residuos

Los residuos en matemáticas

Por ejemplo, suponiendo que quieras averiguar cómo afectan los cambios climáticos al rendimiento de una explotación. Puedes especificar variables climáticas en el modelo, como las precipitaciones y la temperatura. Sin embargo, otros factores como el tamaño de la tierra cultivada y el uso de fertilizantes, entre otros, también afectan al rendimiento de la explotación. De ahí que la pregunta sea: "¿predice el modelo con exactitud el nivel de rendimiento teniendo en cuenta los cambios climáticos como variable explicativa?". Entonces, ¿cómo se mide el impacto de un factor determinado? Veamos una definición breve e informal de residuo.

Puedes apoyarte en el tamaño del residuo para informarte sobre lo bueno que es tu modelo de predicción. Eso significa que consideras el valor del residuo para explicar por qué la predicción no es precisamente como lo real.

En matemáticas, el valor residual se suele utilizar en términos de activos y en estadística (básicamente, en análisis de regresión, como se ha comentado en apartados anteriores). El valor de un activo tras un tiempo de uso determinado explica el valor residual del activo.

Así pues, formalmente puedes definir los residuales como sigue.

Definición de residuo

El residuo es la distancia vertical entre el punto observado y el punto predicho en un modelo de regresión lineal. El residuo se denomina término de error en un modelo de regresión, aunque no es un error, sino la diferencia de valor. He aquí la definición más formal de un residuo en términos de una recta de regresión.

Matemáticamente, puedes estimar el residuo deduciendo los valores estimados de la variable dependiente \((\hat{y})\) de los valores reales dados en un conjunto de datos \((y)\).

El residuo se representa por \(\varepsilon \). Eso significará

\[\varepsilon =y-\hat{y}.\]

El valor predicho \((\hat{y})\) se obtiene sustituyendo los valores \(x\) en la recta de regresión por mínimos cuadrados.

Residuales de los puntos de datos

En el gráfico anterior, el hueco vertical entre un punto de datos y la línea de tendencia se denomina residuo. El punto en el que se fija el punto de datos determina si el residual será positivo o negativo. Todos los puntos por encima de la línea de tendencia muestran un residuo positivo y los puntos por debajo de la línea de tendencia indican un residuo negativo.

Residual en regresión lineal

Para simplificar, veamos los residuos de los datos bivariantes. En la regresión lineal, incluyes el término residual para estimar el margen de error en la predicción de la recta de regresión que pasa por los dos conjuntos de datos. En términos sencillos, los residuales explican o se hacen cargo de todos los demás factores que pueden influir en la variable dependiente de un modelo, aparte de lo que establece el modelo.

Los residuales son una forma de comprobar los coeficientes de regresión u otros valores en la regresión lineal. Si los residuales trazan algunos patrones no deseados, entonces no se puede confiar en algunos valores de los coeficientes lineales.

Debes hacer las siguientes suposiciones sobre los residuales para cualquier modelo de regresión:

Suposiciones de los residuos

• Tienen que ser independientes: ningún residuo de un punto influye en el valor residual del punto siguiente.

• Se supone una varianza constante para todos los residuales.

• El valor medio de todos los residuos de un modelo debe ser igual a \(0\).

• Los residuos deben distribuirse normalmente/seguir una distribución normal: si se representan gráficamente, se obtiene una línea recta si se distribuyen normalmente.

Ecuación residual en matemáticas

Dado el modelo de regresión lineal que incluye el residuo para la estimación, puedes escribir

\[y=a+bx+\varepsilon ,\\]

donde \(y\) es la variable de respuesta (variable independiente), \(a\) es la intercepción, \(b\) es la pendiente de la recta, \(x\) es

la variable explicativa (variable dependiente) y \(\varepsilon\) es el residuo.

Por tanto, el valor predicho de \(y\) será:

\[\que{y} = a+bx .\\]

Entonces, utilizando la definición, la ecuación residual del modelo de regresión lineal es

\[\varepsilon =y-\hat{y}\]

donde \(\varepsilon) representa el residuo, \(y\) es el valor real y \(\hat{y}\) es el valor predicho de y.

Esta ecuación para los residuos te será útil para hallar los residuos de cualquier dato dado. Ten en cuenta que el orden de sustracción es importante para hallar los residuos. Siempre es el valor predicho el que se resta del valor real. Es decir

residuo = valor real - valor predicho.

Cómo hallar residuos en matemáticas

Como has visto, los residuos son errores. Por lo tanto, quieres averiguar la exactitud de tu predicción a partir de las cifras reales teniendo en cuenta la línea de tendencia. Para hallar el residuo de un punto de datos

• En primer lugar, conoce los valores reales de la variable considerada. Pueden presentarse en forma de tabla.

• En segundo lugar, identifica el modelo de regresión que hay que estimar. Encuentra la línea de tendencia.

• A continuación, utilizando la ecuación de la línea de tendencia y el valor de la variable explicativa, halla el valor predicho de la variable dependiente.

• Por último, resta el valor estimado del real dado.

Esto significa que si tienes más de un punto de datos; por ejemplo, \(10\) observaciones para dos variables, estarás estimando el residuo para todas las \(10\) observaciones. Es decir, \(10\) residuos.

Puedes entenderlo más claramente viendo un ejemplo.

A continuación puedes ver cómo trazar los residuales en el gráfico.

Gráfico de residuos

El gráfico de residuos mide la distancia que separa los puntos de datos de la línea de tendencia en forma de gráfico de dispersión. Se obtiene trazando los valores residuales calculados frente a las variables independientes. El gráfico te ayuda a visualizar hasta qué punto la línea de tendencia se ajusta al conjunto de datos dado.

Fig. 1. Residuales sin patrón.

El gráfico de residuales deseable es el que no muestra ningún patrón y los puntos están dispersos al azar. Puedes ver en el gráfico anterior que no hay ningún patrón específico entre los puntos, y que todos los puntos de datos están dispersos.

Un valor residual pequeño da lugar a una línea de tendencia que se ajusta mejor a los puntos de datos y viceversa. Por tanto, valores mayores de los residuales sugieren que la línea no es la que mejor se ajusta a los puntos de datos. Cuando el residuo es \(0\) para un valor observado, significa que el punto de datos está precisamente en la línea de mejor ajuste.

A veces, un gráfico de residuos puede ser bueno para identificar posibles problemas en el modelo de regresión. Puede mostrar mucho más fácilmente la relación entre dos variables. Los puntos muy por encima o por debajo de las líneas horizontales en los gráficos de residuos muestran el error o un comportamiento inusual en los datos. Y algunos de estos puntos se denominan valores atípicos respecto a las líneas de regresión lineal.

Considerando el mismo ejemplo anterior, puedes trazar los valores residuales a continuación.

A continuación, puedes ver cómo resolver el problema de los residuos para distintos escenarios.

Ejemplos de residuos en matemáticas

Puedes comprender mejor cómo calcular los residuos siguiendo los ejemplos de residuos que te presentamos a continuación.

Considera otro ejemplo para hallar los valores predichos y los residuales de los datos dados

El siguiente ejemplo mostrará el trazado de los residuos en el gráfico.