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Pero, ¿qué hace que una función sea diferenciable? Bien, sabemos que una función se considera diferenciable si su derivada existe en cada punto de su dominio. ¿Qué significa esto exactamente?
Significa que una función es diferenciable allí donde esté definida su derivada.
En otras palabras, siempre que podamos encontrar la derivada en cada punto de la gráfica, la función es diferenciable.
Entonces, ¿cómo determinamos si una función es diferenciable?
¡Usamos los Límites y la Continuidad!
¿Qué son los Límites, la Continuidad y las Derivadas?
Para empezar, recordemos que el límite de una función se define como:
Supongamos que tenemos una función, \( f(x) \), que está definida en todos los valores de un intervalo abierto que contiene a \( a \), (con la posible excepción de ella misma). Sea \( L \) un número real. Si todos los valores de la función \( f(x) \) se aproximan al número real \( L \) a medida que los valores de \( x \) (siempre que \( x \neq a \)) se aproximan al número \( a \)), entonces decimos que:
- El límite de \( f(x) \) a medida que \( x \) se acerca a \( a \) es \( L \).
- En otras palabras, a medida que \( x \) se acerca cada vez más a \( a \), \( f(x) \) se acerca y se mantiene cerca de \( L \).
- Esto se expresa simbólicamente como
\[ \lim_{x \a} f(x) = L \]
Y, la definición de Continuidad es
Una función, \( f(x) \), es continua en un punto, \( p \), si y sólo si se cumplen todas las siguientes condiciones
- \( f(p) \) existe.
- \existe ( lim_{x \a p} f(x) \).
- Los límites del lado izquierdo y derecho de la función en ese punto son iguales.
- \(Lim_x hasta p} f(x) = f(p)).
Si una función incumple alguna de estas condiciones, entonces \( f(x) \) no es continua (también llamada discontinua) en el punto \( p \).
La expresión "si y sólo si" es una afirmación lógica bicondicional. Significa que si A es verdadera, entonces B también lo es, y si B es verdadera, entonces A también lo es.
La Derivada de una función se define como:
Supongamos que tenemos una función, \( f(x) \). Su derivada, denotada por \( f'(x) \), es la función cuyo dominio contiene los valores de \( x \) tales que existe el siguiente límite :
\[ f'(x) = \lim_{h \a 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}].
Por último, la definición de diferenciabilidad es
Una función, \( f(x) \), es diferenciable en un intervalo abierto, \( (a, b) \), si el límite,
\[ \lim_{h \a 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} \}
existe para todo número, \( c\), en el intervalo abierto, \( (a, b) \).
- Si f(x) es diferenciable, es decir, si f(c) existe, entonces f(x) es continua en c en el intervalo abierto de (a, b).
La relación entre límites, continuidad y derivadas
Como podemos ver en estas definiciones, los límites, la continuidad y las derivadas están entrelazados. Utilizamos los límites para:
definir la continuidad y las derivadas, y
determinar si las funciones son continuas y/o diferenciables.
Juntas, estas definiciones nos dicen que la diferenciabilidad se da cuando la pendiente de la recta tangente a la curva es igual al límite de la derivada de la función en un punto.
- Esto nos sugiere que para que una función sea diferenciable, debe ser continua, y su derivada también debe ser continua.
Continuidad y diferenciabilidad - Teorema
Aquí acabamos de tropezar con una implicación clave: las funciones diferenciables son continuas.
¿Qué significa esto?
Diferenciable significa que en cada punto de su dominio existe la derivada de una función.
La única forma de que exista la derivada es que la función sea continua en su dominio.
Por tanto, una función diferenciable debe ser también una función continua.
Esto nos lleva al teorema: la diferenciabilidad implica continuidad.
La diferenciabilidad implica continuidad
Sea \( f(x) \) una función con \( a \) en su dominio. Si \( f(x) \) es diferenciable en \( a \), entonces también es continua en \( a \).
Prueba del teorema: la diferenciabilidad implica continuidad.
