Seguramente has visto en álgebra, análisis o cálculo fórmulas como la siguiente: \((a+b)^2\). Si no la reconoces aún, podrías buscar por algo como \((2+x)^2\). ¿Las has visto? Se trata de binomios. Aparecen en funciones como las cónicas e, incluso, están relacionados con el tiro parabólico en física y muchos otros fenómenos donde existe una función de segundo grado, también conocida como cuadrática.
En este artículo te hablaremos acerca de estos y otros binomios, además de introducirte en cómo expandirlos. Podemos expandir las expresiones de la forma \((2+x)^2\), multiplicando cada paréntesis \((2+x)(2+x)\). Este caso puede resultar sencillo, porque el exponente es un \(2\); pero, esto puede ser muy largo y tedioso para exponentes o valores más altos de \(n\). Aquí es donde resulta útil utilizar el teorema del binomio.
¿Qué es un binomio?
Un binomio es una expresión que tiene dos términos elevados a una potencia \(n\).
Esta es una forma muy general de describir una función; en este caso, muchas funciones polinómicas.
Por ejemplo, una función cuadrática se puede expresar como un binomio del tipo \((ax+b)^2\), lo cual da como resultado \((ax)^2+2abx+b^2\).
También hay polinomios a la potencia cúbica o cuadrática, como los que se ven a continuación:
Con \(n=1, (ax+b)^n=(ax+b)^1=ax+b\).
Con \(n=2, (ax+b)^n=(ax+b)^2=(ax)^2+2axb+b^2\).
Con \(n=3, (ax+b)^n=(ax+b)^3=(ax)^3+3(ax)^2b+3b^2ax+b^2\).
Con \(n=4, (ax+b)^n=(ax+b)^4=(ax)^4+4(ax)^3b+6(ax)^2b^2+4b^3ax+b^4\).
Es algo largo hacer estas operaciones, pero es menos práctico que te aprendas todas las fórmulas: después de todo, podrías tener que resolver un binomio a la quinta potencia y eso son “dos términos con productos y múltiples potencias”. Imagina un binomio como \((3x+2)^8\). Pero hay buenas noticias: debido a esto, ¡existe un teorema y una fórmula que nos permite expresar estas expresiones binomiales!
Potencia de un binomio
Cuando se tiene una expresión de la forma \((a+b)^n\), el término \(n\) es la potencia de un binomio.
Cuando haces una expansión binomial, la potencia de un binomio determina varios elementos:
La máxima potencia para \((a, b)\). Por ejemplo: si \(n=7\), encontraremos un término \(a^7\) y un término \(b^7\).
El coeficiente de los términos en la suma.
El número de términos en la suma, que es igual a \(n+1\).
Ya que te hemos mostrado cómo expandir un binomio, veamos cómo se obtienen sus coeficientes.
El teorema del binomio
El teorema del binomio nos permite expandir una expresión de la forma \((a+b)^n\) a una suma de la forma \(a^n+(n-1)a^{(n-1)}b… b^n\).
Esta fórmula general para una expresión binomial es: \[(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} a^{(n-k)}b^k \]
Aquí, \(n\) y \(k\) son números enteros.
Esta expresión también se conoce como la fórmula del binomio. Los números \((n, k)\) son conocidos como coeficientes binomiales.
Como la fórmula puede parecer algo complicada, hagamos un ejemplo sencillo:
Expande la expresión siguiente: \((3x+2)^2\).
Solución:
Si vemos la fórmula, tendremos:
\[(3x+2)^2=\sum_{k=0}^{n=2} \begin{pmatrix} 2\\k \end{pmatrix}(3x)^{(2-k)}(2)^k \]
Lo que sigue es desarrollar la suma.
