Probabilidades de Eventos Combinados: Matemáticas, Estadísticas

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Supón que conoces la probabilidad de que ocurran dos sucesos. ¿Qué harías para averiguar la probabilidad de que ocurran ambos sucesos? ¿Cómo hallarías la probabilidad de que se produzca uno de los dos sucesos? Preguntas como ésta dependerán de la relación probabilística entre los dos sucesos. Existen muchos enfoques diferentes que dependerán del escenario que se te plantee. Este artículo tratará algunas de las situaciones a las que te puedes enfrentar.

La relación entre sucesos

Si queremos hallar la probabilidad de un suceso combinado, debemos comprender la relación entre los sucesos. Hay dos tipos en los que debes fijarte: sucesos independientes y sucesos mutuamente excluyentes.

Sucesos independientes

Dos sucesos son independientes si el resultado de uno no afecta a la probabilidad del otro. Esto se define matemáticamente como:

$P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ .

En otras palabras, si dos sucesos son independientes, entonces la intersección de los sucesos (es decir, la probabilidad de que ocurran A y B) es igual al producto de los sucesos. Es lo que se denomina regla del producto oregla de la "y".

Diagrama de Venn de acontecimientos independientes Diagrama de Venn de sucesos independientes

Una pareja tiene dos hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean varones?

Solución

Dado que hay la misma probabilidad de tener un niño o una niña, la probabilidad de que uno de los hijos sea niño es $P (" B o y ") = 0.5$ .

Como el resultado del primer hijo (que sea niño o niña) no afecta al resultado del segundo, podemos decir que el sexo de cada hijo es independiente. Por tanto:

$P (" T w o b o y s ") = P (" B o y ") \times P (" B o y ") = 0.5 \times 0.5 = 0.25$

Sucesos mutuamente excluyentes

Los sucesos mutuamenteexcluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Si dos sucesos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno de ellos (pero no los dos) es igual a la suma de las probabilidades de los dos sucesos.

$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

En otras palabras, si dos sucesos se excluyen mutuamente y queremos averiguar la probabilidad de que ocurra alguno de ellos, tenemos que sumar las probabilidades de los dos sucesos. A veces se denomina regla de la suma o regla "o".

Diagrama de Venn de acontecimientos mutuamente excluyentes Diagrama de Venn de sucesos mutuamente excluyentes

Tiras un dado normal de 6 caras. ¿Cuál es la probabilidad de que saques un 3 o un 5?

Solución

Como no puedes sacar 3 y 5 al mismo tiempo, estos dos sucesos se excluyen mutuamente. Esto significa que podemos aplicar la regla de la "suma":

$P (" r o l l i n g 3 " \cup " r o l l i n g 5 ") = P (" r o l l i n g 3 ") + P (" r o l l i n g 5 ") = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

Enumerar resultados

Enumerar los resultados puede ser a veces una forma más práctica de hallar la probabilidad de sucesos combinados. Este método utiliza la fórmula básica de la probabilidad:

$P (A) = \frac{T h e n u m b e r o f w a y s f o r A t o o c c u r}{T o t a l n u m b e r o f p o s s i b l e o u t c o m e s}$

Enumerando todos los resultados posibles, dado que todos tienen la misma probabilidad de ocurrir, puedes hallar la probabilidad de una determinada combinación de sucesos.

Debes tener cuidado de enumerar los resultados sistemáticamente para no omitir ninguno.

Hay 4 manzanas rojas idénticas. Dos de ellas son venenosas y las otras dos son inofensivas. Sin embargo, el veneno no es muy fuerte. Sólo morirás si comes las dos manzanas venenosas consecutivamente.

Te comes tres de las manzanas. ¿Cuál es la probabilidad de que vivas?

Solución

Denominemos "P" a las manzanas venenosas y "A" a las manzanas normales. La combinación de todos los resultados posibles es la siguiente

AAP, APA, PAA, PAP, PPA, APP

Sólo morirás si consumes dos manzanas venenosas consecutivamente. Por tanto, sobrevivirás si el resultado es AAP, APA, PAA o PAP. Utilizando la fórmula básica de la probabilidad:

$P (" S u r v i v i n g ") = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Por tanto, la probabilidad de sobrevivir es $\frac{2}{3}$

Probabilidad condicional

Si alguna vez ves la frase "dado que" en una pregunta, seguro que se trata de una pregunta sobre probabilidad condicional. Podrían pedirte que hallaras la probabilidad del suceso B dado que ha ocurrido A (utilizando la notación matemática: $P (B | A)$ donde "|" significa "dado que").

