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Pues no del todo. La división larga resulta bastante útil para evaluar integrales con cocientes de polinomios. En este artículo repasaremos la definición, fórmulas, método y ejemplos de integración mediante la división larga. No será tan malo, ¡te lo prometemos!
Definición de integración de una función mediante la división larga
¿Qué es la integración mediante la división larga?
La integración por divisiónlarga es una técnica de integración que se aplica a integrales de la forma
$$\int \frac{p(x)}{q(x)} \; dx, $$
donde \(p(x)\) y \(q(x)\) son polinomios y \(\deg(p(x))\geq\deg(q(x)).\)
Se trata de expresar \(p(x)\) como \(p(x) = q(x)s(x) + r(x)\) para los polinomios \(s(x)\) y \(r(x)\) para simplificar la integral:
$$int \frac{p(x)}{q(x)} \; dx = \int s(x) \; dx + \int \frac{r(x)}{q(x)} \; dx.$$
El grado de un polinomio es su mayor potencia. Como ejemplos, \(\deg(x^2 + 3x - 2) = 2\) y \(\deg(x^7 + 3) = 7\).
Podrías utilizar la integración mediante la división larga para evaluar
$$\int \frac{x^3 - 3x^2 + 2}{x - 3} \; dx$$
ya que \(\deg(x^3 - 3x^2 + 2) = 3\) y \(\deg(x-3) = 1\).
No utilizarías la división larga para evaluar
$$\int \frac{x^3 - 3x^2 + 2}{x^4 - 1} \dx$$
ya que \(\deg(x^3 - 3x^2 + 2) = 3\) y \(\deg(x^4-1) = 4\).
En su lugar, probablemente utilizarías la Integración por partes. En este caso, como el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, intentar utilizar la división larga para obtener un polinomio \(s(x)\) sería como esperar que \(\frac{5}{1000}\) fuera un número entero; el denominador es demasiado grande para que esto funcione.
Reglas para integrar una función mediante una división larga
Hay varias técnicas para integrar expresiones que incluyen polinomios, como la sustitución trigonométrica, la división larga, la integración por fracciones parciales, la integración por sustitución, la sustitución de Weierstrass y la regla de la potencia para la integración (ver Técnicas de integración). Vamos a repasar las reglas y directrices para saber cuándo y cómo utilizar la integración por división larga, en lugar de estas otras técnicas.
Pautas para saber cuándo utilizar la integración por división larga
La siguiente tabla resume las directrices para determinar cuándo es más adecuada cada una de las técnicas de integración comentadas anteriormente.
| Técnica de integración | Cuándo utilizarla | Ejemplo |
| Sustitución trigonométrica | El integrando contiene términos de la forma \(\sqrt{x^2 + a^2}\), \(\sqrt{x^2 - a^2}\), \(\sqrt{a^2 - x^2}\), o (a veces) los mismos términos sin las raíces cuadradas | $$\int \frac{\sqrt{x^2 - 4}{x} dx$$ |
| Integración por división larga | La integral es de la forma$$\int \frac{p(x)}{q(x)} dx, $$donde \(p(x), \, q(x)\) son ambos polinomios, \(\deg(p(x))\geq\deg(q(x))\), y no se aplica ninguna otra técnica | $$\int \frac{x^3-2}{x-3} dx$$ |
| Integración por fracciones parciales | La integral es de la forma$$\int \frac{p(x)}{q(x)} dx, $$donde \(p(x), \, q(x)\) son polinomios, \(\deg(p(x))<\deg(q(x))\), y no se aplica ninguna otra técnica | $$\int \frac{x}{(x-2)(x-3)^2} dx$$ |
| Integración por sustitución | La integral es de la forma$$\int f'(x) (a_nf(x)^n + ... a_0) dx;$$utiliza la sustitución \(u = f(x)\). | $$\int e^{x}(e^{3x} + 2) dx$$ |
| Regla de potencia para la integración (ver Técnicas de integración) | El integrando es un polinomio simple | $$\int 3x^{-3} + 4x^{3/2} - 3 dx$$ |
| Sustitución de Weierstrass (ver Técnicas de integración) | El integrando es una expresión racional de funciones trigonométricas y no se puede utilizar la sustitución en u | $$\int \frac{1}{\sin(x)} dx$$ |
Estas directrices no son absolutas, pero son un buen punto de partida si no estás seguro de qué técnica de integración utilizar. En general, es una buena política evitar el uso de la sustitución trigonométrica, la integración por división larga y la integración por fracciones parciales a menos que sea absolutamente necesario, ya que estas técnicas son más complicadas que las demás y es más fácil cometer errores con ellas.