El primer término será: \[ \begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix} (3x)^{(2-0)}2^0 \]
Sabes que \(y^0=1\), así que tienes: \[ \begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix} (3x)^2 \]
El segundo término es: \[ \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} (3x)^{(2-1)}2^1 \]
Lo cual se simplifica a: \[ \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} (3x)2 \]
El tercer término será: \[ \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix} (3x)^{(2-2)}2^2 \]
Lo cual se simplifica a: \[ \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix} 2^2 \]
Tenemos, en este caso: \[\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}(3x)^2+\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}(3x)2+\begin{pmatrix} 2\\2\end{pmatrix} 2^2\]
Los números en forma de matrices (matrices columna) son lo que denominamos coeficientes binomiales; seguramente sabes que estos van en orden \((1, 2, 1)\), pero esto lo veremos en los siguientes párrafos.
En primer lugar, en todas las fórmulas hemos visto que aparece \((a+b)\), o \((x+y)\); también, \((ax+b)\). Sin embargo, debes recordar que todas estas expresiones son la misma, leas el libro que leas; solo se trata de una composición de dos números o variables elevados a la potencia \(n\).
Coeficiente binomial
La notación de la matriz columna se puede denominar "\(n\) en \(k\)" y da un número llamado coeficiente binomial.
El coeficiente binomial es el número de combinaciones diferentes de ordenar \(k\) objetos de un total de \(n\) objetos.
De esta definición, por ejemplo, podemos saber el primer coeficiente del ejercicio anterior: ¿cuál es la manera en que se podrían ordenar cero objetos en un grupo? Aunque parezca contradictorio, es uno; porque no ordenar algo que no existe es, de hecho, una respuesta válida. Por lo tanto, \(\begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}=1\).
La ecuación del coeficiente binomial (n elegir k o en una calculadora) viene dada por: \[\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}={{n!}\over{k!(n-k)!}}\]. Donde \(!\) significa factorial.
El factorial significa el producto de un entero con todos los enteros que están por debajo de él.
Esto lo podrás ver en el artículo correspondiente, en más detalle.
Ya que usando la intuición hemos determinado el primer coeficiente de la expansión de un binomio al cuadrado, hagamos lo mismo pero con el segundo término:
Calcula el segundo coeficiente de la expansión binomial de \((3x+2)^2\).
Solución:
El segundo coeficiente binomial es:
\[\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}={{2!}\over{1!(2-1)!}}\]
Si reducimos esto, obtenemos:
\[\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}={{2!}\over{1!(1)!}}\]
Sabiendo que \(2!=2·1=2\) y \(1!=1\), tenemos:
\[\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}={{2}\over{1(1)}}=2\]
De este modo, el segundo término de nuestra expansión \((3x+2)^2\) es: \[ 2(3x)2= 12x\]
Teniendo estas dos fórmulas, podemos expandir cualquier binomio a cualquier potencia.
El triángulo de pascal, también conocido como el triángulo de Tartaglia, es una de las herramientas que puedes usar para saber los coeficientes binomiales que deben de ser puestos en la expansión binomial. Este triángulo es el siguiente:
\[1\]
\[1 1\]
\[1 2 1\]
\[1 3 3 1\]
\[1 4 6 4 1\]
\[1 5 10 10 5 1\]
\[1 6 15 20 15 6 1\]
\[1 7 21 35 35 21 7 1\]
Cada fila corresponde a los coeficientes binomiales desde \(n=0\) hasta \(n=\infty\). Estos coeficientes deben ser siempre un uno al inicio y al final; y los números siguientes deben ser la suma de los números anteriores.Por ejemplo: los coeficientes para \((ax+b)^2\) son \((1, 2, 3)\), que son iguales a \(((1)(ax)^2+(2)(ab)+(1)b^2)\), que corresponde a la tercera fila \(n=2\).
Teorema del binomio ejemplos
Veamos diversos ejemplos de cómo llevar a cabo expresiones binomiales y desarrollar los coeficientes. Comencemos con un caso simple:
Expande la expresión \((5x+2)^n\) con \(n=1\).