Hay una regla que puede aplicarse a este tipo de preguntas:

$P (B g i v e n A) = \frac{P (A a n d B)}{P (A)}$

$P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$

El 45% de los propietarios de mascotas tienen perros, y el 4% tienen perros y gatos. Dado que alguien tiene un perro, ¿qué probabilidad hay de que también tenga un gato?

Solución

Primero, utiliza la fórmula de probabilidad condicional para expresar matemáticamente la pregunta:

P (" C a t " | " D o g ") = \frac{P (" C a t " \cap " D o g ")}{P (" D o g ")}

A continuación, introduce los números de la pregunta y calcula la respuesta:

$P (" C a t " | " D o g ") = \frac{P (" C a t " \cap " D o g ")}{P (" D o g ")} = \frac{0.04}{0.45} = \frac{4}{45} = 0.0889$ a 3 s.f.

Árboles de probabilidad

También puede ser beneficioso utilizar un árbol de probabilidades para hallar probabilidades condicionales. Este método ayuda a los alumnos a analizar y visualizar una cuestión que puede no ser inmediatamente obvia.

La tasa de infección de una enfermedad concreta en una población es del 1%. La prueba para detectar esta enfermedad es exacta el 99% de las veces. Demuestra esta información utilizando un árbol de probabilidades.

Solución

Si la prueba tiene una precisión del 99%, significa que

si das positivo, hay un 99% de probabilidades de que tengas la enfermedad
si das negativo, hay un 99% de probabilidades de que no tengas la enfermedad

Podemos ilustrarlo de la siguiente manera:

Diagrama de árbol 1

La segunda columna de ramas, etiquetadas como "infectado" y "sano", indica las probabilidades condicionales.

Por ejemplo, las ramas exteriores indican la probabilidad de que alguien esté infectado si da positivo en la prueba:

Diagrama de árbol 2

Podemos utilizar este diagrama para, por ejemplo, hallar la probabilidad de que alguien esté infectado si da negativo. Lee el diagrama como sigue:

Diagrama de árbol 3

Podemos ver que $P (I n f e c t e d | N e g a t i v e) = 0.01$ .

Otra interpretación es que la información a la izquierda del símbolo "dado que" indica el resultado de la primera rama. La información a la derecha del símbolo "dado que" indica el resultado de la segunda serie de ramas.

Tomemos el escenario del ejemplo anterior. ¿Cuál es la probabilidad de que alguien esté infectado y dé negativo?

Solución

En primer lugar, reformula la pregunta utilizando la fórmula de la probabilidad condicional:

P (I n f e c t e d | N e g a t i v e) = \frac{P (I n f e c t e d \cap N e g a t i v e)}{P (N e g a t i v e)}

De nuestro diagrama de árbol anterior, sabemos que la probabilidad de que alguien esté infectado dado que da negativo es 0,01. También sabemos que la probabilidad global de que alguien dé negativo es de 0,99.

Introduce estas probabilidades y reordénalas:

$P (I n f e c t e d | N e g a t i v e) = 0.01 = \frac{P (I n f e c t e d \cap N e g a t i v e)}{0.99}$

P (I n f e c t e d \cap N e g a t i v e) = 0.01 \times 0.99 = 0.0099

Por tanto, la probabilidad de dar negativo y estar infectado es de 0,0099.

Probabilidades de sucesos combinados - Puntos clave

Dos sucesos son independientes si el resultado de uno no afecta a la probabilidad del otro
La definición matemática de independencia es $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$
Los sucesosmutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo
Si dos sucesos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno de ellos (pero no los dos) es igual a la suma de las probabilidades de los dos sucesos: $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$
Enumerando todos los resultados posibles, dado que todos tienen la misma probabilidad de ocurrir, puedes hallar la probabilidad de una combinación concreta de sucesos
La notación matemática de la probabilidad de "A dado B" es $P (A | B)$
La fórmula de la probabilidad condicional es $P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$

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Preguntas frecuentes sobre Probabilidades de Eventos Combinados

¿Qué son las probabilidades de eventos combinados?

Las probabilidades de eventos combinados se refieren al cálculo de la probabilidad de que ocurran dos o más eventos juntos.

¿Cómo se calculan las probabilidades de eventos independientes?

Para eventos independientes, se multiplica la probabilidad de cada evento. Es decir, P(A y B) = P(A) * P(B).

¿Qué son eventos mutuamente excluyentes?

Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Si ocurre uno, el otro no puede ocurrir.

¿Cómo se calcula la probabilidad de la unión de dos eventos?

Para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos, se usa la fórmula P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B).

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