Puede que necesites utilizar varias de estas técnicas para una misma integral. Por ejemplo, puedes resolver
$$\int e^{x}(e^{3x} + 2) dx$$
haciendo primero la sustitución \(u = e^{x}\), y luego utilizando la regla de la potencia para la integración. Como siempre, es importante mantener la mente abierta a la hora de decidir qué técnicas de integración utilizar. A menudo hay muchas formas de resolver una integral, y la solución más elegante no siempre es la más obvia.
Reglas para utilizar la integración por división larga
Hay algunas reglas que debes seguir al integrar una función utilizando la división larga.
En primer lugar, la integración por división larga sólo se aplica en los casos en que el integrando es un cociente de polinomios. No se puede utilizar en otros casos.
En segundo lugar, sólo se integra mediante división larga cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, debes utilizar otra técnica, como la integración por fracciones parciales.
Fórmula de integración de una función por división larga
La fórmula que se utiliza al integrar por división larga es
$$\begin{align} \int \frac{p(x)}{q(x)} dx &= \int \frac{q(x)s(x) + r(x)}{q(x)} dx \int s(x) + \frac{r(x)}{q(x)} dx, \end{align}$$
donde \(p(x) = s(x)q(x) + r(x).\$) Halla \(s(x)\) y \(r(x)\) utilizando la división larga polinómica.
División larga de polinomios
Para dividir un polinomio \(p(x)\) por un polinomio \(q(x)\), debes encontrar los polinomios \(s(x), \, r(x)\) que satisfagan la fórmula
$$p(x) = q(x)s(x) + r(x).$$
Llamas \(r(x)\) al término resto. Este término resto es igual que los restos que aprendiste cuando estudiaste las fracciones por primera vez. Por ejemplo, el resto de \(\frac{10}{3}\) es \(1\), ya que
$$10 = 3(3) + 1.$$
Observa que el resto siempre es menor que el divisor; en este caso, \(1 < 3.\$) Si \(p(x)\$) es divisible por \(q(x)\$), entonces \(r(x) = 0.\$)
La división larga polinómica es igual que la división de enteros. Cuando aprendiste a dividir números enteros, probablemente hiciste algo parecido a esto:
Divide 273 entre 15.
Solución: Puedes escribir el problema así:
\inicio{array}{r}\fantom{18)} \fantom{18)} \fantom{18)} \fantom{18)} \fantom{18)} \fantom{18)} \fantom{18)}\final{array}
Primero, multiplica 15 por 10, poniendo un 1 en el lugar de las decenas sobre la línea. No puedes multiplicar \(15\) por \(20\), ya que
$$15\cdot 20 = 300 > 273.$$
Como \(15\cdot 10 = 150\), restas 150 de 273, quedando 123.
\iniciar{array}{r}1{\fantom}{8}} \fantom}{8}}15{\fantom}{grande}},273{\fantom}{}\fantom}{subrayado}{150}{\fantom}{}123{\fantom}{)}\final{array}{array}
A continuación, multiplicas 15 por 8 y pones un 8 en el lugar de las unidades sobre la línea. Luego, restas \(15\cdot 8 = 120\) de 123 para obtener 3. Puedes comprobar que
$$15\cdot 9 = 135 > 123,$$
por lo que no has multiplicado 15 por nada mayor que 8.
\iniciar{array}{r}18\fantomas{)} \fantomas{)}15\fantomas{)},273\fantomas{)}\fantomas{)}123\fantomas{)}\fantomas{)}\fantomas{)} \finalizar{array}
15 no divide a 3, así que ya has terminado. Entonces, \(273 = 15(18) + 3\). El término restante es \(3\).
Puedes plantearte la división larga de forma ligeramente distinta, sin perder de vista el valor posicional.
Divide \(273\) entre \(15\), esta vez teniendo en cuenta el valor posicional.
