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Los teoremas se basan en axiomas. Los axiomas se definen como una afirmación o proposición en la que se basa una estructura. Esencialmente, son cosas que suponemos ciertas y que no necesitamos demostrar. Algunos ejemplos de axiomas son
Todos los múltiplos de 2 son pares.
La suma es conmutativa: \(a + b = b + a\)
La multiplicación es conmutativa: \(a \cdot b = b \cdot a\)
¿Qué debes hacer en una demostración?
Los elementos clave para escribir una demostración completa son:
Indica la información que utilizas.
Asegúrate de que cada paso sigue lógicamente al anterior.
Asegúrate de que se cubren todos los casos posibles, por ejemplo, si te piden que demuestres para todos los números y sólo lo has hecho para los impares, entonces tienes que demostrarlo también para los pares.
Termina la demostración con una afirmación.
¿Cuáles son los distintos tipos de demostración?
Los distintos tipos de prueba se definen según el método que se utilice para hacer la prueba. Los principales métodos que puedes encontrar son
Prueba por deducción
Prueba por contraejemplo
Prueba por deducción
La prueba pordeducción es el método de prueba más utilizado, y consiste en partir de hechos o teoremas conocidos para, a continuación, recorrer una secuencia lógica de pasos que muestran el razonamiento que te lleva a alcanzar una conclusión que demuestra la conjetura original.
La ecuación id="5335464" role="math" \( kx^2 - 2kx + 4 = 0 \) no tiene raíces reales. Demuestra que \(k\) satisface la desigualdadid="5335465" role="math" \(0 \leq k < 4\)
Para ello tendrás que utilizar el discriminante.
Cuando algo no tiene raíces reales, el valor de \(b^{2} - 4 \cdot a \cdot c < 0\)Así que vamos a sustituir los valores de \(a\), \(b\) y \( c \).
\(a = k, \; b = -2k\) otro \(c = 4\)\((-2k)^2 - 4(k)(4) = 4k^2 - 16k\)Así que \(4k^2 - 16k < 0\), como esto no tiene raíces reales, el valor del discriminante tiene que ser menor que 0.
\(k(4k-16)<0\)
Así que si hacemos un esbozo de esto, obtenemos:
Ejemplo de demostración por deducción, Marilu García De Taylor - StudySmarter Originals
Puedes ver en la gráfica que \(k(4k-16)<0\)cuando la curva está por debajo del eje x . Esto ocurre cuando\(0 < k < 4\)
Sin embargo, cuando \(k = 0\) la fórmula del discriminante ya no es válida.
Si sustituimos \(k = 0\) en la ecuación original\(kx^2-2kx+4=0\)\((0)x^2 - 2(0)x + 4 = 0\) \(4 = 0\)Esto no es posible, por lo que no hay raíces reales
Por tanto \(0 \leq k < 4\) como se requiere.
Consulta el artículo Prueba por deducción para ver más ejemplos.
¿Qué pasa con las identidades?
Una identidad es una expresión matemática que siempre es cierta. Es una afirmación que demuestra que los dos lados de la expresión son idénticos. Para demostrar una identidad , basta con manipular algebraicamente un lado de la expresión hasta que coincida con el otro lado. Un símbolo que encontrarás en las identidades es ≡, que significa "siempre es igual a". Aquí tienes un par de ejemplos:
1. Demuestra que \((2x + 3)(x + 4)(x - 1) = 2x^3 + 9x^2 + x - 12\)
Expande los paréntesis del lado izquierdo de la identidad y combina los términos semejantes
\((2x + 3)(x + 4)(x - 1) = (2x + 3)(x^{2} - x + 4x - 4)\) \(= (2x + 3)(x^2 + 3x - 4)\) \(= 2x^3 + 6x^2 - 8x + 3x^2 + 9x - 12\) \(= 2x^3 + 9x^2 + x - 12\)
Por tanto, podemos decir que \((2x + 3)(x + 4)(x - 1) \equiv 2x^3 + 9x^2 + x - 12\)
2. También se te puede pedir que demuestres Identidades Trigonométricas:
Demuestra que \(\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1\)
Demostración de una identidad trigonométrica, Estudiar más inteligentemente Originales
Si escribimos expresiones trigonométricas para \( a \) y \( b \):
\(a = c \cdot \sin \theta) \(b = c \cdot \cos \theta)
Por Pitágoras (a^2 + b^2 = c^2)
Así pues, sustituyendo las expresiones \(a\) y \(b\):\((c \cdot \sin{\theta})^2 + (c \cdot \cos{\theta})^2 = c^2 \cdot \sin^2{\theta} + c^2 \cdot cos^2{\theta}\) \(c^2 \sin^2{\theta} + c^2 \cdot \cos^2{\theta} = c^2)
Factorizando \(c^2\):
\Divide ambos lados por \(c^2) (Podemos hacerlo porque \(c \neq 0\)).
