Una forma de ver la continuidad es empezar con la definición técnica y luego hacer un montón de ejemplos, para ver qué es o no es continuo, usando la definición. En su lugar, comenzaremos con una comprensión intuitiva de las funciones continuas y construiremos lo que nos gustaría ver en la definición.
- En este artículo estudiaremos la continuidad de una función, donde veremos también las discontinuidades.
- Después veremos los límites y cómo se relacionan con la continuidad. Aquí estudiaremos también la importancia de los límites.
- A continuación pasaremos a ver los tipos de discontinuidades: la discontinuidad esencial y la discontinuidad no esencial.
- Luego aprenderemos la definición de continuidad y aprenderemos unos pasos sencillos para comprobar si una función es continua.
- Después te mostraremos algunos ejemplos de continuidad de funciones.
- Por último, explicaremos la continuidad en el cálculo y la derivabilidad de una función.
Estudiar la continuidad de una función
Seguramente has oído a alguien decir que "una función es continua si puedes dibujarla sin separar el lápiz del papel". Esto es porque, en esencia, una función es continua si la función no tiene saltos abruptos y no tiene puntos donde no exista. Un ejemplo es la recta \(y=x+2\).
Si una función es continua, también es derivable; pero, esto lo veremos más adelante.
En caso contrario, si una función tiene un punto donde no exista, o tiene un salto, se dice que la función es discontinua.
Si intentas dibujar esta función sin separar el lápiz del papel, no puedes, porque la función tiene un agujero en \(p\). De hecho, ¡ni siquiera está definida en \(p\)! Así que, definitivamente, deberás decir que la función \(f(x)\) no existe en \(p\). Esto se escribe como: \(f(p)=\nexists\).
Fig. 1. Función no definida en el punto \(p\).
Como no puedes dibujar la función sin interrupciones, se dice que esta no es continua en el punto \(p\); esta es la mejor definición de continuidad y la más intuitiva.
Discontinuidad
Veamos más de cerca el caso contrario. Supongamos que tenemos la siguiente función:
\[f(x)= {{1}\over{x}}\]
Si observas bien, en esta función \(x\) puede tomar todos los valores; bueno, casi todos, \(x\) no puede ser \(0\), ya que:
\[ \frac{1}{0}= \nexists\]
Al punto donde \(x=0\) se le llama discontinuidad, y hay varios tipos. Veremos un poco más de estas discontinuidades más adelante.
Límites y continuidad
Una herramienta muy útil a la hora de tratar con discontinuidades son los límites. Supongamos que tienes una función que no es continua en un punto \(p\). Lo que podrías hacer es acercarte al punto \(p\), por ejemplo, si el punto \(p\) es cuando \(x=2\). Puedes acercarte al punto sustituyendo valores menores que \(2\), pero cada vez más cercanos, como \(x=1,9\), \(x=1,99\), etc.
A este proceso de acercarse el punto se le llama aproximarse al límite de la función \(f(x)\) en el punto \(p\). El valor al cual te acercas, aunque no exista, es al que se le denomina límite de la función.
¿Por qué son importantes los límites?
Los límites son importantes porque si te acercas usando valores más pequeños hacia \(2\), como \(x=1,9\), \(x=1,99\)..., o valores más grandes, como \(x=2,1\), \(x=2,01\)..., el valor al cual ambos se acercan nos puede decir el tipo de discontinuidad que tenemos.
El valor al cual te acercas usando valores más pequeños, que crecen, se llama el límite por la izquierda; mientras el el valor al cual te acercas usando valores más grandes, que decrecen, se llama límite por la derecha.
Tipos de discontinuidades
Hay dos tipos de discontinuidades en las funciones:
La diferencia entre ambas es que en la segunda, aunque la función no exista en un punto \(x=a\), te puedes acercar al punto por el lado izquierdo o derecho de la función y el punto al cual te acercas es el mismo.
Discontinuidad esencial
En una discontinuidad esencial, a diferencia de una no esencial, si te acercas por el lado izquierdo o derecho de la función, los valores son distintos.
Veamos la siguiente gráfica:
Fig. 2. Función con un salto.
Esta función está definida en \(p\), es el punto de color azul. Pero ¿qué pasa si te acercas usando un lápiz por ambos lados? No puedes hacerlo sin tener que saltar, ¿no es cierto? Esto se dice que es una discontinuidad, porque el límite de la izquierda y de la derecha no son iguales.
Como el límite por la derecha y el límite por la izquierda no son iguales en el punto \(p\), hay un salto en la función. Esto se expresa como:
\[ \lim_{x \rightarrow p^-}f(x) \neq \lim_{x \rightarrow p^+}f(x) \]
Aquí el límite existe solo si te acercas por lados distintos.
En estos casos, lo que pasa es que la función salta y el límite no existe. Incluso si eliminamos el punto donde no existe, la función, aun así, tiene un salto y, por lo tanto, no podemos hacer nada. A esto se le llama discontinuidad esencial.
Discontinuidad no esencial
Una discontinuidad no esencial es aquella que si se asumiera que no existe, la función es continua.
