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El concepto de proporción que se tratará aquí te ayudará a determinarlo en lo sucesivo.
Definición de proporción
La proporción es la comparación de dos o más cantidades mostrando la relación entre sus distintos tamaños. Nos dice qué cantidad de una cantidad puede encontrarse en otra cantidad.
Las proporciones nos muestran la relación entre cantidades, y es esencial cuando hay que compartir o dividir cosas entre un grupo.
Las proporciones pueden expresarse en sus formas más simples o simplificarse cuando se dividen por los factores comunes más altos.
Cabe señalar que la comparación de proporciones puede ser entre cantidades individualmente como un todo o quizás entre una parte de un todo y su todo. Esto se explicará más adelante.
Notación de razón
La notación de las razones nos indica las distintas formas en que pueden representarse o expresarse las razones. Hay tres notaciones para la proporción: notación numérica, notación verbal y notación fraccionaria.
Notación numérica
La notación numérica se produce cuando las proporciones se expresan escribiendo números y dos puntos (:) entre los números o una barra(/).
Por ejemplo
Notación verbal
La notación verbal se produce cuando se utiliza la palabra "es a" para expresar raciones.
Por ejemplo
3 es a 4
5 es a 6 es a 1
2 es a 7
7 es a 2 es a 11 es a 15.
Notación fraccionaria
La notación fraccionaria se produce cuando las relaciones se expresan como fracciones. Sin embargo, esto sólo es aplicable cuando se comparan sólo dos cantidades.
Por ejemplo
Fórmula de razón
La fórmula de razón es la expresión utilizada en el cálculo de razones. El principio general que rige el funcionamiento de las proporciones y su fórmula es la división. Antes hemos mencionado que las proporciones pueden ser una relación entre cantidades enteras o entre una parte de un todo y su todo. De hecho, esto determina el tipo de fórmula que hay que aplicar.
Cociente entre dos cantidades enteras
Para hallar la razón entre dos cantidades enteras, aplicamos el cociente entre la primera y la segunda cantidad. Esto significa que la primera cantidad se divide por la segunda.
La primera cantidad se denomina antecedente, mientras que la segunda se llama consecuente. Así, si la primera cantidad es m y la otra cantidad es n, entonces
A Henderson y Robinson les han dado 5 naranjas y 7 naranjas respectivamente, halla el cociente de naranjas entre Henderson y Robison.
Solución
Henderson tiene 5 naranjas, mientras que Robinson tiene 7 naranjas.
Por tanto, la razón de naranjas entre Henderson y Robinson es
Cociente entre una parte y un todo
Para hallar la razón entre una parte y un todo, aplicamos el cociente entre una parte y un todo. Ten en cuenta que a veces las cantidades totales pueden estar dadas, otras veces, tendríamos que calcularlo hallando la suma de las partes.
Por ejemplo, si m es una parte de t, donde t es el todo o total de las cantidades, el cociente de m es t,
Mientras tanto, la relación de m con la suma de las cantidades m, n y o,
donde m + n + o es el total de las cantidades.
De 6 paquetes de caramelos que había en una caja, a Doyle le dieron 5. ¿Cuál es la razón entre la parte de Doyle y los caramelos de la caja?
Solución
El total de paquetes de caramelos de la caja es 6, mientras que la cuota de caramelos de Doyle es 5.
Por lo tanto, el cociente entre la parte de Doyle y los caramelos de la caja es
Una bolsa contiene 3 bolas negras, 2 rojas y 7 blancas. ¿Cuál es la proporción entre las bolas blancas y todas las bolas de la bolsa?
Solución
Primero identificamos qué proporción estamos calculando. En este caso es la proporción de bolas blancas respecto a todas las bolas.
A continuación, se nos dice que la bolsa contiene 7 bolas blancas.
A continuación, hallamos el número total de bolas que hay en la bolsa,
Una vez hallados sus valores, los expresamos en razón,
.
Escala de razón
La escala de razón consiste en obtener razones equivalentes multiplicando o dividiendo por constantes.
