Función de onda

Función de onda del electrón

Uno de los primeros grandes avances de la física cuántica se produjo cuando Erwin Schrödinger aplicó el concepto de función de onda cuántica a los electrones de un átomo. Una función de onda cuántica describe la posición de un electrón alrededor del núcleo dentro de un átomo. La función de onda no es una órbita precisa, sino una "nube de probabilidad" con regiones en las que es más o menos probable que se encuentre el electrón.

Fig. 1. Imagen que muestra las densidades de probabilidad de un electrón alrededor de un núcleo en un átomo de hidrógeno. Cuanto más claro es el color, más probable es que el electrón se encuentre allí. Esta densidad de probabilidad está definida por la función de onda \(\Psi\).

El nivel de energía u orbital del electrón dentro del átomo determina la forma de la nube de probabilidad. La figura 1 muestra los orbitales de un electrón dentro de un átomo de hidrógeno. Lo más probable es que el electrón se encuentre en las regiones más claras, mientras que nunca se encontrará en las regiones negras. Además, los llamados números cuánticos caracterizan la forma del orbital definiendo el momento angular y el espín del electrón. A bajas energías, el orbital tiene forma de anillo, similar al Modelo de Bohr de órbitas circulares. Sin embargo, a energías más altas, la forma de estos orbitales se vuelve más compleja. Este modelo de función de onda para los electrones atómicos es la imagen más precisa que tenemos del átomo y ha sido clave para desarrollar nuestra teoría del enlace químico. En consecuencia, una de las aplicaciones más importantes de la mecánica cuántica es su predicción de las propiedades de la tabla periódica.

Gráfica de la función de onda

Podemos visualizar el comportamiento de una partícula cuántica con la gráfica de su función de onda. Observando la amplitud de la gráfica, podemos ver qué regiones tienen más probabilidades de contener la partícula. Observar cómo cambia la gráfica con el tiempo también indica cómo evoluciona la partícula cuántica. Por ejemplo, observa el siguiente gráfico que representa la función de onda de una partícula en una caja. La función de onda es una onda estacionaria con cuatro nodos y tres antinodos. Los nodos de la función de onda de la partícula son las regiones donde la probabilidad de encontrar la partícula es menor, mientras que los anti-nodos son las regiones donde la probabilidad de encontrar la partícula es mayor.

Fig.2- Gráfico de la función de onda de una partícula atrapada en una caja. La onda estacionaria formada muestra que hay zonas de alta probabilidad y zonas de probabilidad cero, muy parecidas a los orbitales de los electrones en un átomo.

Podemos ver esta distribución de probabilidad más directamente graficando el valor absoluto al cuadrado de la función de onda

\[||Psi(x)|^2\]

La figura siguiente muestra el resultado. En esta figura, los tres picos claros corresponden a los antinodos de la onda estacionaria.

Fig. 3. El trazado de \(|\Psi(x)|^2\) da la distribución de densidad de probabilidad de la posición de las partículas.

La gráfica de |(|Psi(x)|^2) es una distribución de probabilidad continua que da la densidad de probabilidad de la partícula en cada punto. El área bajo la gráfica en alguna región \({a<x<b}\) da la probabilidad de encontrar la partícula. Esto equivale al procedimiento habitual de sumar probabilidades en una distribución de probabilidad discreta. Un área mayor significa que la probabilidad de encontrar allí la partícula es mayor. Como cabría esperar, aumentar el tamaño de la región dentro de la cual buscamos la partícula significa una mayor área bajo el gráfico y una mayor probabilidad de encontrar la partícula.

Normalización de la función de onda

Podemos imponer algunas restricciones clave a una función de onda para asegurarnos de que describe partículas físicas de acuerdo con los experimentos. Considera la búsqueda de una partícula dentro de una caja. Obviamente, la partícula debe estar en alguna parte si miramos en toda la región de la caja. Matemáticamente, decimos que la suma de las probabilidades de cada posición debe ser siempre \(1\). Como vimos en el apartado anterior, el área bajo la gráfica de \(||Psi(x)|^2\) dentro de alguna región es equivalente a esta suma sobre las probabilidades. De ello se deduce que el área total bajo la gráfica de \(|\Psi(x)|^2\) debe ser siempre uno. Observa que esto se aplica a cualquier función de onda. Aunque \(\Psi(x)\) se extienda por un espacio infinito (como ocurre con las partículas libres), el área bajo la gráfica \(||Psi(x)|^2\) siempre debe ser igual a uno.

Esto puede parecer una enorme limitación del número de funciones de onda físicamente admisibles. Sin embargo, es posible encontrar una función de onda físicamente admisible a partir de casi cualquier función de onda multiplicándola por un factor adecuado, conocido como factor de normalización. Considera una gráfica de \(||Psi(x)|^2) , denotada \(A\) para alguna función de onda \(\Psi(x)\). Si el área bajo la curva no es igual a uno, podemos multiplicar \(\Psi(x)\) por \(\frac{1}{A}}) para asegurarnos de que la nueva función de onda es física.\[\Psi_N(x)=\frac{1}{A}\Psi(x).\]

Este proceso se denomina normalización de la función de onda \(\Psi(x)\). Increíblemente, resulta que la física descrita por la función de onda normalizada \(\Psi_N(x)\) es totalmente equivalente a la función de onda original no normalizada. Sin embargo, este procedimiento de normalización sólo funciona para funciones de onda en las que \(0<A<infty\).

Colapso de la función de onda

Es importante tener en cuenta que la función de onda de un sistema determina la probabilidad de encontrar el sistema en algún estado o posición tras la medición. Sin embargo, algo extraño ocurre una vez que realizamos esa medición. Supongamos que queremos comprobar los resultados de nuestra primera medición realizando una segunda medición poco después. Para que el resultado de nuestra primera medición sea válido, esta segunda medición debe arrojar el mismo resultado. De lo contrario, no hay nada que confirme nuestra medición inicial. Esto significa que, una vez medido, un sistema cuántico debe permanecer en el mismo estado. Esto tiene una profunda implicación para nuestra comprensión de la función de onda.

Consideremos la medición de la posición de una partícula, también descrita por una función de onda. Inicialmente, la función de onda es una dispersión de amplitudes de probabilidad en el espacio. Sin embargo, una vez que realizamos una medición, sabemos con certeza la posición de la partícula. Llamemos a esta posición \(C\). Cualquier medición posterior debe devolver siempre \(C\), con lo que la probabilidad en \(C\) es uno y cero en cualquier otra parte. Esto significa que la función de onda se convierte en un pico agudo centrado en \(C\) con amplitud cero en todas las demás partes.

Fig. 5. Después de medir la partícula dentro de la caja, su función de onda se reduce a un único punto que se muestra arriba como un pico agudo alrededor de \(x=1\). La probabilidad de encontrar la partícula en \(x=1\) es ahora \(1\).

Decimos que la medición ha "colapsado" la función de onda hasta un único punto. Este colapso de la función de onda demuestra la naturaleza misteriosa de las mediciones en mecánica cuántica. Es uno de los aspectos más extraños y controvertidos de la física cuántica. La física que subyace a tal colapso, y si tal interpretación física es siquiera posible, sigue siendo un tema de encarnizado debate.