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En este artículo aprenderemos qué son la media, la mediana y la moda, y sus aplicaciones.
Definición de media, mediana y moda
La media, la mediana y la moda son medidas de tendencia central que intentan resumir un conjunto de datos dado en un único valor, hallando su valor central.
Utilizamos así ese único valor para representar lo que dice el conjunto de datos, ya que refleja de qué trata el conjunto de datos.
Cada una de estas tres medidas de tendencia central, la media, la moda y la mediana, proporcionan valores distintos para el mismo conjunto de datos, ya que tienen enfoques diferentes para cada medida.
Definición de media
La media es la suma de todos los valores de los datos dividida por el número de valores de los datos.
Definición de mediana
La mediana es el valor que separa la mitad superior de la mitad inferior del conjunto de datos.
Definición de moda
La moda denota el valor de datos más frecuente en un conjunto de datos. Esta medida de tendencia central trata de esbozar qué punto de los datos se da más.
Fórmula de la media, la mediana y la moda
En este apartado, entraremos en los detalles del cálculo de la media, la mediana y la moda.
Fórmula de la media
Como se ha dicho antes en este artículo, la media de una lista de números es la suma de estos números dividida por el número de estos números. Es decir, para una lista de \(N\) números \(x_1,x_2,...,x_n\), la media denotada por \(\mu\) se calcula mediante la fórmula
\[\mu=\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{N}\]
Fórmula de la mediana
Como se ha dicho antes en este artículo, la mediana es el valor que separa la mitad superior de la mitad inferior del conjunto de datos.
La mediana de una lista finita de números es el número "medio" cuando esos números se ordenan de menor a mayor.
La mediana de un conjunto finito puede calcularse siguiendo los pasos que se indican a continuación,
- Ordena los números de menor a mayor.
- Si el número de los números es impar, el valor medio es la mediana.
- Si el número de números es par, la mediana es la media de los dos valores medios que tenemos.
Fórmula de la moda
Como se ha dicho antes en este artículo, la moda denota el valor de datos más frecuente en un conjunto de datos.
Un conjunto de datos puede tener una moda, más de una o ninguna.
Para encontrar la moda, sigue estos pasos,
- Reordena los valores de tu conjunto de datos del más bajo al más alto.
- Anota el valor de datos que más se ha producido.
Ejemplos de media, mediana y moda
Halla el salario medio anual de un equipo formado por una empresa, donde sus respectivos salarios anuales son los siguientes: 22.000, 45.000, 36.800, 70.000, 55.500 y 48.700 euros.
Solución
Sumamos los valores de los datos y los dividimos por el número de valores de los datos que tenemos, como dice la fórmula.
\[\begin{align}\mu&=\dfrac{\sum x_i}{N}=\\&=\dfrac{£\,22,000+£\,45,000+£36,800+£\,70,000+£\,55,500+£\,48,700}{6}=\\&=\dfrac{£\,278,000}{6}=\\&=£\,46,333.33\end{align}\]
Según este cálculo, el salario medio del equipo es de 46.333 £.
Halla la media de los datos de los salarios de un equipo de empleados reunidos por una empresa, incluido su supervisor, como 22.000 £, 45.000 £, 36.800 £, 40.000 £, 70.000 £, 55.500 £ y 48.700 £, halla la mediana.
Solución
Ordenamos los valores de nuestros datos de menor a mayor.
22.000 £, 36.800 £, 40.000 £, 45.000 £, 48.700 £, 55.500 £ y 70.000 £.
Observamos que el número de valores de los datos es 7, que es un número impar, por lo que la mediana es el punto medio entre la mitad más baja (formada por 22.000 , 36.800 y 40.000 £) y la mitad más alta del conjunto de datos (formada por 48.700, 55.500 y 70.000 £).
Así pues, el valor medio aquí es 45.000 £ , por lo que deducimos que
\[\text{Median}=£\,45,000\]
Ahora, suponiendo que el supervisor no esté incluido en el recuento y tengamos un número par como número total de puntos de datos, ¿cómo hallaremos la mediana? Tomemos el siguiente ejemplo.
El conjunto de datos del equipo reunido por la empresa excluyendo a su supervisor es el siguiente, 22.000, 45.000, 36.800, 40.000, 55.500 y 48.700 euros, halla la mediana.
Solución
Ordenamos estos valores de menor a mayor.
£22,000, £36,800, £40,000, £45,000, £48,700, £55,500.
