La Serie p

Decide si la serie

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt[4]{n}}{n^5}$

es una serie p o no.

Contesta:

A primera vista no parece una serie p, pero hagamos un poco de álgebra para estar seguros. Aquí

$\frac{\sqrt[4]{n}}{n^5}=\frac{n^{\frac{1}{4}}}{n^5}=\frac{1}{n^5·n^{-\frac{1}{4}}}=\frac{1}{n^{5-\frac{1}{4}}}=\frac{1}{n^{\frac{19}{4}}}={\left(\frac{1}{n}\right)}^{\frac{19}{4}}$

así que, efectivamente, se trata de una serie p.

¿Es la serie

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{3^n}$

una serie p?

Respuesta:

No, porque en una serie p tiene que ser $\frac{1}{n}$ elevada a una potencia constante, no una constante elevada a la$n$potencia. De hecho, esta serie también tiene un nombre especial, se llama serie Geométrica. Para más información sobre este tipo de series, consulta Series geométricas.

¿La serie

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n·\sqrt[3]{n}}$

converge o diverge?

Contesta:

Aunque no parezca una serie p, recuerda que

$\frac{1}{n·\sqrt[3]{n}}=\frac{1}{n·n^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$,

por lo que en realidad se trata de una serie p. Para utilizar la Prueba Integral, toma la función

$f\left(x\right)=\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ .

Esta función es decreciente, continua y positiva para lo que significa que se cumplen las condiciones para aplicar la Prueba Integral. Luego integra,

$$\begin{gathered} {\int }_1^{\infty }f\left(x\right)dx={\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}dx \\ ={\int }_1^{\infty }{x}^{-\frac{4}{3}}dx \\ =\underset{k\to \infty }{\lim }{\int }_1^k{x}^{-\frac{4}{3}}dx \\ =\underset{k\to \infty }{\lim }\left[{\overline{)-3x^{-\frac{1}{3}}}}_1^k\right] \\ =\underset{k\to \infty }{\lim }\left[-3k^{-\frac{1}{3}}-\left(-3\right)\right] \\ =3. \end{gathered}$$

Como la integral converge, por la Prueba Integral la serie también converge.

¿La serie

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$

converge o diverge?

Responde:

En este ejemplo$p=2$. Puesto que $p>\hspace{0.17em}1$esta serie converge.

Explica por qué la serie $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{n}\right)}^{-2}$ diverge escribiendo algunas de las sumas parciales y mostrando lo que ocurre.

Responde:

Escribiendo las sumas parciales,

$\begin{array}{ccc}{s}_1& =& {\left(\frac{1}{1}\right)}^{-2}=1\\ s_2& =& s_1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=1+4=5\\ s_3& =& s_{2\hspace{0.17em}+}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=5+\hspace{0.17em}9=14,\end{array}$

y como puedes ver no hacen más que aumentar. Eso significa que la serie diverge.

Decide si la serie

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^n}{n^2{3}^n}$

converge o diverge.

Contesta:

Primero reescribamos la serie en cuestión como

$\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\frac{1}{n^2}$ .

Ya sabes que la serie

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$

es una serie p con$p=2$y converge. También tiene todos los términos positivos. Así que si puedes aplastar los términos de la serie que estás viendo (que también tiene todos los términos positivos) bajo los términos de la serie p, puedes utilizar la Prueba de Comparación para decir que la nueva serie converge.

Observando

${\left(\frac{2}{3}\right)}^n$,

porque $n\ge 1$ puedes decir que

${\left(\frac{2}{3}\right)}^n<1$.

Así que

${\left(\frac{2}{3}\right)}^n{\left(\frac{1}{n}\right)}^2<\hspace{0.17em}1·{\left(\frac{1}{n}\right)}^2={\left(\frac{1}{n}\right)}^2$.

Eso significa que por la Prueba de Comparación utilizando la serie p con , la serie

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^n}{n^2{3}^n}$

converge.