Equivalencia masa-energía

Principio de equivalencia masa-energía

La relatividad especial afirma que la masa de un cuerpo depende de su velocidad respecto al observador que la mide, sin embargo, podemos definir la masa del cuerpo en su marco de reposo como la masa intrínseca del cuerpo. La relatividad especial afirma que, aunque un cuerpo no tenga energía cinética en su marco de reposo, sigue teniendo energía intrínseca en reposo. Por ejemplo, cuando dos pares partícula-antipartícula (aproximadamente) estacionarios se aniquilan, la energía luminosa emitida es igual a las energías de reposo combinadas de las partículas. El principio de equivalencia masa-energía demuestra que esta energía en reposo es totalmente equivalente a la masa en reposo del cuerpo, hasta una constante.

La idea de que la masa y la energía son equivalentes es totalmente nueva en la relatividad especial y está ausente en cualquier forma de física newtoniana. Se trata de un fragmento de física asombrosamente profundo, y su simple enunciado oculta algunas consecuencias extraordinarias.

Fórmula de equivalencia masa-energía

La equivalencia masa-energía se define matemáticamente mediante la famosa fórmula de Einstein

\[E=mc^2,\]

siendo \(E\) y \(m\) la energía en reposo y la masa del cuerpo respectivamente. A partir de esta ecuación, vemos que la constante de conversión entre masa y energía es la velocidad de la luz al cuadrado \(c^2=9\veces10^{16}\,\mathrm{m/s^2}\).

Se trata de un número enorme, por lo que incluso masas en reposo muy pequeñas equivalen a enormes cantidades de energía. Por ejemplo, las armas nucleares con sólo unos pocos kilogramos de material fisionable producen tanta energía como decenas de miles de toneladas de TNT normal.

Fig . 2 - Se pueden liberar enormes cantidades de energía mediante la conversión de masa en reposo en energía, como en una bomba nuclear de fisión

Al calcular cantidades utilizando esta fórmula, es importante tener en cuenta qué unidades se utilizan para la masa y la energía. En física nuclear y de partículas es más habitual utilizar la unidad de megaelectronvoltios \(\mathrm{MeV}\) en lugar de julios \(\mathrm J\).

También es habitual utilizar unidades de \(\mathrm{MeV},\mathrm{c}^{-2}\) para la masa cuando se realizan cálculos con la ecuación de Einstein. Estas unidades equivalen a fijar la velocidad de la luz \(c=1\) haciendo que la energía y la masa sean exactamente iguales en estas unidades.

La fórmula de equivalencia masa-energía puede considerarse un caso especial de la ecuación más general de energía-momento de Einstein

\[E_r^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2.\]

Esta ecuación da la energía relativista \(E_r\) de una partícula con masa en reposo intrínseca \(m_0\), que se mueve con un momento \(p\) respecto al sistema de referencia en el que se observa. Así, podemos ver que la energía relativista total de una partícula se compone de una componente cinética asociada a su momento respecto a un observador, así como de una componente procedente de la masa en reposo intrínseca de la partícula, que es constante en todos los marcos. Si estamos en el marco de reposo de la partícula, \(p=0\) y la ecuación se convierte en la relación de equivalencia masa-energía de Einstein,\[E_r^2=(m_0c^2)^2 Flecha derecha E_r=m_0c^2.\]

Por el contrario, para las partículas sin masa, como los fotones, la energía total de la partícula depende totalmente del momento\[E_r=pc\]

Esto demuestra que no hay marco de reposo posible para los fotones, ya que siempre se desplazan a una velocidad \(c\) sea cual sea el marco de referencia.

Significado de la equivalencia masa-energía

Para comprender mejor lo que significa esta equivalencia masa-energía, veamos algunas consecuencias físicas directas de este hecho.

Las reacciones nucleares y el defecto de masa

La división del átomo en la década de 1930 puede que sea uno de los experimentos más influyentes de la historia de la humanidad. El descubrimiento de que se pueden generar enormes cantidades de energía a partir del proceso de fisión nuclear dio el pistoletazo de salida a la era nuclear, y tanto las centrales nucleares como las armas nucleares proliferaron por todo el mundo a lo largo del siglo XX. La fuente de esta asombrosa energía depende totalmente de la equivalencia masa-energía.