Solución:
Este ejemplo podría, simplemente, solucionarse haciendo \((5x+2)^1=5x+2 \); pero, hagámoslo conforme a la fórmula: \[(5x+2)^1=\sum_{k=0}^{n=1} \begin{pmatrix} 1\\k \end{pmatrix}(5x)^{(1-k)}(2)^k \]
El primer término será: \[\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}(5x)^{(1-0)}(2)^0 \]
Sabemos que \(2^0=1\), así que tenemos: \[\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}(5x) \]
El segundo término será: \[\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}(5x)^{(1-1)}(2)^1 \]
Sabemos que \((5x)^0=1\), así que tenemos: \[\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}2 \]
Sumando los términos, tenemos: \[(5x+2)^1=\sum_{k=0}^{n=1} \begin{pmatrix} 1\\k \end{pmatrix}(5x)^{(1-k)}(2)^k= \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}5x+\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}2 \]
Sabemos, por lo que dedujimos antes, que el primer coeficiente es uno. Podemos, ahora, calcular el segundo usando la fórmula: \[\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}={{1!}\over{0!(1)!}}\]
Esto es: \[\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}={{1}\over{1}}\]
Así que tenemos: \[(5x+2)^1=\sum_{k=0}^{n=1} 1·5x+1·2=5x+2\]
Evidentemente, esto fue algo más largo que simplemente saber que \((ax+b)^1=ax+b\); pero, cuantos más ejercicios hagas, más fácil te será después.
Ahora, veamos coeficientes binomiales:
Encuentra los siguientes coeficientes binomiales:
\[\begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix}\]
\[\begin{pmatrix} 5\\4 \end{pmatrix}\]
Solución:
Usemos la fórmula con el primero:
\[\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}={{k!}\over{k!(n-k)!}}\]
\[\begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix}={{3!}\over{2!(3-2)!}}\]
\[\begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix}={{3!}\over{2!(1)!}}\]
Sabemos que:
\[3!=3·2·1=6\]
\[2!=2·1=2\]
\[1!=1\]
Así que tenemos:
\[\begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix}={{6}\over{2(1)}}={{6}\over{2}}=3\]
Ahora, veamos el siguiente.
Usemos la fórmula con el primero:
\[\begin{pmatrix} 5\\4 \end{pmatrix}={{5!}\over{4!(5-4)!}}\]
\[\begin{pmatrix} 5\\4 \end{pmatrix}={{5!}\over{4!(1)!}}\]
Calculamos:
\[5!=5·4·3·2·1=120\]
\[4!=4·3·2·1=24\]
Así que tenemos:
\[\begin{pmatrix} 5\\4 \end{pmatrix}={{120}\over{24(1)}}={{120}\over{24}}=5\]
Se tiene el binomio \((x+4y)^6\).
Responde: ¿Cuál es su máxima potencia? y ¿cuántos términos hay en la suma?
Solución:Debido a que el binomio está elevado a la potencia \(n=6\), sabemos que existen los términos: \[x^6 \space\space\space\text{y}\space\space\space (4y)^6\]
Así que la máxima potencia es \(6\).
Sabemos, además, que los términos de la suma son iguales a \(n+1\); así que los términos de esta expansión serán \(6+1=7\).
Expansión binomial - Puntos clave
- Un binomio es una expresión que tiene dos términos elevados a una potencia \(n\).
- Cuando se tiene una expresión de la forma \((a+b)^n\), el término \(n\) es la potencia de un binomio.
- El teorema del binomio nos permite expandir una expresión de la forma \((ax+b)^n\) a una suma de la forma \(ax^n+(n-1)(ax)^{(n-1)}b… b^n\). \[(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} a^{(n-k)}b^k \].
- El coeficiente binomial es el número de combinaciones diferentes de ordenar \(k\) objetos de un total de \(n\) objetos: \[\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}={{n!}\over{k!(n-k)!}}\]
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