Solución: Primero, escribe cada número para no perder de vista su valor posicional.
$$\begin{align}15 &= 1\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0\273 &= 2\cdot 10^2 + 7\cdot 10^1 + 3\cdot 10^0\end{align}$$
Esta vez, divide "deshaciéndote" de un valor posicional cada vez, empezando por el valor posicional más alto. El primer término del que quieres "deshacerte" es el término \(2\cdot 10^2\), ya que es el mayor. Para ello, multiplica \(1\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0) por \(2\cdot 10^1) y resta:
\1\cdot 10^1+5\cdot 10^0{overline{smash{big)},2\cdot 10^2 + 7\cdot 10^1 + 3\cdot 10^0\fantoma}}\underline{-~\fantoma}(}(2\cdot 10^2 + 10\cdot 10^1)\fantoma{7\cdot 10^0)}\fantoma{7\fantoma})}-3\cdot 10^1 + 3\cdot 10^0\fantoma})}\final {array}
Ahora que todos los términos \(10^2\) han desaparecido, intenta deshacerte de todos los términos \(10^1\). Puedes hacerlo multiplicando \(1\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0\) por \(-3\cdot 10^0\) y restando:
\begin{array}{r}2\cdot 10^1 -3\cdot 10^0\phantom{)}1\cdot 10^1+5\cdot 10^0{overline{\smash{\big)},2\cdot 10^2 + 7\cdot 10^1 + 3\cdot 10^0\phantom{)}}\underline{-~\phantom{(}(2\cdot 10^2 + 10\cdot 10^1)\phantom{3\cdot 10^0)}} -3\cdot 10^1 + 3\cdot 10^0\phantom{)}\phantom{(}(-3\cdot 10^1 - 15\cdot 10^0)}18\cdot 10^0\phantom{)}\end{array}
Llegados a este punto, has terminado, ya que no puedes dividir un término \(10^0) entre algo que contenga un término \(10^1). La respuesta final es
$$2\cdot 10^2 + 7\cdot 10^1 + 3\cdot 10^0 = (1\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0)(2\cdot 10^1 - 3\cdot 10^0) + \frac{18\cdot 10^0}{1\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0}.$$
Si lo reescribes, se convierte en
$$273 = 15(20 - 3) + \frac{18}{15} = 15(17) + \frac{18}{15}.$$
Puedes comprobar que es equivalente a la respuesta que obtuviste antes; simplemente, el término restante es mayor. Este algoritmo es una forma completamente válida de realizar divisiones de números enteros, pero no es necesariamente la mejor forma de hacerlo, ya que a veces da términos de resto mayores de lo necesario.
Sin embargo, este método se generalizaría fácilmente a números escritos, digamos, de la forma
\[a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 +c\cdot 2^1 + d\cdot 2^0\].
o
\[g\cdot 3^1 + h\cdot 3^0.\]
Mientras que el método normal de división de números enteros está pensado para minimizar el resto, este método está pensado para no perder de vista el valor posicional, aunque no escribas los números en base 10.
La división larga polinómica es igual que la división larga entera, en la que tienes en cuenta el valor posicional.
Divide \(2x^2 + 7x + 3\) entre \(x + 5\).
Solución: Puedes escribir el problema así
\comienza{array}{r}\fantom{2x-3)} \fantom{2x-3)}x+5{\fantom{)}}\final{array}
El término situado bajo la línea se llama dividendo, y el de la izquierda, divisor.
En primer lugar, quieres deshacerte del término \(2x^2\). Olvidando por un momento todos los términos además del término \(2x^2\) en el dividendo y el término \(x\) en el divisor, podemos observar que \(x(2x) = 2x^2\). Así pues, multiplica \(x+5) por \(2x), coloca \(2x) en el lugar \(x) sobre la recta, y resta \(x+5)(2x) = 2x^2 + 10x\) de \(2x^2 + 7x + 3.\)
\Inicio {array}{r}2x{fantom}{3}}x+5{superlínea}{smash}{grande}},2x^2 + 7x + 3{fantom}{}{sublínea}{-~{fantom}{(2x^2 + 10x)}{fantom}{-b)}-3x+3{fantom}{)} fin{array}{}
Ahora que te has librado del término \(2x^2\), quieres librarte del término \(-3x\). Así que multiplica (x+5) por (-3), coloca (-3) en el lugar de las unidades sobre la recta y resta (x+5)(-3) = -3x - 15) a (-3x + 3).