Para hacerlo más simple, supongamos que decides que el punto donde la función no es continua no existe más. Entonces, la pregunta sería: ¿la función sería continua, si ese punto no existiese? Si la respuesta es sí, entonces la función tiene una discontinuidad no esencial.
Veamos un ejemplo:
La siguiente función está definida en el punto \(p\). El límite existe cuando \(x\) se acerca a \(p\). ¡Pero, no es igual al valor de la función!
Puedes escribir que estos dos valores no son iguales como:
\[\lim_{x\rightarrow p} \neq f(p)\]
Fig. 3. Discontinuidad no esencial.
Este caso es interesante, porque \(f(p)\) existe y, además, existe el punto al cual te puedes acercar por ambos lados hacia \(f(p)\). Sin embargo, el punto y los límites no son los mismos. Pero si eliminas el valor de \(x\) donde la función no existe \(f(x)\), entonces la función será continua. En este caso, se dice que el límite existe.
Supongamos que tienes un lápiz y te acercas al punto \(p\) por el lado izquierdo y el derecho; aunque el punto no existe, el punto al cual te acercas es el mismo. Este no es el caso de una discontinuidad esencial con un salto.
Definición de continuidad
La función es continua en el punto \(p\) si, y solo si, se cumplen las tres condiciones siguientes:
- \(f(p)\) existe
2. Si te acercas al punto \(p\) por la izquierda o la derecha, ambos valores son iguales:
\[\displaystyle \lim_{x \rightarrow p^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow p^+} f(x)\]
3. Los límites por ambos lados, \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow p^-}f(x)\) y \(\lim_{x \rightarrow p^+}f(x)\), y \(f(p)\) son todos iguales.
Si una función no cumple alguna de estas tres condiciones, se dice que es discontinua en \(p\); o, simplemente, que no es continua en \(p\).
La expresión "si y solo si" es un enunciado lógico bicondicional, lo que significa que: si A es verdadero, entonces B es verdadero y si B es verdadero, entonces A es verdadero.
Pasos sencillos para comprobar si una función es continua
Puedes usar la definición para hacer un proceso paso a paso, ver y comprobar si una función es continua en \(p\):
Paso 1: Asegúrate de que la función está definida en p. Si no lo está, detente; porque la función definitivamente no es continua en \(p\).
Paso 2: Asegúrate de que existen los límites por la derecha y por la izquierda del punto \(p\). Si no existen, puedes parar; porque la función definitivamente no es continua en \(p\).
Paso 3: Asegúrate de que los límites y el valor de la función en el punto \(p\) sean todos iguales. Si no lo son, entonces la función definitivamente no es continua en \(p\).
Observa que, a veces, si una función es discontinua en un punto, la gente dirá que tiene una discontinuidad en ese punto. Esto es porque, en esencia, esas dos frases significan lo mismo.
Ejemplos de continuidad de funciones
Practiquemos para determinar si una función es continua en un punto específico:
Decide si la función \(f(x)= {{x+2}\over{x-2}} \) es continua en \(x=2\).
Solución
Si intentas evaluar la función en \(2\), obtienes la división en la que el denominador es cero. Así que, de hecho, esta función no está definida en \(x=2\); por lo que, tampoco, puede ser continua en ese punto.
Puedes representar gráficamente la función para ver que hay una asíntota vertical en \(x=2\), por lo que no está definida allí.
Fig. 4. Discontinuidad en una función racional.
Así que, la dificultad del ejemplo anterior era que la función no estaba definida cuando \(x=2\).
Supongamos, en cambio, que su función está definida por partes:
\[ x=2, f(x)=2\]
\[{x \neq 2}, f(x)= {{x+2}\over{x-2}} \]
\(f(x)\) está, definitivamente, definida en \(x\).
¿Es esta función continua en \(x=2\)?
Solución
En este caso:
\[ \lim_{x \rightarrow 2^{-}} = -\infty \]
pero,
\[ \lim_{x \rightarrow 2^{+}} = \infty \]
por lo que el límite no existe en \(x=2\).
Por tanto, aunque la función esté definida cuando \(x=2\), no es continua allí.
Vamos a manipular un poco más el ejemplo anterior:
Si el problema es que el límite de la izquierda y el de la derecha no son iguales, puedes cambiar un poco la función para ver qué pasa.
Tomemos:
\[ x=2, f(x)=2\]
\[{x > 2}, f(x)= {{x+2}\over{x-2}} \]
\[{x < 2}, f(x)= -{{x+2}\over{x-2}} \]
que sigue estando definida cuando \(x=2\).
Ahora, ¿es la función continua en \(x=2\)?
Solución
Ahora, cuando miras el límite cuando se acerca a \(2\), tienes:
\[ \lim_{x \rightarrow 2^{-}} = \infty \]
\[ \lim_{x \rightarrow 2^{+}} = \infty \]
Pero \(f(2)=7\), que ciertamente no es el infinito.
Así que la función sigue sin ser continua en \(x=2\).
Decide si la función:
\[x\le2, f(x)=x^2+9\]
\[x>2, f(x)=x+3\]
es continua cuando \(x=3\).
Solución
El truco aquí es leer la pregunta con atención. No nos fijamos, necesariamente, en el punto en el que la función cambia de definición, sino en lo que se pregunta.