Los núcleos de los átomos están formados por protones y neutrones unidos por la fuerza nuclear fuerte. La fuerza de enlace de la fuerza fuerte significa que, cuando están unidos dentro de un núcleo, los protones y neutrones tienen una energía inferior a la que tendrían como partículas separadas. Por ello, cuando los protones y los neutrones se forman por primera vez en núcleos durante la fusión nuclear, se liberan grandes cantidades de energía. Debido a la equivalencia masa-energía, esta diferencia de energía, conocida como energía de enlace nuclear, debe tenerse en cuenta en la masa de los núcleos, lo que significa que la masa de un núcleo es menor que las masas combinadas de las partículas constituyentes. Esta diferencia de masa se conoce como defecto de masa y puede medirse experimentalmente.

Por ejemplo, la masa atómica de un átomo de Helio, en unidades de masa atómica \(\mathrm{u}) es \(4.0015084, mientras que dos protones y dos neutrones tienen una masa total de [\begin{align}2m_p+2m_n&=2\cdot1,000728\mathrm{u}+2\cdot1,008665,\mathrm{u}\&=4,03190,\mathrm{u}\end{align}].

Así vemos que el defecto de masa del helio es

\[\begin{align}\Delta m&=4.03190\,\mathrm{u}-4.00150\,\mathrm{u}\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=0.0303\,\mathrm{u}=5.03\times10^{-29}\,\mathrm{kg}\end{align}\]

Esta diferencia de masa se debe a la energía de enlace liberada al formarse el núcleo, que por la equivalencia masa-energía corresponde a una pérdida de masa. Podemos calcular la energía de enlace de los núcleos \(\Delta E\) utilizando la fórmula de equivalencia masa-energía

\[\Delta E=\Delta m c^2.\]

Utilizando el defecto de masa para el helio encontramos que la energía de enlace para un átomo de helio es

\[\begin{align} xml-ph-0000@deepl.internal \Delta E&=5.03\times10^{-29}\cdot\left(3.00\times10^8\right)^2\\ xml-ph-0001@deepl.internal &=45.3\times10^{-20}\,\mathrm{J}.\end{align}\]

Es este defecto de masa/energía de enlace lo que está detrás de la impresionante potencia de la reacción de fisión nuclear. Siempre que se produce una fisión, un núcleo pesado inestable se divide en dos núcleos más pequeños. La masa combinada de estos núcleos producto es menor que la masa del núcleo original, ya que la energía de enlace de los núcleos producto es mayor. El exceso de energía de enlace se libera como subproducto de la reacción, esta liberación de energía se aprovecha en las centrales nucleares y en las armas nucleares.

Fig. 3 - Diagrama que muestra la fisión del Uranio-235 en Criptón-89 y Bario-144 debido a la adición de un neutrón. La masa combinada de los núcleos producto es inferior a la masa del núcleo original.

Aniquilación partícula-antipartícula

La existencia de antipartículas fue postulada por primera vez por Dirac en 1932 y confirmada experimentalmente poco después. Estas antipartículas tienen propiedades casi idénticas a las de las partículas "normales" de la materia, salvo que su carga es opuesta. Por ejemplo, un positrón o antielectrón tiene la misma masa y espín que un electrón, pero una carga positiva. Cuando un par de partícula y antipartícula colisionan, se aniquilan liberando energía, a menudo en forma de fotones, aunque también pueden producirse otras partículas. Si la energía cinética de la partícula y la antipartícula es despreciable en comparación con sus energías en reposo, podemos pensar en la aniquilación como un proceso por el que la masa total en reposo de las dos partículas se convierte en energía desprendida en forma de dos fotones. Por tanto, la energía de los fotones emitidos puede calcularse a partir de las masas en reposo de las partículas, utilizando la relación de equivalencia masa-energía de Einstein.

Fig. 4 - Diagrama de Feynman que muestra un par electrón-positrón aniquilándose mutuamente. El positrón se mueve hacia atrás en el tiempo, y los fotones producidos se muestran como líneas onduladas etiquetadas como \(\gamma\).

Ejemplos de equivalencia masa-energía

Para recapitular, veamos algunos ejemplos de cálculos asociados a la equivalencia masa-energía.