Cuartiles e Intervalo Intercuartílico

Halla el cuartil inferior del conjunto de datos 9, 12, 3, 5, 8, 3, 4.

Solución

Paso 1.

Reordenamos los valores de los datos en orden ascendente para obtener

3, 3, 4, 5, 8, 9, 12

Paso 2.

Identificamos que 5 es la mediana de todo el conjunto de datos. Sin embargo, eso significa que la mitad inferior de los datos queda ahora con 3, 3, 4.

Paso 3.

La mediana es 3. Por tanto, el cuartil inferior es

$Q_1=3$.

Halla el cuartil inferior del conjunto de datos dado 78, 62, 46, 89, 98, 23, 45, 77.

Solución

Paso 1.

Reordenamos los valores de los datos en orden ascendente para obtener

23, 45, 46, 62, 77, 78, 89, 98

Paso 2.

Como el número de los valores de los datos es par, podemos dividirlos en dos partes iguales siendo la mitad inferior

23, 45, 46, 62

Paso 3.

Para hallar la mediana de estos valores, tendremos que hallar la media de los dos valores del medio, ya que este conjunto de datos también es par. Así, el cuartil inferior viene dado por,

$\frac{45+46}{2}=45.5$

$Q_1=45.5$

Halla el segundo cuartil del conjunto de datos 9, 12, 3, 5, 8, 3, 4

Solución

Paso 1.

Reordenamos los valores de los datos en orden ascendente, para obtener

3, 3, 4, 5, 8, 9, 12

Paso 2.

Aquí 5 se identifica como el valor medio del conjunto de datos. Por tanto, el segundo cuartil es

$Q_2=5$

Halla el segundo cuartil del conjunto de datos dado 78, 62, 46, 89, 98, 23, 45, 77.

Solución

Paso 1.

Reordenamos los valores de los datos en orden ascendente

23, 45, 46, 62, 77, 78, 89, 98

Paso 2.

Como el número del conjunto de datos es par, se pueden identificar dos números como valores medios. Son 62 y 77. Hallaremos la media de estos valores, para obtener

$\frac{62+77}{2}=69.5$

$Q_2=69.5$

Halla el cuartil superior del conjunto de datos 9, 12, 3, 5, 8, 3, 4

Solución

Paso 1. Reordenamos los valores de los datos en orden ascendente para obtener

3, 3, 4, 5, 8, 9, 12

Paso 2.

Identificamos que 5 es la mediana de todo el conjunto de datos. Sin embargo, eso significa que la mitad superior de los datos queda ahora con

8, 9, 12.

La mediana de eso es 9. Por tanto,

$Q_3=9$

Halla el cuartil superior del conjunto de datos dado 78, 62, 46, 89, 98, 23, 45, 77.

Solución

Paso 1.

Reordenamos los valores de los datos en orden ascendente para obtener

23, 45, 46, 62, 77, 78, 89, 98

Paso 2.

Como el número de los valores de los datos es par, podemos dividirlos en dos partes iguales siendo la mitad superior

77, 78, 89, 98

Paso 3.

Para hallar la mediana de estos valores, tendremos que hallar la media de los dos valores del medio, ya que este conjunto de datos también es par.

$\frac{78+89}{2}=83.5$

$Q_3=83.5$

Halla el rango intercuartílico del conjunto de datos 6, 47, 49, 15, 43, 41, 7, 39, 43, 41, 36.

Solución

Paso 1.

Reordenamos el conjunto de datos de menor a mayor, para obtener

6, 7, 15, 36, 39, 41, 41, 43, 43, 47, 49

Paso 2.

Encontramos la mediana localizando el punto medio de los datos, que es 41. Esto también se conoce como el segundo cuartil,

$Q_2=41$

Paso 3.

Para hallar la mediana de ambas mitades, tenemos que entender que el punto donde se encuentra la mediana divide los puntos de datos en dos.

Por tanto, la mediana de la primera mitad será el primer cuartil, mientras que la mediana de la segunda mitad será el tercer cuartil. Busquemos primero la mediana de la primera mitad.

La primera mitad es 6, 7, 15, 36, 39 . La mediana es 15. Por tanto,$Q_1=15$

Encontramos también la mediana de la segunda mitad, que es 41, 43, 43, 47, 49 . La mediana es 43. Por tanto,$Q_3=43$.

Ahora podemos proceder a calcular el rango intercuartílico,

$IQR=Q_3-Q_1=43-15=28$

La tabla siguiente son los datos de los puntos anotados por partido por los jugadores de baloncesto en un intervalo de siete partidos. Visualízalo en un diagrama de cajas.

Solución

Paso 1.

Reordenamoslos valores del conjunto de datos de menor a mayor.

5, 10, 16, 17, 18, 20, 32.

Paso 2.

Ahora identificamos los valores más alto y más bajo del conjunto de datos

$$\begin{gathered} Highestvalue=32 \\ Lowestvalue=5 \end{gathered}$$

Paso 3.

Ahora podemos identificar el valor medio (mediana) del conjunto de datos,

$Median=17$

Paso 4.

Ahora encontraremos los cuartiles superior e inferior.

El cuartil inferior es la mediana de la primera mitad del conjunto de datos. Esto significa que estamos hallando la mediana para 5, 10, 16

$Lowerquartile=10$

El cuartil superior es la mediana de la segunda mitad del conjunto de datos. Es decir, buscamos la mediana de 18, 20, 32

$Upperquartile=20$

Paso 5.

Ahora podemos hallar el rango intercuartílico mediante la fórmula,

$IQR=Upperquartile\left(Q_3\right)-lowerquartile\left(Q_1\right)=20-10=10$

Paso 6.

Ahora que tenemos todos los valores necesarios, construiremos nuestro diagrama de cajas y bigotes.

$Lowestvalue=5$

$Median=17$

$Upperquartile=20$

$Lowerquartile=10$

Primero dibujaremos una recta numérica que se ajuste a los datos, y trazaremos todos los valores necesarios que hemos encontrado.

Construye un rectángulo que encierre la mediana de todo el conjunto de datos y que sus líneas verticales pasen por los cuartiles superior e inferior. Construye ahora una línea vertical que pase por la mediana y llegue a ambos extremos del rectángulo.

¿Cuál será la desviación cuartil del conjunto de datos 6, 9, 3, 6, 6, 5, 2, 3, 8?

Solución

Paso 1.

Reordenamos el conjunto de datos de menor a mayor,

2, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 8, 9

Paso 2.

Hallamos la mediana localizando el punto medio de los datos, que es 6. Esto significa que el segundo cuartil es 6.

$Q_2=6$

Paso 3.

Hallamos la mediana de ambas mitades. Empecemos por la primera.

2, 3, 3, 5

Tenemos que ambos valores son 3, por lo tanto el primer cuartil es 3.

$Q_1=\frac{3+3}{2}=\frac{6}{2}=3$

Ahora hallaremos la mediana de la segunda mitad

6, 6, 8, 9

Como aquí tenemos dos cifras, hallaremos la media de ellas.

$Q_3=\frac{6+8}{2}=\frac{14}{2}=7$

Ahora que hemos hallado los cuartiles inferior y superior, queremos saber cuánto se desvían estos valores de la mediana (que es el valor del punto medio del conjunto de datos). Hallar la desviación del cuartil significa que restaremos el primer cuartil del tercer cuartil y lo dividiremos por 2,

$Quartiledeviation=\frac{Q_3-Q_1}{2}=\frac{7-3}{2}=\frac{4}{2}=2$