

En ese entonces, la teoría de Einstein solo especulaba que la emisión de energía en forma de luz reducía la cantidad de masa del objeto. Sin embargo, la equivalencia masa-energía puede utilizarse con respecto a todas las formas de energía.

Ejemplos de la equivalencia entre masa y energía

Hay muchos ejemplos de conversiones masa-energía que ocurren en la vida cotidiana. Uno de ellos es la razón de la existencia del universo: el Big Bang. Según la teoría del Big Bang, el universo se formó después de que se liberara una cantidad gigantesca de energía que se convirtió en masa.

Fig. 1: El universo es un gran ejemplo de conversión de energía en masa.

Otros grandes ejemplos de conversión energía-masa son las centrales nucleares, las armas nucleares y el sol. Sin embargo, hay una diferencia en la manera en que convierten la masa en energía.

Fig. 2: Tanto el sol como las armas nucleares convierten la masa en energía