Si \( f(x) \) es diferenciable en \( x = a \), entonces \( f'(a) \) existe y existe el siguiente límite:
\f'(a) = \lim_{x \a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}].
Recuerda, ¡ésta es la definición de la derivada!
Para demostrar este teorema, tenemos que demostrar que \( f(x) \) es continua en \( x = a \) demostrando que \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \). Entonces,
- Empieza con\[ \lim_{x \to a} (f(x) - f(a)) \].
- Multiplica y divide por (x - a) para obtener= (x - a) a la izquierda (x - a) a la derecha)].
- Utiliza la ley del producto para los límites.\left( \lim_{x \to a} (x - a) \right) \left( \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \derecha)
- Evalúa el primer límite y reescribe el segundo como \( f'(a) \), ya que es la definición de la derivada.\[ 0 \cdot f'(a) \]
- Por tanto,\[ 0 \cdot f'(a) = 0 \]
- Esto nos dice que|[ \lim_{x \a} (f(x) - f(a)) = 0 \]
- Utiliza la ley de la diferencia de límites en la ecuación del paso 4b.\lim_{x \a} f(x) - \lim_{x \a} f(a) = 0 \]
- Como \( a \) es una constante, simplifica el segundo límite para obtener\[ \lim_{x \to a} f(x) - f(a) = 0 \].
- Añade \( f(a) \) a ambos lados.\[ \lim_{x \a} f(x) = f(a) \]
Como \( f(a) \) está definida y \( \lim_{x \a} f(x) = f(a) \), podemos concluir que \( f(x) \) es continua en \( a \).
La continuidad no implica diferenciabilidad
Entonces, si la diferenciabilidad implica continuidad, ¿puede una función ser diferenciable pero no continua?
La respuesta corta es no. Que una función sea continua no significa que su derivada esté definida en todas partes de su dominio.
Veamos la gráfica de la función valor absoluto:
\[ f(x) = |x| \]
Fig. 1. La gráfica de la función valor absoluto, \( f(x) = |x| \).
Sabemos que la función valor absoluto es continua porque podemos dibujar la gráfica sin coger el lápiz.
Sin embargo, también podemos ver que la pendiente de la gráfica es diferente en los lados izquierdo y derecho. Esto nos sugiere que la tasa de variación instantánea (la derivada) es diferente en el vértice.
Entonces, ¿es la función diferenciable aquí?
- Intentemos tomar la derivada en \( x = 0 \) y averigüémoslo. Podemos hacerlo tomando límites unilaterales, utilizando la definición de la derivada para determinar si la pendiente de los lados izquierdo y derecho son iguales.
El límite de \( f(x) \) en \( x = 0 \) desde el lado izquierdo de la gráfica es:
\[ \begin{align}\lim_{h \a 0^{-}} \f(x+h)-f(x)}{h} &= lim_h a 0^{-}} \frac {(-(0+h))-0}{h} \\&= \lim_h \a 0^{-}} \h}{h} \\&= límite de 0 a 0 (-1)&= -1\end{align} \]
El límite de \( f(x) \) en \( x = 0 \) desde el lado derecho de la gráfica es:
\[ \begin{align}\lim_{h \a 0^{+}} \f(x+h)-f(x)}{h} &= lim_h a 0^{+} \frac{(0+h)-0}{h} \\ &= Lim_h a 0^{+} 0^{+} \frac{h}{h} \\&= Lim_h hasta 0^{+}} (1)&= 1\end{align} \]
Comparando estos dos límites, vemos que la pendiente de la izquierda es \( -1 \) y la pendiente de la derecha es \( 1 \). Como los dos límites no coinciden, el límite no existe.
Por tanto, la función de valor absoluto f(x) = |x| \), aunque es continua, no es diferenciable en \( x = 0 \).
Éste era sólo un ejemplo en el que la continuidad no implica diferenciabilidad. Un resumen de situaciones en las que una función continua no es diferenciable incluye:
Si el límite de las pendientes de las rectas tangentes a la curva por la izquierda y por la derecha no es el mismo en ningún punto, la función no es diferenciable.