En este caso, la función cambia de definición en \(x=2\); pero, nos preguntan si es continua en \(x=3\). Así que todo lo que hay que considerar es si la función es continua en \(f(x)=x+3\). Pero esto es solo una recta, así que ya sabes que es:
\[\lim_{x \rightarrow 3} f(x)=6 \]
y la función \(f(x)\), entonces, es continua en \(x=3\).
Vamos a resolverlo paso a paso:
Paso 1: asegúrate de que la función está definida en \(x=3\).
Esto es igual a \(f(3)=6\).
Paso 2: Asegúrate de que el límite en \(x=3\) existe. Es decir, comprueba si el límite por la izquierda y por la derecha son iguales.
\[\lim_{x\rightarrow 3^-} f(x)= 6\]
\[\lim_{x\rightarrow 3^+} f(x)= 6\]
Los límites por la izquierda y por la derecha son, efectivamente, iguales.
Paso 3: Por último, comprueba si el límite es igual al valor de la función en \(x=3\) .
Es decir:
\[\lim_{x\rightarrow 3} f(x)= f(3)=6\]
Esta última condición se cumple. Por tanto, la función es continua en \(x=3\).
En el ejemplo anterior, el punto \(p\) no era donde la función tenía un interruptor en el que se utilizaba la fórmula. ¿Y si, en cambio, el punto que te importaba era \(x=2\)?
Decide si la función:
\[x\le2, f(x)=-x^2+9\]
\[x>2, f(x)=x+3\]
es continua cuando \(x=2\).
Solución
Vamos a resolverlo paso a paso:
Paso 1: Asegúrate de que la función está definida en \(x=2\).
Calculamos, entonces, la imagen en \(x=2\):
\[f(2)=-2^2+9=5\]
Paso 2: Asegúrate de que el límite en \(x=2\) existe.
Es decir, comprueba si el límite por la izquierda y por la derecha son iguales.
\[\lim_{x\rightarrow 2^-} f(x)=(-2^2+9)= 5\]
\[\lim_{x\rightarrow 2^+} f(x)=2+3= 5\]
Los límites por la izquierda y por la derecha son, efectivamente, iguales.
Paso 3: Por último, comprueba si el límite es igual al valor de la función en \(x=2\).
Es decir:
\[\lim_{x\rightarrow 2} f(x)= 5\]
Esta última condición se cumple. Por tanto, la función es continua en \(x=2\).
¿Y si cambiamos ligeramente la función del ejemplo anterior?
Decide si la función:
\[x\le2, f(x)=-x^2+9\]
\[x>2, f(x)=x+1\]
es continua en \(x=2\).
Solución
Vamos a resolverlo paso a paso:
Paso 1: Asegúrate de que la función está definida en \(x=2\).
Calculamos entonces la imagen en \(x=2\):
\[f(2)=-2^2+9=5\]
Paso 2: Asegúrate de que el límite en \(x=2\) existe.
Es decir, comprueba si el límite por la izquierda y por la derecha son iguales.
\[\lim_{x\rightarrow 2^-} f(x)=5\]
\[\lim_{x\rightarrow 2^+} f(x)= 3\]
Los límites por la izquierda y por la derecha no son iguales.
Debido a que este último paso nos dice que no existe el límite, la función no es continua en el punto.
Aquí, como no se cumple el criterio del paso 2, ¡no tenemos que seguir con el paso 3!
La continuidad en el cálculo
¿Por qué debería importarte si una función es continua o no? Supongamos que estás modelando una población con x medida en años, y encuentras que la fórmula para ella viene dada por:
\[x\le2, f(x)=-x^2+9\]
\[x>2, f(x)=x+3\]
Si observas el trabajo que hiciste anteriormente, \(f(x)\) no es continua en \(x=2\).
Observa la gráfica de esta función:
Fig. 5. Gráfica de una función continua por partes.
Saber que la función no es continua en un punto te permite saber que algo drástico ha ocurrido en la población que estás estudiando. En este caso, se trata de una muerte repentina, que es un problema que querrías investigar.
Derivabilidad de una función
Una razón por la cual es muy importante saber si una función es continua es porque en el punto donde la función no es continua esta función no es derivable. Esto implica que, si una función es derivable en un punto, entonces es continua en este punto. Sin embargo, lo contrario no es cierto. Una función puede ser continua en un punto, pero no ser derivable en este punto. Estas afirmaciones puedes tenerlas en cuenta en cada caso concreto, dependiendo de la información que tengas y qué te pidan conocer.
Continuidad - Puntos clave
- Intuitivamente, una función es continua si se puede dibujar sin separar el lápiz del papel.
- La función es continua en el punto si, y solo si, la función está definida en el punto, el límite de la función existe en el punto y el valor de la función y el límite en ambos tienen el mismo valor.
- Una función que no es continua en el punto se dice que es discontinua.
- Una función no es continua en el punto si:
- la función no está definida allí
- si el límite no existe allí
- si el límite y el valor de la función no son iguales
- Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto.
- Si una función no es continua en un punto, entonces no es derivable en ese punto.
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