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La firma de los tiempos modernos es la existencia de las telecomunicaciones. Internet, la televisión y muchas más funciones nos facilitan la vida. Para que las telecomunicaciones funcionen, los científicos e ingenieros se encargan de enviar satélites a la órbita de la Tierra. Como las órbitas se describen mejor utilizando coordenadas polares, es importante saber encontrar las derivadas de las funciones polares.
Definición de las derivadas de las funciones polares
Una función polar es una función definida en coordenadas polares. Igual que cuando trabajas con coordenadas cartesianas (también conocidas como coordenadas rectangulares) escribes las funciones como
\[ y = f(x),\]
en coordenadas polares, escribes funciones como
\[ r = f(\theta),\]
Considera el ejemplo de una espiral arquimediana descrita por
\[ r = 3\theta,\]
su gráfica es la siguiente
Figura 1. Gráfica de una espiral de Arquímedes
Podrías tener la tentación de hallar su derivada del modo en que estás acostumbrado a utilizar las coordenadas rectangulares, de modo que obtendrías
\frac {\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta} = 3,\].
La expresión anterior es la derivada de \( r \) con respecto a \( \theta,\), que te está diciendo cómo cambia la distancia desde el origen a un punto de la curva polar a medida que cambia \( \theta\). Como la distancia entre dos segmentos consecutivos de una espiral de Arquímedes es constante, es de esperar que esta derivada también lo sea.
Figura 2. La distancia entre dos segmentos consecutivos de una espiral de Arquímedes es constante
Mientras que la derivada de \( r \) respecto a \( \theta \) representa el cambio de \( r \) respecto a un cambio de \( \theta\), no representa la pendiente de una recta tangente a la curva polar.
Si quisieras hallar una recta tangente a una curva polar, tendrías que utilizar una fórmula especial que implica derivadas utilizando coordenadas polares.
Figura 3. Recta tangente a un punto de la espiral de Arquímedes
Ecuaciones de las derivadas de funciones polares
La derivada de una función escrita como
\[ y = f(x) \]
puede ayudarte a encontrar una recta tangente a la curva \( f(x)\), así que puedes utilizar esta idea para encontrar la recta tangente a una curva polar. En este caso, tienes que hallar la derivada
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\]
en términos de las coordenadas polares \( r\) y \( \theta\). Para ello, puedes utilizar la siguiente fórmula.
Sea \( r= f(\theta) \) una función polar, entonces su derivada viene dada por
\frac[ \frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} = \frac{ \frac{mathrm{d}r}{mathrm{d}\theta} \sin{theta} + r \, \frac{mathrm{d}r}{mathrm{d}\theta} \cos{theta} - r \, \sin{theta}}.
Como \( r=f(\theta)\), también puedes encontrar esta fórmula escrita en términos de \( f\) y utilizando la notación de primos, es decir
\frac{{mathrm{d}y}{{mathrm{d}x} = \frac{f'(\theta) \cdot \sin{theta} + f(\theta) \cdot \cos{theta}}{f'(\theta) \cdot \cos{theta}-f(\theta) \cdot \sin{theta}}.\]
Puedes evaluar esta derivada para cualquier valor de \( \theta \), lo que te dará la pendiente de una recta tangente a la curva en el punto definido por \( f(\theta) \).
Ten en cuenta que en la fórmula anterior es posible tener \( 0\) en el denominador. Aunque normalmente se te dice que evites esta situación, en este contexto significa que la recta tangente a la curva es vertical.
Pasos para hallar las derivadas de las funciones polares
La fórmula utilizada para hallar la derivada de una función polar puede parecer intimidante, así que vamos a descomponerla en pasos.
- Halla la derivada \( f'(\theta) \) utilizando las reglas de diferenciación pertinentes.
- Utiliza la fórmula de la derivada de una función polar.
- Sustituye \( f(\theta) \) y \( f'(\theta) \) en la fórmula de la derivada de una función polar.
- Simplifica la expresión resultante.