Por lo tanto \(\sin^2}\theta + \cos^2}\theta = 1\)
Consulta el artículo Probar una identidad para ampliar tus conocimientos sobre este tema.
Demostración por contraejemplo
Una afirmación matemática puede refutarse encontrando un contraejemplo. Un contraejemplo es un ejemplo para el que una afirmación no es cierta. Veamos un ejemplo a continuación:
Demuestra que la siguiente afirmación no es cierta.
La suma de dos números cuadrados es siempre un número cuadrado.
Podemos demostrarlo por contraejemplo, encontrando un solo ejemplo que demuestre que la afirmación es falsa. Así pues, tenemos que encontrar dos números cuadrados que al sumarlos el resultado no sea un número cuadrado. Probemos con 4 y 9.
4 es un número cuadrado ( \(2^{2}\))
9 es un número cuadrado ( \(3^{2}\))
9 + 4 = 13
13 no es un número cuadrado.
Por tanto, la afirmación no es cierta.
Para obtener más detalles y ejemplos sobre este tipo de prueba, consulta el artículo Refutación por contraejemplo.
Prueba por agotamiento
La demostración poragotamiento se realiza considerando todos los ejemplos posibles y comprobando cada caso por separado.
Demuestra que la suma de dos números cuadrados consecutivos comprendidos entre 1 y 81 es un número impar.
- Los números cuadrados entre 1 y 81 son:
4, 9, 16, 25, 36, 49 y 64.
- Ahora utilicemos la Prueba por Agotamiento y hallemos estas sumas.
4 + 9 = 13 (impar)
9 + 16 = 25 (impar)
16 + 25 = 41 (impar)
25 + 36 = 61 (impar)
36 + 49 = 85 (impar)
49 + 64 = 113 (impar)
Todos estos números son impares, por lo que la afirmación ha quedado demostrada.
Para más ejemplos, echa un vistazo al artículo Prueba por agotamiento.
Prueba por contradicción
La prueba porcontradicción funciona de forma ligeramente distinta. En este caso, para demostrar que una afirmación matemática es verdadera, supondrás que lo contrario de la afirmación debe ser falso, y demostrarás que en realidad es falso.
Demuestra que no hay números enteros a y b para los que \(5a + 10b = 1\)
- Supón lo contrario: Supongamos que podemos encontrar dos números enteros a y b que hagan cierta la ecuación \(5a + 10b = 1\)=.
- Si es así, podemos dividir ambos lados de la ecuación por 5:
\(\frac{5}{5} \cdot a + \frac{10}{5} \cdot b = \frac{1}{5}) \( a + 2 \cdot b = \frac{1}{5})Si a y b son Enteros, entonces el resultado de \(a + 2b\) también debe ser un entero, por lo que \(a + 2b\)no puede dar como resultado la fracción \(\frac{1}{5}\), que es lo que afirma la ecuación. Aquí tenemos una contradicción, que hace falsa nuestra suposición.
- Como hemos demostrado que la afirmación contraria es falsa, se demuestra que la afirmación original es verdadera. Por tanto, podemos decir que la afirmación "No hay números enteros a y b para los que \(5a + 10b = 1\)" sea cierta.
Para saber más sobre este tipo de prueba, sigue el enlace al artículo Prueba por contradicción.
Pruebas: puntos clave
Una demostración es una secuencia de pasos lógicos utilizados para demostrar una afirmación o conjetura matemática.
La demostración por deducción es el método de demostración más utilizado, y consiste en partir de hechos o teoremas conocidos y seguir una secuencia lógica de pasos para llegar a una conclusión que demuestre la conjetura original.
La demostración de identidades se realiza manipulando algebraicamente un lado de la expresión hasta que coincida con el otro lado.
La prueba por contraejemplo se realiza utilizando un contraejemplo para demostrar que una afirmación no es cierta.
La prueba por agotamiento se realiza considerando todos los casos posibles y probando cada caso por separado.
La prueba por contradicción demuestra que una afirmación matemática es verdadera, suponiendo que lo contrario de la afirmación debe ser falso, y demostrando que en realidad es falso.
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