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La estimación es algo que utilizas todos los días sin ni siquiera pensar en ello. Calculas cuánto tardarás en llegar al trabajo, cuánta sal añadir a lo que cocinas y lo bien que le irá a tu equipo de fútbol favorito. Eso no significa que siempre tengas razón. Entonces, ¿cómo sabes si tus estimaciones son correctas? ¿Cómo puedes saber si están sesgadas o no?
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Equipo de profesores de Sesgo del estimador
Aquí es donde los estadísticos utilizan el sesgo del estim ador. Como tu estimación se basa en una idea media de cómo han ido las cosas en el pasado, puedes utilizar un estimador para la media, y a partir de ahí averiguar lo sesgado o no que está.
La comparación de estimadores y la determinación de la varianza o error típico de un estimador se explican en el artículo Calidad de los estimadores.
Supongamos, por ejemplo, que quieres hallar la longitud media de los peces de un acuario. No sólo hay un gran número de peces que tendrías que medir, sino que además es muy difícil capturar y medir a todos los peces.
En lugar de medir todos y cada uno de los peces de la población (lo que se denomina censo), sería mejor tomar una muestra de peces y, a partir de esa muestra, obtener una estimación de la longitud media de los peces. Esto se denomina estimador.
Pero primero tienes que saber qué es un estadístico.
La estadística,
A menudo se denominan estadísticos de prueba para diferenciarlos de la palabra "estadística". Matemáticamente, esto significa que el estadístico utilizado para estimar un parámetro,
Un estimador es un estadístico utilizado para estimar un parámetro poblacional. Una estimación es el valor del estimador cuando se toma de una muestra.
También puedes ver un estimador llamado estimación puntual. Es importante saber reconocer qué son los estimadores. Observa el siguiente ejemplo.
Explica por qué las siguientes funciones son o no son estimadores cuando
i) \(\dfrac{X_3+X_6}{2})
ii)
Solución:
i) La función
es un estimador, ya que se compone de muestras independientes e idénticamente distribuidas.
ii) Por otro lado
no es un estimador, ya que contiene
Echemos un vistazo rápido.
No todos los estadísticos son estimadores fiables. Para determinar la validez de la capacidad de un estadístico para estimar un parámetro, tendrás que encontrar el valor esperado del estadístico.
Si la expectativa del estadístico es diferente a la del parámetro que quieres estimar, esto te indica que el estadístico está sesgado.
Puedes considerar el sesgo comouna medida de lo sesgada que está tu distribución muestral, o también de lo alejado del parámetro poblacional que está tu estimador. Cuantomás sesgada sea la distribución muestral, mayor será el sesgo.
Para más información sobre la asimetría, consulta el artículo Asimetría.
Puedes escribir la definición de que una estimación es sesgada o insesgada utilizando una notación matemática sencilla.
Si
donde
Si
Cómo de grande es el sesgo de
Observa que si
Pongamos en práctica la definición.
Demuestra que \text{E}(\bar{X})=\mu\) donde
es un estimador insesgado.
Solución:
Teniendo en cuenta que
\[\begin{align}{texto{E}(\bar{X})&={frac{1}{n}{texto{E}(X_1+puntos +X_n)\&={frac{1}{n}(\texto{E}(X_1)+puntos +texto{E}(X_n))\final{align}].
Como
Esto demuestra que \(\text {E}(\bar{X})=\mu), lo que significa que \(\bar{X}) es un estimador insesgado del parámetro \(\mu). Esto significa que , por término medio, este estadístico dará el valor correcto del parámetro estimado.
Para recordar por qué \(\text {E}(aX)=\text {E}(X)\), consulta el artículo Suma de variables aleatorias independientes.
El hecho de que el ejemplo anterior te proporcione un estimador insesgado es la razón por la que lo verás utilizado para construir intervalos de confianza.
¡No todos los estimadores son insesgados!
Se te da
como candidato a estimador del parámetro de la media de una distribución,
Solución:
En este problema, el parámetro poblacional es la media,
lo que te da
\[\inicio{alineación} \text{Bias} (T) &= \text{E} \(X_1+2X_2) -t &= \frac {texto {E} (X_1)+2\texto {E} (X_2)}{n} -t ¾= ¾frac {3t}{n}-t ¾= ¾frac {t(3-n)}{n} .\end{align}]
Por tanto, el sesgo del estimador
\text{Bias}(T) = \dfrac{t(3-n)}{n}.
Aunque la media muestral es una forma de obtener un estimador insesgado, no es la única. En su lugar, veamos cómo aplicar la fórmula del estimador del sesgo a la varianza.
Para encontrar un estimador de la varianza de la población, puedes intentar utilizar la varianza de la muestra, que se denotaría como
Sin embargo, como esta fórmula utiliza la media muestral,
En su lugar, puedes utilizar un estadístico diferente: la varianza de la muestra. Así obtendrás un estimador insesgado de la varianza poblacional, \(\sigma^2\2).
Un estimador insesgado de la varianza poblacional,
Esta fórmula no siempre es la más fácil de utilizar para calcular la media muestral. Hay otras formas de hallar \(s^2).
Éstas son las formas en que puedes calcular la varianza muestral:
En general,
Veamos la prueba de que
Para ello, tienes que escribir la esperanza de la varianza muestral
\[\text{E}(S^2) = \frac{\sum\limits_{i=1}^n x^2-n\bar{x}^2}{n-1} \frac].
en términos de
En primer lugar, utilizando la definición de
por tanto,
También sabes que \text{Var}(\bar{X})=\dfrac{sigma ^2}{n}) y \text{E}(\bar{X})=\mu), por lo que puedes escribir \text{Var}(\bar{X})\} como
\[inicio \text{Var}(\bar{X}) &= \frac{\sigma ^2}{n} \ &=texto {E}(\bar{X} ^2)-\mu ^2, fin].
por lo que
\[\text {E}(\bar{X}^2)=\frac{\sigma ^2}{n}+\mu ^2.\2].
La expectativa de la varianza muestral viene dada por:
Puesto que
\[\begin{align} \izquierda(suma límites_i=1}^n X^2)&=suma límites_i=1}^n texto {E}(X^2)& &=ntexto {E}(X^2), |end{align}].
tienes
\n[\ncomienza{align} \texto {E}(S^2) &= \frac{ n\texto {E}(X^2)-texto {E}(n\bar{X}^2)}{n-1} \frac{n(\sigma ^2 +\mu ^2)-nizquierda(\dfrac{\sigma ^2}{n} +\mu ^2derecha)}{n-1} &= {\frac{n\sigma^2 +n\mu ^2 -\sigma ^2 -n\mu ^2 }{n-1} \&= {\frac{(n-1)\sigma ^2}{n-1} \ &= {\sigma^2 . \fin{align} \]
Como
Aunque no necesites memorizar la demostración, siempre es bueno leer y comprender los pasos para asegurarte de que comprendes bien el tema.
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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