Los pasos siempre se entienden mejor con ejemplos. ¡Aquí tienes uno!
Halla la derivada de la espiral de Arquímedes descrita por
\[ f(\theta) = 3 \theta.\]
Solución:
Sigue los pasos introducidos en este apartado para hallar la derivada de la espiral de Arquímedes que se muestra al principio del artículo.
1. Halla la derivada \( f'(\theta) \) utilizando las reglas de diferenciación pertinentes.
Recuerda que la derivada implicada en este paso es la derivada habitual de \( f(\theta) \) respecto a \( \theta\), es decir
\[ f'(\theta) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\theta},\].
por lo que puedes hallarla con ayuda de la Regla de Potencia, dándote
\[ f'(\theta) = 3. \\]
2. Utiliza la fórmula de la derivada de una función polar.
Ahora puedes utilizar la fórmula de la derivada de una función polar,
\f'(\theta) \cdot \sin{theta} + f(\theta) \cdot \cos{theta}}{f'(\theta) \cdot \cos{theta}-f(\theta) \cdot \sin{theta}}.\] 2. Utiliza la fórmula de la derivada de una función polar.
3. Sustituye \( f(\theta) \) y \( f'(\theta) \) en la fórmula de la derivada de una función polar.
Te han dado \( f(\theta) = 3\theta \) y has averiguado que \( f'(\theta)=3\), así que sustituye estos valores en la fórmula de la derivada de una función polar, es decir
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{(3)\sin{\theta}+(3\theta)\cos{\theta}}{(3)\cos{\theta}-(3\theta)\sin{\theta}}.\]
4. Simplifica la expresión resultante.
Por último, simplifica la derivada factorizando \( 3 \) tanto en el numerador como en el denominador, es decir
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{3\left(\sin{\theta}+\theta\cos{\theta}\right)}{3\left(\cos{\theta}-\theta\sin{\theta}\right)} \\ &= \frac{\cancel{3}\left(\sin{\theta}+\theta\cos{\theta}\right)}{\cancel{3}\left(\cos{\theta}-\theta\sin{\theta}\right)} \\ &= \frac{\sin{\theta}+\theta\cos{\theta}}{\cos{\theta}-\theta\sin{\theta}} . \fin].
La derivada resultante puede evaluarse en cualquier valor de \( \theta\), lo que te dará la pendiente de la recta tangente a la espiral. Por ejemplo, puedes utilizar \( \theta = \frac{\pi}{2}\) y obtener
\[\begin{align} \&= \frac{sin{{frac{pi}{2}} +\frac{\pi}{2}\cos{\frac{\pi}{2}} }{\cos{\frac{\pi}{2}}-\frac{\pi}{2}\sin{\frac{\pi}{2}}} \\ &= \frac{1+\frac{\pi}{2}(0)}{0-\frac{\pi}{2}(1)} \\ &= \frac{1}{-\frac{\pi}{2}} \\ y= -\frac{2}{\pi}. \end{align}\]
Como \( r= f(\theta), \) puedes hallar el punto de la curva en que \( \theta=\frac{\pi}{2} \) sustituyendo este valor de \( \theta \) en \( f,\) es decir
\[ \begin{align} r &= f \left( \frac{\pi}{2} \right) \\\\frac{\pi}{2} &= 3\cdot\frac{\pi}{2} \\y= frac3pi2, fin. \]
que te da la distancia del origen al punto.
Figura 4. Gráfica de una recta tangente a la espiral de Arquímedes cuando \( \theta = \frac{{pi}{2} \)
Observa que, como has encontrado que la pendiente es negativa, la recta es una función decreciente.
Tipos de derivadas de funciones polares
Como ya se ha dicho, al hallar las derivadas de funciones polares puedes hallar o bien
\[ f'(\theta)=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\]
de forma directa, o también puedes encontrar
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\]
utilizando la fórmula introducida en el capítulo anterior para relacionarla con la recta tangente a la curva polar. Observa que para utilizar la fórmula de
|frac{f'(\theta) \cdot \sin{theta} + f(\theta) \cdot \cos{theta}}{f'(\theta) \cdot \cos{theta}-f(\theta) \cdot \sin{theta}},\}], para utilizar la fórmula para
en realidad necesitas hallar \( f'(\theta) \).