En el caso de la función valor absoluto, esto dio lugar a una esquina aguda de la gráfica en \(x=0 \). Esto nos lleva a la conclusión de que para que una función sea diferenciable en un punto, debe ser "suave" en ese punto.
Una función no es diferenciable en ningún punto en el que tenga una recta tangente que sea vertical.
Una función puede no ser diferenciable de formas más complicadas, como una función cuyas oscilaciones se hacen cada vez más frecuentes a medida que se acerca a un valor.
Cómo determinar si una función es diferenciable
Entonces, ¿cómo podemos determinar si una función es diferenciable?
La forma más rápida de saber si una función es diferenciable es observar su gráfica. Si no tiene ninguna de las condiciones que hacen que el límite sea indefinido, entonces es diferenciable. Estas condiciones son
Punto agudo
Fig. 2. Gráfica de una función con un punto agudo.
Tangente vertical (donde la pendiente es indefinida)
Fig. 3. Gráfica de una función con tangente vertical.
Discontinuidad (salto, desprendimiento o infinito)
Fig. 4. La gráfica de una función con una discontinuidad.
Diferencias entre funciones continuas y funciones diferenciables
¿Cuáles son las diferencias entre funciones continuas y funciones diferenciables?
La continuidad es una condición más débil que la diferenciabilidad.
Para que una función \( f(x) \) sea continua en \( x = a \), el único requisito es que \( f(x)-f(a) \) converja a \( 0 \) a medida que \( x \a a \).
Para que una función \( f(x) \) sea diferenciable en \( x = a \), \( f(x)-f(a) \) debe converger tras ser dividida por \( x-a \).
En otras palabras, \( \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \) debe converger como \( x \a a a \).
Si una función \( f(x) \) es diferenciable en \( x = a \), entonces también es continua en \( x = a \).
Sin embargo, si una función es continua en \( x = a \), no es necesariamente diferenciable en \( x = a \).
Si \( \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \) converge, el numerador converge a cero, lo que implica continuidad.
Ejemplos diferenciables y continuos
Detectar dónde una función no es diferenciable.
¿En qué valores de \( x \) \( f(x) \) no es diferenciable? ¿Por qué?
Fig. 5. Gráfica de una función con varios tipos de discontinuidades.
Solución:
Esta función no es diferenciable en varios puntos. De izquierda a derecha, son los siguientes
- En \( x = -8 \) hay una Discontinuidad de Salto.
- En \( x = -6,5 \) hay una tangente vertical.
- En \( x = -4 \) hay un punto agudo.
- En \( x = 0 \) hay una discontinuidad infinita.
- En \( x = 2 \) hay otro punto agudo.
- En \( x = 3 \) hay una discontinuidad removible.
¿Es la función de abajo continua y diferenciable en \( x = 0 \)?
\[f(x) =\begin{casos}1 & x \lt 0 \x & x \geq 0\end{casos}\]
Solución:
Primero, hagamos la gráfica de esta función.
Fig. 6. ¿Es la función continua y diferenciable en \( x = 0 \)?
- Para determinar si la función es continua en \( x = 0 \), podemos
- mirar la gráfica de la función, o
- evaluar el límite como \( x = 0 \) de ambas partes de la función.
- Empecemos evaluando el límite de ambas partes de la función.
\f(x) = limite_x hasta 0^{-}} 1 = 1
\f(x) = lim_x a 0^{+} x = 0].
Tomamos los límites unilaterales de las partes de las funciones porque es donde esas partes de la función son válidas.
Como obtenemos resultados distintos al evaluar los límites, sabemos que la función no es continua en \( \bf{x = 0} \). Y, si observamos la gráfica de la función anterior, podemos confirmar que la función no es continua allí.
2. ¿Es la función diferenciable en \( x = 0 \)?
Como la función no es continua en \( x = 0 \), tampoco es diferenciable en \( \bf{x = 0} \).
¿Es la función de abajo continua y diferenciable en \( x = 4 \)?
\[f(x) =\begin{cases}x^{2} & x \lt 4 \5x-4 & x \geq 4\end{cases}\]
Solución:
Primero, hagamos la gráfica de esta función.