\inicio{array}{r}2x-3\fantom})}x+5{\fuerte{\fuerte})},2x^2 + 7x + 3\fantoma{)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{(2x^2 + 7x + 3\fantoma{)}}}}}}}
Como \(18\) no tiene términos \(x\), \(x + 5\) no puede dividir a 18, y ya has terminado. En este caso, \(s(x) = 2x -3\) y tu término restante es \(r(x) = 18\). Puedes comprobar que
$$2x^2 + 7x + 3 = (x+5)(2x-3) + 18.$$
Integración de una función por el método de la división larga
Para integrar
\[\int \frac{p(x)}{q(x)} dx\]
mediante división larga, utiliza el método siguiente.
Determina cuáles son \(p(x)\) y \(q(x)\).
Utilizando la división larga, divide \(p(x)\) entre \(q(x)\) para obtener \(p(x) = q(x)s(x) + r(x)\) y reescribe la integral.
En símbolos, \[\int \frac{p(x)}{q(x)} dx = \int s(x) + \frac{r(x)}{q(x)} dx.\]
En ocasiones, puede resultar más fácil factorizar \(p(x)\) y \(q(x)\) para buscar factores comunes antes de recurrir a la división larga.
Integra.
Si la integral es indefinida, ¡no olvides sumar \(C\)!
Si la integral es definida, evalúa la antiderivada en los puntos extremos.
Para integrar la ecuación resultante, a menudo debes utilizar la integración por sustitución, la integración por fracciones parciales, o ambas.
Ejemplos de integración de una función mediante división larga
Hagamos algunos ejemplos de integración utilizando la división larga.
Vamos a evaluar \(\int \frac{x^3 - 3}{x - 2} dx\) utilizando la división larga.
Paso 1: El primer paso es escribir qué son \(p(x)\) y \(q(x)\). En este caso, \(p(x) = x^3 - 3\) y \(q(x) = x-2\).
Paso 2: A continuación, divide \(p(x)\) entre \(q(x)\). Para facilitar la división, escribe \(p(x)\) como \(p(x) = x^3 + 0x^2 + 0x - 3.\)
No olvides este paso; ¡es una fuente común de error!
\begin{array}{r}x^2+2x+4\phantom{)}x-2{\overline{\smash{\big)},x^3 + 0x^2 + 0x - 3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}2x^2+0x-3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 4x-3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {(4x-8)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {(4x-8)}}}}} {(5)}}}}}}}}}{(5)}}}}}}} {(5)}}}}}}}}}}{(5)
Por tanto, \(x^3 - 3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) + 5,\) y \(s(x) = x^2 + 2x + 4,\, r(x) = 5.\)
A continuación, reescribe la integral:
$$\begin{align}\int \frac{x^3 - 3}{x - 2} dx &= \int \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4) + 5}{x-2} dx\&= \int x^2 + 2x + 4 + \frac{5}{x-2} dx.\end{align}$$
Paso 3: Por último, integra:
$$\begin{align}\int \frac{x^3 - 3}{x - 2} dx &= \int x^2 + 2x + 4 + \frac{5}{x-2} dx\&= \int x^2 + 2x + 4 dx + \int \frac{5}{x-2} dx\&= \frac{1}{3}x^3 + x^2 + 4x + \int \frac{5}{x-2} dx\&= \frac{1}{3}x^3 + x^2 + 4x + 5\ln|x-2|.\end{align}$$
Puedes comprobar, diferenciando o utilizando la integración por sustitución, que
\[\int \frac{5}{x-2} dx = 5\ln|x-2|.\]
Hagamos un ejemplo un poco más complicado.
Evalúa
\[\int \frac{4x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x - 3} dx.\]
Solución:
Paso 1: Primero, identifica \(p(x)\) y \(q(x)\). En este caso, \(p(x) = 4x^2 + 3x + 2\) y \(q(x) = x^2 + 5x - 3\). Tanto \(p(x)\) como \(q(x)\) tienen grado 2, lo cual está completamente bien; aún puedes utilizar la división larga.
Paso 2: A continuación, divide \(p(x)\) entre \(q(x)\).
\x^2 + 5x -3 {subrayado}, 4x^2 + 3x + 2 {subrayado},{subrayado}, -(4x^2+20x - 12)} {subrayado},-17x + 14 {subrayado}, fin {arrayado}.