Normalmente, la derivada de una función polar se refiere a las rectas tangentes a una curva polar, por lo que debes utilizar la fórmula anterior para calcularlas.
Derivadas de funciones polares en física
Una forma habitual de describir el movimiento de las cosas es mediante coordenadas polares. En este caso, las coordenadas \( r \) y \( \theta \) se convierten en funciones del tiempo, que suele representarse mediante la letra \( t\). Esto significa que, dado cualquier instante de tiempo, puedes hallar las coordenadas de un objeto en términos de sus coordenadas polares, es decir
\[ r = r(t), \]
y
\[ \theta = \theta (t). \]
De este modo puedes hallar las derivadas de \( r \) y \( \theta \) respecto al tiempo, que reciben nombres especiales.
La coordenada \( r \) suele denominarse coordenada radial, y su derivada, velocidad radial.
La velocidad radial de una partícula en movimiento se define como \[ v = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}.\] La velocidad radial de un objeto puede verse como la rapidez con que dicho objeto cambia su distancia respecto al centro de un sistema de coordenadas.
¿Y qué ocurre con la coordenada angular \( \theta \)?
La velocidad angular de una partícula en movimiento se define como \[ \omega = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}.\} La velocidad angular de un objeto puede verse como la rapidez con que dicho objeto cambia su orientación respecto a un eje fijo de un sistema de coordenadas, que suele ser el eje \(x-\).
Puede que se te ocurran los términos velocidad radial y velocidad angular. Estas cantidades son la cantidad vectorial correspondiente a cada velocidad.
El movimiento de una partícula descrito en coordenadas polares viene dado por
\[ r(t) = t^2-2t\]
y
\[ \theta(t) = \sin{(2\pi\,t)}.\]
Halla sus velocidades radial y angular.
Solución:
Puedes obtener la velocidad radial de la partícula hallando la derivada de \( r(t)\), lo que puede hacerse con ayuda de la Regla de Potencia, es decir
\v &= \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} &= 2t-2 \\ &= 2t-2. \fin \]
Para la velocidad angular, en cambio, hallas la derivada de \( \theta(t)\), donde tienes que utilizar el hecho de que la derivada de la función seno es la función coseno. ¡No olvides utilizar también la Regla de la Cadena! Así obtendrás
\[ \begin{align} \omega &= \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}. \\ &= 2\pi\cos{(2\pi\,t)}. \fin{align}\}]
Sencillo, ¿verdad?
Ejemplos de derivadas de funciones polares
Aquí puedes practicar la búsqueda de derivadas de funciones polares con algunos ejemplos.
Considera la limaçon descrita por
\[ f( \theta ) = 2+3\sin{\theta}. \]
Halla la derivada de esta curva polar.
Solución:
1. Halla la derivada \( f'(\theta) \) utilizando cualquier regla de diferenciación pertinente.
Como la derivada de la función seno es la función coseno, puedes escribir
\[ f'(\theta) = 3\cos{\theta}. \]
2. Utiliza la fórmula de la derivada de una función polar.
A continuación, debes utilizar la fórmula
\f'(\theta) \cdot \sin{theta} + f(\theta) \cdot \cos{theta}}{f'(\theta) \cdot \cos{theta}-f(\theta) \cdot \sin{theta}.\].
3. Sustituye \( f(\theta) \) y \( f'(\theta) \) en la fórmula de la derivada de una función polar.
Este paso es bastante sencillo, Si lo haces, obtendrás\frac[ \frac{{mathrm{d}}y}{\mathrm{d}x} = \frac{(3\cos{\theta})\sin{\theta} + (2+3\sin{\theta})\cos{\theta}}{(3\cos{\theta})\cos{\theta}-(2+3\sin{\theta})\sin{\theta}}.\]
4. Simplifica la expresión resultante.
Este paso suele implicar mucho álgebra.