Fig. 7. ¿Es la función continua y diferenciable en \( x = 4 \)?
- Para determinar si la función es continua en \( x = 4 \), podemos
- mirar la gráfica de la función, o
- evaluar el límite en \( x = 4 \) de ambas partes de la función.
- Empecemos evaluando el límite de ambas partes de la función.
\f(x) = límite_de_x_a4^{-} x^{2} = límite_de_x_a4^{-} (4)^{2} = 16].
\f(x) = lim_x a 4^{+} (5x-4) = lim_x a 4^{+} (5(4)-4) = 16].
Tomamos los límites unilaterales de las partes de las funciones porque es donde esas partes de la función son válidas.
Como obtenemos el mismo resultado al evaluar los límites, sabemos que la función es continua en ( \bf{x = 4} \). Y, si observamos la gráfica de la función anterior, podemos confirmar que la función es continua allí.
2. ¿Es la función diferenciable en \( x = 4 \)?
Para determinar si la función es diferenciable en \( x = 4 \), tenemos que utilizar la fórmula para la definición de una derivada en un punto:
\[ f'(a) = \lim_{x \a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \].
Del mismo modo que tomamos el límite de ambas partes de la función para comprobar la continuidad, tendremos que tomar la derivada de ambas partes de la función para comprobar la diferenciabilidad.
Para que la función sea diferenciable en \( x = 4 \), la derivada de ambas partes de la función no sólo tiene que existir, sino también ser igual. Dicho de otro modo
\[ f'_{-} (a) \mbox{ debe ser igual a } f'_{+} (a) \].
Para tomar la derivada por la izquierda, introducimos \( x^{2} \) por \( f(x) \), \( 16 \) por \( f(a) \), y \( 4 \) por \( a \) y resolvemos.
\[\begin{align}f'_{-}(a) = \lim_{x \to a^{-}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} & = lim_x {a 4^{-}} \frac {x^2-16} {x-4} \\& = límite de x a 4^{-}} \frac{(x+4)(x-4)}{x-4} \\& = límite de x hasta 4 (x+4)& = 4+4f'_{-}(a) & = 8\end{align}\]
Para tomar la derivada por la derecha, introducimos \( 5x-4 \) por \( f(x) \), \( 16 \) por \( f(a) \), y \( 4 \) por \( a \) y resolvemos.
\[\begin{align}f'_{+}(a) = \lim_{x \a a^{+}} \frac(x)-f(a)}{x-a} & = lim_x a 4^{+} \frac{5x-4-16}{x-4} \\& = Lim_x a 4^{+} \frac{5x-20}{x-4} \\& = límite de x a 4 \frac{5(x-4)}{x-4} \\f'_{+}(a) & = 5\end{align}\]
Por tanto, aunque existan ambos límites, la función no es diferenciable en \( \bf{ x = 4 } \) porque el límite por la izquierda no es igual al límite por la derecha. Y, si observamos detenidamente la gráfica de la función, podemos confirmar esta discontinuidad porque hay un punto agudo en \( x = 4 \).
Derivadas y continuidad - Puntos clave
- El límite de una función se expresa como \( \lim_{x \a} f(x) = L \)
- Una función es continua en el punto \( p \) si y sólo si se cumplen todas las siguientes condiciones:
- \Existe f(p).
- \existe, es decir, los límites izquierdo y derecho son iguales.
- \Existe la derivada de f(x), es decir, los límites de la izquierda y de la derecha son iguales.
- La definición de la derivada es el límite:
- \( f'(x) = \lim_{h \a 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)
- Utilizamos los límites para
definir la continuidad y las derivadas, y
determinar si las funciones son continuas y/o diferenciables.
- La diferenciabilidad implica continuidad, pero la continuidad no implica diferenciabilidad.
- Para saber si una función es diferenciable, observa su gráfica. Si no tiene ninguna de las condiciones que hacen que el límite sea indefinido, entonces es diferenciable. Estas condiciones son:
puntos agudos
tangentes verticales,
discontinuidades (salto, eliminable, infinito)
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