Manteniendo la misma proporción, podemos aumentar o disminuir las medidas de las formas geométricas.
En la ilustración siguiente, la longitud del rectángulo es de 4 unidades, mientras que la anchura es de 2 unidades, por tanto,
Observa ahora que el mismo rectángulo aumentó y disminuyó sus medidas con respecto a los otros dos rectángulos que tiene al lado: aquí aplicamos respectivamente el escalado al rectángulo inicial.
Una ilustración del escalado de proporciones - StudySmarter Originals
Hay dos tipos de ampliación:ampliación y reducción.
Aumentar
Aumentamos una relación multiplicando el antecedente y el consecuente por el mismo número c, siendo c mayor que 1.
Cuando esto ocurre, decimos que la proporción se ha escalado. El número c también se conoce como factor de escala o multiplicador.
Una ilustración del escalado de proporciones - StudySmarter Originals
En el diagrama anterior las medidas del rectángulo obtenido se multiplican por 2, la razón del rectángulo original y la del rectángulo aumentado son equivalentes.
Reducción
Reducimos una proporción dividiendo el antecedente y el consecuente por el mismo número d, cuando d es mayor que 1.
Cuando esto ocurre, decimos que la proporción se ha reducido. El número d también se conoce como factor de escala o multiplicador.
Ilustración de la reducción de una proporción - StudySmarter Originals
En el diagrama anterior, las medidas del rectángulo obtenido se dividen por 2, las proporciones del rectángulo original y del rectángulo reducido son equivalentes.
La longitud y la anchura de un bloque rectangular son 9 cm y 7 cm respectivamente. ¿Cuáles serían sus nuevas dimensiones si se escalara por 5?
Solución
Primero hallamos la relación entre la longitud y la anchura. Así,
Aumentamos el cociente en 5. Por tanto, multiplicamos el cociente por 5;
Por tanto, las nuevas dimensiones del bloque rectangular son 45 cm (longitud) y 35 cm (anchura).
Relación y proporción
La proporción compara y da la relación entre dos razones. Se expresa con un signo igual a(=) o con dos puntos dobles (::).
Así, para dos relaciones a:b y c:d, su proporción viene dada por
o
Tipos de proporción
Distinguimos dos tipos de proporciones: proporción directa y proporción indirecta.
Una proporción directa se produce cuando el aumento de una cantidad provoca el aumento de la otra cantidad relacionada.
Una proporción inversa se produce cuando un aumento de una cantidad provoca una disminución de la otra cantidad relacionada.
Diferencias entre razón y proporción
Las razones se diferencian de las proporciones en lo siguiente.
1. Las razones son comparaciones entre cantidades, mientras que las proporciones son comparaciones entre relaciones.
2. Las razones son expresiones de la forma
Sin embargo, las proporciones son ecuaciones en el formulario,
3. Las razones se representan con dos puntos simples (:) o una barra oblicua (/), mientras que las proporciones se representan con dos puntos dobles (::) o un signo igual a (=).
4. Las proporciones se mencionan con la frase "es a", mientras que las proporciones se identifican con la frase "es de".
Algunos ejemplos a continuación profundizarán más en la relación, así como en las diferencias en la aplicación de razón y proporción.
Si 5 pares de zapatos de una marca cuestan 120€, ¿cuántos pares de zapatos de la misma marca compraría Thomas con 48€?
Solución
Primero determinamos qué tipo de proporción tenemos. Para ello, respondemos a esta pregunta: si aumenta el número de zapatos, ¿tendríamos que pagar más o menos?
Tu respuesta te indicará si se trata de una proporción directa o inversa.
La respuesta es SÍ. Seguramente, más zapatos requerirán más dinero, por lo que se trata de una proporción directa.
Lo siguiente es escribir tus valores,
5 pares por 120
A continuación, asigna una letra al valor desconocido. Así, que y represente el número de zapatos que compraría Thomas. Así tenemos y pares por 48€.
Recuerda que la proporción sólo se expresa con cantidades de la misma unidad.
Por tanto, debemos emparejar las cantidades utilizando el cociente y el orden en que se mencionan las cantidades en la pregunta,
5 pares a y pares
120€ a 48€.