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{(3\cos{\theta})\sin{\theta} + (2+3\sin{\theta})\cos{\theta}}{(3\cos{\theta}) \cos{\theta}-(2+3\sin{\theta})\sin{\theta}} \\ &= \frac{3(\cos{\theta})(\sin{\theta})+2\cos{\theta}+3(\sin{\theta})(\cos{\theta})}{3\cos^2{\theta}-2\sin{\theta}-3\sin^2{\theta}} \\ &= \frac{6(\sin{\theta})(\cos{\theta})+2\cos{\theta}}{3\cos^2{\theta}-3\sin^2{\theta}-2\sin{\theta}}. \fin]]
Esto no puede ser mejor. Normalmente estas derivadas tienen este aspecto.
Quizá la derivada de una curva rosa tenga mejor aspecto.
Considera la curva de la rosa descrita por
\[ f(\theta) = 3\cos{(2\theta)}.\]
Halla la derivada de esta curva polar.
Solución:
1. Halla la derivada \( f'(\theta) \) utilizando cualquier regla de diferenciación pertinente.
Primero halla la derivada de \( f\) utilizando el hecho de que la derivada de la función coseno es el negativo de la función seno, es decir
\[ f'(\theta) = -6\sin{(2\theta)}.
2. Utiliza la fórmula de la derivada de una función polar.
Como siempre, utiliza la fórmula
|frac{f'(\theta) \cdot \sin{theta} + f(\theta) \cdot \cos{theta}}{f'(\theta) \cdot \cos{theta}-f(\theta) \cdot \sin{theta}}].
para hallar la derivada de la curva polar.
3. Sustituye \( f(\theta) \) y \( f'(\theta) \) en la fórmula de la derivada de una función polar.
Antes de sustituir nada, debes intentar utilizar algunas identidades trigonométricas para reescribir \( f(\theta)\) y su derivada. Puedes utilizar las identidades de doble ángulo y hallar que
\f(\theta) &= 3\cos{(2\theta)} &= 3(\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}) &= 3\cos^2{\theta}-3\sin^2{\theta}fin{align}\}].
y
\f'(\theta) &= -6\sin{(2\theta)} &= -6(2\sin{\theta}\,\cos{\theta}) &= -12\sin{\theta}\,\cos{\theta}. \fin].
Ahora puedes sustituir las expresiones anteriores en la fórmula de la derivada de una curva polar, de modo que
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{(-12\sin{\theta}\,\cos{\theta})(\sin{\theta})+(3\cos^2{\theta}-3\sin^2{\theta})(\cos{\theta})}{(-12\sin{\theta}\,\cos{\theta})(\cos{\theta})-(3\cos^2{\theta}-3\sin^2{\theta})(\sin{\theta})}. \]
4. Simplifica la expresión resultante.
Por último, simplifica la expresión anterior todo lo que puedas, así
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{(-12\sin{\theta}\,\cos{\theta})(\sin{\theta})+(3\cos^2{\theta}-3\sin^2{\theta})(\cos{\theta})}{(-12\sin{\theta}\,\cos{\theta})(\cos{\theta})-(3\cos^2{\theta}-3\sin^2{\theta})(\sin{\theta})} \\ &= \frac{-12\sin^2{\theta}\,\cos{\theta}+3\cos^3{\theta}-3\sin^2{\theta}\,\cos{\theta}} {-12\sin{\theta}\,\cos^2{\theta}-3\sin{\theta}\,\cos^2{\theta}+3\sin^3{\theta}} \\ &= \frac{-15\sin^2{\theta}\,\cos{\theta}+3\cos^3{\theta}}{-15\sin{\theta}\,\cos^2{\theta}+3\sin^3{\theta}}. \fin].
