Cuadrados

Definición de cuadrado

Lee sobre Cuadriláteros para refrescar los conceptos básicos.

Ejemplos de cuadrados

Como hemos mencionado al principio de este artículo, podemos encontrar formas cuadradas en muchas cosas que nos rodean. Vamos a mostrarte algunos ejemplos.

Propiedades de un cuadrado

Un cuadrado es un caso especial de un paralelogramo, por lo tanto tiene las mismas propiedades que éste, pero también tiene otras propiedades únicas que lo convierten en la forma que es. Lee más sobre los paralelogramos, si necesitas un resumen.

Podemos definir las propiedades de un cuad rado como sigue:

• Al igual que un paralelogramo, un cuadrado tiene todos sus lados opuestos paralelos entre sí. En el ejemplo siguiente $\overline{AB}\parallel \overline{CD}$ y $\overline{DA}\parallel \overline{BC}$.

Propiedades de un cuadrado (lados opuestos paralelos) - StudySmarter Originals

• Todos los lados de un cuadrado son congruentes, lo que significa que miden lo mismo. En el ejemplo siguiente, todos los lados del cuadrado miden 2 unidades, por lo que todos son congruentes $(\overline{AB}\cong \overline{BC}\cong \overline{CD}\cong \overline{DA})$.

Propiedades de un cuadrado (lados congruentes) - StudySmarter Originals

• Los cuatro ángulos de un cuadrado son iguales a 90° (ángulos rectos). En la imagen siguiente, $\angle A,\angle B,\angle Cand\angle D$ todos miden 90°.

Propiedades de un cuadrado (ángulos rectos) - StudySmarter Originals

• Las diagonales de un cuad rado tienen la misma longitud y se bisecan en un ángulo de 90°. En otras palabras, las diagonales son perpendiculares entre sí y se cruzan en su centro. Podemos observar en la siguiente figura que las dos diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ se cruzan en un punto M, y son perpendiculares entre sí $\overline{AC}\perp \overline{BD}$. Puesto que $\overline{AC}\cong \overline{BD}$M es el punto medio de ambas diagonales, por tanto $\overline{AM}\cong \overline{MC}\cong \overline{BM}\cong \overline{MD}$.

Propiedades de un cuadrado (diagonales) - StudySmarter Originals

La longitud de la diagonal de un cuad rado, en relación con la longitud de su lado, puede calcularse mediante el teorema de Pitágoras.

Calculemos la longitud de la diagonal $\overline{AC}$que llamaremos d, dado que la longitud del lado del cuadrado es igual a s, como se muestra en la imagen siguiente.

Longitud de la diagonal de un cuadrado - StudySmarter Originals

Utilizando el teorema de Pitágoras, obtenemos lo siguiente:

$$\begin{gathered} d^2=s^2+s^2 \\ {d}^2=2s^2 \\ \sqrt{d^2}=\sqrt{2s^2} \\ \cancel{\sqrt{d\cancel{{}^2}}}=\sqrt{2}·\cancel{\sqrt{s^{\cancel{2}}}} \\ d=\sqrt{2}·s \\ \boxed{\mathbf{d}\mathbf{=}\mathbf{s}\sqrt{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$

En un cuadrado, la longitud de una diagonal es igual a la longitud del lado multiplicada por la raíz cuadrada de 2. Por tanto, la longitud de ambas diagonales: $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ es igual a $s\sqrt{2}$.

s2

• Una diagonal de un cuadrado lo divide en dos triángulos isósceles congruentes. Esta propiedad puede ilustrarse en la imagen siguiente:

Propiedades de un cuadrado (triángulos isósceles congruentes) - StudySmarter Originals

En el cuadrado ilustrado en la imagen anterior, podemos observar que la diagonal $\overline{AC}$ divide nuestro cuadrado en dos triángulos: el verde $△ABC$y el azul $△ADC$. Estos dos triángulos son isósceles, ya que cada triángulo tiene dos lados iguales.

Propiedades comunes entre cuadrados, rectángulos, paralelogramos y rombos

En el diagrama siguiente, puedes ver que un cuadrado es un caso especial de un rectángulo y un rombo.

Diagrama que representa las relaciones entre cuadriláteros - StudySmarter Originals

En otras palabras, todos los cuadrados son rectángulos y rombos. Esto es cierto, ya que un cuadrado tiene todas las propiedades de un rectángulo y de un rombo, además de algunas propiedades adicionales. En la tabla siguiente puedes ver un resumen de las propiedades de los cuadriláteros:

Podemos extraer las siguientes conclusiones del diagrama y la tabla anteriores:

1. Un cuadrado tiene todas las propiedades de un rectángulo y un rombo;

2. Un cuadrado es un caso especial de un rectángulo, pero también un caso especial de un rombo;

3. Un cuadrado, un rectángulo y un rombo tienen todas las propiedades de un paralelogramo;

4. Un cuadrado, un rectángulo y un rombo son casos especiales de paralelogramos;

5. Un cuadrado, un rectángulo, un rombo y un paralelogramo son casos especiales de cuadriláteros.

Fórmulas de cuadrados

Las fórmulas relacionadas con los cuadrados que debes recordar son las que permiten calcular su perímetro y su área. Veamos algunos ejemplos de cómo calcular ambos en los siguientes apartados.

Perímetro de un cuadrado

Un elemento bidimensional es cualquier forma que pueda colocarse sobre una superficie plana. El perímetro de cualquier forma bidimensional es la longitud de sus límites o lados.

El cuadrado es una forma bidimensional con cuatro lados iguales y cuatro ángulos de 90°. Por tanto, podemos definir su perímetro de la siguiente manera.

En otras palabras, si un cuadrado tiene 4 lados de longitud a, su perímetro (P ) puede calcularse como sigue:

$$\begin{gathered} P=a+a+a+a \\ P=4·a \end{gathered}$$

Exploremos esto con más detalle con algunos ejemplos.

Área de un cuadrado

En general, el área se define como la región contenida dentro de los límites de un objeto plano o una figura 2D. En otras palabras, el área es la cantidad de espacio que ocupa el objeto. Concretamente, el área de un cuadrado puede definirse como sigue:

Esta medida se da en unidades cuadradas, como ^cm2,^m2, etc.

La fórmula para calcular el área de un cuadrado (A) es

$A=a^2$,

donde a es la longitud del lado del cuadrado.