A continuación, recuerda que la proporción es la ecuación de las razones, por lo que tenemos
A continuación, convertimos las proporciones en fracciones y resolvemos para obtener
Ahora, hacemos una multiplicación cruzada para obtener
Por tanto, Tomás sólo puede permitirse 2 pares de zapatos con 48 £.
12 obreros tardan 3 días en desbrozar una determinada parcela de tierra, ¿cuántos días tardarían 4 obreros en desbrozar la misma parcela?
Solución
Primero determinamos qué tipo de proporción tenemos. Para ello, respondemos a esta pregunta
si disminuye el número de jornaleros, ¿se tardaría menos tiempo en desbrozar la misma parcela?
Tu respuesta te indicará si se trata de una proporción directa o inversa.
La respuesta es NO. Seguramente, menos jornaleros supondrían más tiempo empleado en desbrozar la parcela, por tanto, se trata de una proporción inversa.
A continuación, escribimos nuestros valores:
12 jornaleros en 3 días
Ahora, asignamos una letra al valor desconocido, de modo que q representa el tiempo que tardan 4 obreros en hacer el trabajo. Así tenemos
4 obreros en q días
A continuación, recordamos que la razón sólo se expresa con cantidades de la misma unidad. Por tanto, debemos emparejar las cantidades mediante cocientes y en el orden en que se han mencionado en la pregunta.
Sin embargo, al tratarse de una proporción inversa, tendríamos que intercambiar las posiciones de una de las cantidades. Esto significa que la relación es en sentido contrario. Por tanto, tenemos
12 jornaleros a 4 jornaleros
q días a 3 días
Recuerda que la proporción es la ecuación de las razones. Por tanto,
A continuación, convertimos de proporción a fracción para obtener
Hacemos una multiplicación cruzada;
Por tanto, harían falta 4 jornaleros 9 días para limpiar esa parcela de tierra.
Observa que si se tratara de una proporción directa, habrían sido 12 jornaleros por 4 jornaleros y 3 días por q días, manteniendo ambos su orden o posición; pero como es inversa hemos optado por intercambiar la posición del segundo cociente (días)
Ejemplos de proporción
El uso de la proporción es muy importante, ya que se traduce en nuestras actividades cotidianas. Sobre todo cuando se trata de compartir, así como de determinar la porción o fracción de una cantidad entera. A continuación te ofrecemos algunos ejemplos para ilustrarlo mejor.
Un hombre reparte su riqueza entre tres de sus hijos Santiago, Juan y Pedro en la proporción 4:3:2. Si él tiene un patrimonio de 90.000€, ¿cuánto le corresponde a Juan?
Solución
Primero hallamos el total de la proporción,
A continuación, hallamos qué fracción de la riqueza del hombre corresponde a Juan. Esto es lo mismo que hallar la proporción entre el valor de las acciones de Juan y el valor total de las acciones;
A continuación, multiplicamos la fracción de la riqueza del hombre que va a unirse por el valor del hombre,
La parte de John es de 27000€.
En una promoción de 125 alumnos, 50 son chicos. ¿Cuál es la proporción entre chicos y chicas?
Solución
Como se ha dado el número de chicos y el número total de alumnos, debemos resolver el número de chicas, que es
Como ya se ha calculado el número de chicas, ahora podemos hallar la proporción entre chicos y chicas como,
Dividimos el numerador y el denominador por el máximo común divisor, que es 25. Dividimos entre 25 para obtener
Razón - Puntos clave
- La proporción es la comparación de dos o más cantidades mostrando la relación entre sus distintos tamaños. Nos dice qué cantidad de una cantidad puede encontrarse en otra cantidad.
- Hay tres notaciones para una proporción: notación numérica, notación verbal y notación fraccionaria.
- La fórmula de la proporción es la expresión o ecuación utilizada para calcular las proporciones.
- La escala de razón es el aumento o disminución de las razones cuando se multiplican o dividen.
- La proporción es una ecuación que compara y da la relación entre dos proporciones.
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