A partir de aquí, puedes sacar el factor \(-3\) tanto del numerador como del denominador, con lo que obtendrás
\[ \iniciar{alignar} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\cancel{(-3)}(5\sin^2{\theta}\,\cos{\theta}-\cos^3{\theta})}{\cancel{(-3)}(5\sin{\theta}\,\cos^2{\theta} -\sin^3{\theta}) } \\ &= \frac {5sin^2{\theta},{\cos{\theta}-\cos^3{\theta}}{5sin{\theta},{\cos^2{\theta} -\sin^3{\theta}}. \fin].
Recuerda que si encuentras que la pendiente de una recta es infinita, significa que es una recta vertical.
Demuestra que la recta tangente a
\[ f(\theta) = 3\]
en el punto en que \( \theta = 0 \) es vertical.
Solución:
La curva polar dada es una curva con constante \(r\), que es una circunferencia. El radio de esta circunferencia es igual a \(3\).
Figura 5. Gráfica de la curva polar \( f(\theta) = 3\)
Para hallar la recta tangente a la curva en el punto solicitado, primero tienes que hallar su derivada.
1. Halla la derivada \( f'(\theta) \) utilizando las reglas de diferenciación pertinentes.
Como la función dada es una función constante, su derivada es igual a cero, es decir
\[ f'(\theta) = 0. \\]
2. Utiliza la fórmula de la derivada de una función polar.
A continuación, tendrás que utilizar la fórmula
\frac {f'(\theta) \cdot \sin{theta} + f(\theta) \cdot \cos{theta}}{f'(\theta) \cdot \cos{theta}-f(\theta) \cdot \sin{theta}}].
para hallar la derivada de la curva polar dada.
3. Sustituye \( f(\theta) \) y \( f'(\theta) \) en la fórmula de la derivada de una función polar.
Esta vez la función y su derivada son constantes, por lo que la sustitución es sencilla. Al hacerlo obtendrás
\frac{{mathrm{d}}y}{\mathrm{d}x} = \frac{(0)(\sin{\theta}) + (3)(\cos{\theta})}{(0)(\cos{\theta})-(3)(\sin{\theta})}.\].
4. Simplifica la expresión resultante.
Verás que simplificar las expresiones antes de evaluarlas es muy útil. En este caso, la expresión anterior se simplifica como
\[ \begin{align} \y} {{mathrm{d}x} &= \frac{3\cos{\theta} }{-3\sin{\theta}}. \\ &= -\cot{\theta}. \fin].
Ahora que has encontrado la derivada de la curva polar, puedes sustituir \( \theta=0,\) sin embargo aquí encontrarás un problema
\[ \cot{0} = \infty. \]
¡No te preocupes! Puesto que la expresión anterior te da la pendiente de la recta tangente, esto demuestra en realidad lo que se te pedía, ya que la pendiente de una recta vertical es infinita.
Figura 6. La recta tangente a la curva polar en \( \theta=0\) es vertical
Derivadas de funciones polares - Puntos clave
- Las funciones en coordenadas polares suelen escribirse como\[ r =f(\theta), \] donde \( r \) es la distancia desde el origen a un punto de la curva polar.
- Puedes hallar la derivada \( f'(\theta) \) del mismo modo que hallas la derivada de cualquier otra función, es decir,\[ f'(\theta) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\theta}.\]Sin embargo, esta derivada no describe la pendiente de una recta tangente a un punto de la función polar.
- Sea \( r= f(\theta) \) una función polar, entonces su derivada, también llamada derivada de la curva polar, viene dada por\frac[ \frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} = \frac{f'(\theta) \cdot \sin{theta} + f(\theta) \cdot \cos{theta}}{f'(\theta) \cdot \cos{theta}-f(\theta) \cdot \sin{theta}}.\]
- Puedes utilizar la derivada \( \frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} \) para hallar la pendiente de una recta tangente a un punto de una función polar.
- Observa que en la fórmula de la derivada de una curva polar interviene la derivada habitual \( f'(\theta)\).
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