Observamos que el número de los valores de los datos es 6, que es un número par, por lo que tenemos dos números como punto medio de los datos. Sin embargo, para hallar la mediana, hallamos la media de esos dos números, 40.000 £ y 45.000 £.
\[\text{Average}=\dfrac{£\,40,000+£\,45,000}{2}=\dfrac{£\,85,000}{2}=£\,42,500\]
Por tanto, la mediana es 42.500 £.Halla la moda del conjunto de datos dado, 45, 63, 1, 22, 63, 26, 13, 91, 19, 47.
Solución
Reordenamos el conjunto de datos de menor a mayor valor.
1, 13, 19, 22, 26, 45, 47, 63, 63, 91
Contamos la aparición de cada valor de datos y vemos que todos los valores de datos aparecen una sola vez, mientras que el valor de datos 63 aparece dos veces. Por tanto, el modo del conjunto de datos es
\[\text{Modo}=63\]
Supongamos que Mike quiere comprar una vivienda en Londres, así que sale a informarse de los precios de lo que le gustaría exactamente. Los datos que obtiene sobre los precios de todas las propiedades por las que preguntó son los siguientes: 422.000 £, 250.000 £, 340.000 £, 510.000 £ y 180.000 £.
Encuentra
- Media
- Mediana
- Moda
Solución
1. Para hallar la media, utilizamos la fórmula de la media. Primero hallamos la suma de todos los valores de los datos y la dividimos por el número de valores de los datos.
\[\mu=\dfrac{\sum x_1}{N}=\dfrac{£\,422,000+£\,250,000+£\,340,000+£\,510,000+£\,180,000}{5}\]
\[\mu=\dfrac{£\,1,702,00}{5}=£\,340,400\]
El precio medio es 340.400 £.
2. Para hallar la mediana, tendremos que ordenar los valores de los datos en orden ascendente,
£180,000, £250,000, £340,000, £422,000, £510,000 .
El número de valores de los datos es 5, que es impar, por lo que observamos que el tercer valor de los datos es el medio entre la mitad más baja y la mitad más alta. Por tanto, ahora podemos identificar fácilmente cuál es el valor del punto medio
\[\text{Median}=£\,340,000\}
3. La moda es el valor más ocurrido de los datos. Para hallarlo, primero reordenaremos los valores de los datos en orden ascendente.
£180,000, £250,000, £340,000, £422,000, £510,000
Observamos que no hay ningún valor de datos más ocurrido. Por tanto, el conjunto de datos no tiene modo.
Se recogieron las estaturas de los alumnos del 11º curso y los datos son los siguientes
173 cm, 151 cm, 160 cm, 151 cm, 166 cm, 149 cm.
Halla
- Media
- Mediana
- Moda
Solución
1. Para hallar la media, utilizaremos la fórmula de la media, en la que sumamos todos los valores de los datos y dividimos la suma por el número de valores de los datos.
\[\begin{align}\mu&=\dfrac{\sum x_i}{N}=\dfrac{173\,\mathrm{cm}+151\,\mathrm{cm}+160\,\mathrm{cm}+151\,\mathrm{cm}+166\,\mathrm{cm}+149\,\mathrm{cm}}{6}=\\\\&=\dfrac{950\,\mathrm{cm}}{6}=158.33\,\mathrm{cm}\end{align}\]
La altura media es \(158,33,\mathrm{cm}).
2. La mediana es el valor del punto medio del conjunto de datos. Para hallarla, reordenaremos primero los valores de los datos en orden ascendente, para obtener
149 cm, 151 cm, 151 cm, 160 cm, 166 cm, 173 cm
Observamos que el número de valores de los datos es 6, que es un número par, y por tanto tenemos dos valores en el medio. Son 151 cm y 160 cm. Hallaremos la media de estos valores sumándolos y dividiéndolos por 2.
\[\dfrac{151+160}{2}=\dfrac{311}{2}=155.5\]
Por tanto, la mediana es
\[\text{Median}=155.5\,\mathrm{cm}\]
3. La moda es el valor más frecuente en el conjunto de datos. Podemos reordenar los valores de los datos en orden ascendente para obtener
149 cm, 151 cm, 151 cm, 160 cm, 166 cm, 173 cm.
Podemos identificar que 151 cm es el valor más frecuente, por tanto
\[\text{Mode}=151\,\mathrm{cm}\]
Media, mediana y moda - Puntos clave
- La media, la mediana y la moda son medidas de tendencia central que intentan resumir un conjunto de datos dado en un único valor, hallando su valor central según alguna métrica.
- La media es la suma de todos los valores de los datos dividida por el número de valores de los datos.
- La mediana es el valor del punto medio del conjunto de datos cuando se ordenan de forma ascendente.
- La moda denota el valor de datos que más se produce en un conjunto de datos.
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