Por tanto, \(s(x) = 4\) y \(r(x) = -17x + 14\).
Paso 3: A continuación, reescribe y evalúa tu integral.
$$\begin{align}\int \frac{4x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x - 3} \; dx &= \int \frac{4(x^2 + 5x - 3) + (-17x + 14)}{x^2 + 5x - 3} \; dx\ \&= \int \frac{4}{x^2 + 5x - 3} \; dx + \int \frac{-17x + 14}{x^2 + 5x - 3} \; dx + \int&= \int \frac{4}{x^2 + 5x - 3} \; dx + \int \frac{-17x - 85/2 + 117/2}{x^2 + 5x - 3} \; dx\ \&= \int \frac{4}{x^2 + 5x - 3} \; dx - \frac{17}{2}int \frac{2x+5}{x^2 + 5x - 3} \; dx \\\\ & \quad + \frac{1}{2}int \frac{117}{x^2 + 5x - 3} \; &= 121\int \frac{1}{x^2 + 5x - 3} \; dx - \frac{17}{2}int \frac{2x+5}{x^2 + 5x - 3} \; dx\end{align}$$
Para evaluar la integral con \(2x + 5\) en el numerador, puedes utilizar Integración por sustitución con \(u = x^2 + 5x - 3\). Para integrar el otro término, puedes utilizar la Integración por fracciones parciales:
$$ \begin{align} \int \frac{4x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x - 3} \; dx &= 121\int \frac{1}{x^2 + 5x - 3} \; dx - \frac{17}{2}int \frac{2x+5}{x^2 + 5x - 3} \; dx\\ \\ {y= 121\ Izquierda(\frac{\ln(-2x + \sqrt{37} -5) - \ln(2x + \sqrt{37} + 5)} {\sqrt{37}\}Derecha) \ {y \ {y \qad -\frac{17} {2} \¾ln(x^2 + 5x - 3)¾ &= ¾frac{121} {\sqrt{37} {\ln\left( ¾frac{ -2x + \sqrt{37} -5 }{2x + \sqrt{37} + 5 } {right) -¾frac{17} {2} {\ln(x^2 + 5x - 3)¾ \ln(x^2 + 5x - 3) . \fin{align} $$
Hagamos otro ejemplo.
Evalúa \(\int_0^1 \frac{x^2 - 1}{x+1} \; dx\).
Solución: Primero, identifica \(p(x)\) y \(q(x)\). En este caso, \(p(x) = x^2 - 1\) es de grado 2 y \(q(x) = x+1\) es de grado 1, por lo que puedes utilizar la integración por división larga.
A continuación, divide \(p(x)\) entre \(q(x)\). Para evitar errores de división, reescribe \(p(x)\) como \(p(x) = x^2 + 0x - 1\).
\inicio{array}{r}x-1\fantoma})}x+1{\fantoma}{\fantoma})},x^2 + 0x - 1{\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}-x - 1{\}}}}}}}}}}}}}}{{\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 0{\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {{\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
Así pues, \(s(x) = x-1\) y \(r(x) = 0\).
A continuación, reescribe tu integral y evalúala:
$$\begin{align}\int_0^1 \frac{x^2 - 1}{x + 1} \dx &= \int_0^1 \frac {(x-1)(x+1) + 0} {x+1} \; dx \&= \int_0^1 x - 1 \; dx \&= \frac{1}{2}x^2 - x \bigg|_0^1 \&= \left(\frac{1}{2} - 1\right) - (0 - 0)\&= -\frac{1}{2}.\pend{align}$$
Observa que, en lugar de utilizar la división larga, podrías haber factorizado simplemente \(x^2 - 1\) como \((x-1)(x+1)\), dividido e integrado. En general, aunque la división larga (hecha correctamente) siempre funcionará para este tipo de integrales, comprobar si el numerador se puede factorizar a menudo te ahorrará tiempo y esfuerzo.
Integración de funciones mediante división larga - Puntos clave
- La integración por división larga se utiliza para integrales de la forma \(\int \frac{p(x)}{q(x)}\), donde p y q son polinomios y \(\deg(p(x))\geq \deg(q(x))\).
- La integración por división larga se utiliza frecuentemente con otras técnicas de integración como la integración por sustitución y las fracciones parciales.
- La integración por división larga sólo debe utilizarse cuando no se apliquen métodos más convenientes.
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