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Un tipo popular de series son las series de potencias, que son series de la forma \(\suma_{n}^infty c_nx^n\), cuya convergencia dependerá del valor de \(x\). En este artículo, verás cómo encontrar los valores de \(x\), para los que converge la serie de potencias. En otras palabras, aprenderás a calcular su radio de convergencia y su intervalo de convergencia.
Definición de radio de convergencia
Como ya hemos dicho, la convergencia de la serie de potencias depende de los valores de \(x\).
Dada una serie de potencias
\[\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n,\]
sólo una de las tres afirmaciones siguientes es cierta:
(a) La serie converge sólo para \(x=x_0\).
(b) La serie converge para todo \(x\).
(c) Existe un número \(R>0\) tal que la serie converge para \(|x-x_0| < R\) y diverge para \(|x-x_0| > R\) .
El número \(R\) en el caso (c) se conoce como radio de convergencia de la serie de potencias, y el intervalo de convergencia es el intervalo compuesto por todos los puntos \(x\) en los que converge la serie.
Para una serie de potencias
\[\suma_limits_{n=1}^\infty c_n(x-x_0)^n ,\]
la relación entre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia se muestra en la tabla siguiente.
Tabla 1. Relación entre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia.
| Radio de convergencia | Intervalo de convergencia |
\(R=0\) | \(\{x_0\}\) |
\(R=\infty\) | \((-\infty,\infty)\) |
\(R>0\) | \((x_0-R,x_0+R)\),\( (x_0-R, x_0+R]\),\( [x_0-R, x_0+R)\), o \( [x_0-R, x_0+R]\) |
Radio de convergencia de las series de potencias
Una serie de potencias centrada en \(x_0\) (o una serie de potencias en torno a \(x_0\)) es una serie de la forma
\[\sum_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n=c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2+\dots,\]
donde \(x\) es una variable, y \(x_0) y \(c_n\) son números reales. Los \(c_n\) se llaman coeficientes de la serie.
Para cada valor de \(x\), la serie puede converger o divergir. El radio de convergencia de una serie es lo que te dirá para qué valores de \(x\) converge.
Prueba de razón y radio de convergencia
Para calcular el radio de convergencia de una serie de potencias, puedes utilizar la Prueba de la Relación (o a veces la Prueba de la Raíz).
Dada una serie \(\suma límites_n^infty a_n\). Sea
\[L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|,\]
1. si \(L<1\), entonces la serie es absolutamente convergente (y, por tanto, convergente).
2. si \(L>1\), la serie es divergente.
3. si \(L=1\), entonces la serie puede ser divergente, condicionalmente convergente o absolutamente convergente.
Visita los artículos Prueba de razón y Prueba de raíz para obtener más información.
Veamos un ejemplo de cómo utilizar la Prueba de la Relación para obtener el radio de convergencia.
Halla el radio de convergencia de la serie
\[\sum\limits_{n=0}^\infty (3x)^n.\]
Responde:
Observa que en este caso, \(a_n=(3x)^n\), por lo que
\[\begin{align}\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| &= \lim_{n\to\infty}\left|\frac{(3x)^{n+1}}{(3x)^n}\right| \\ &=\left|3x\right|. \end{align}\]
La Prueba de la Relación establece que converge si \(|3x|<1\), es decir, \(|x|<\dfrac{1}{3}\). Por tanto, el radio de convergencia es \(R=\dfrac{1}{3}\).
Radio de convergencia de las series geométricas
Un caso especial de serie de potencias es la serie geométrica dada por
\[\sum\limits_{n=0}^\infty ax^n,\]
donde \(a\) es una constante.
Puedes calcular su radio de convergencia mediante la Prueba de la Razón, igual que para otras series de potencias. En este caso, los términos de la serie vienen dados por \(a_n=ax^n\), por lo que
\[\begin{align} \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| &=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{ax^{n+1}}{ax^n}\right| \\ &=|x|. \fin].
La Prueba de la Relación dice que converge si \(|x|<1\), y por tanto el radio de convergencia es \(R=1\).
Para saber más sobre este tipo de series, visita el artículo Series geométricas.
Radio de convergencia de \(\sin (x)\)
Para calcular el radio de convergencia de la función \(\sin x\), recuerda que puedes reescribir la función utilizando su serie de Taylor o de Maclaurin. La serie de Maclaurin de la función \(\sin x\) viene dada por
\[\begin{align} \sin x&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\ &=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-puntos fin].
Para saber más sobre series de este tipo, consulta las series Taylor y Maclaurin.
Utilizar la prueba de la proporción
\[\begin{align}\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| & =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(2(n+1)+1)!}x^{2(n+1)+1}}{\frac{(-1)^n}{(2n+1)!|2n+3!}|x|^2 &= \lim_n\to\infty}\frac{(2n+1)!}{(2n+3)!}|x|^2 &= \lim_n\to\infty}\frac{1}{(2n+3)(2n+2)}|x|^2 &=0. \end{align}]
Como el límite es cero independientemente de \(x\), significa que la serie converge para cualquier valor de \(x\), y por tanto la serie de \(\sin x\) tiene radio de convergencia \(R=\infty\).
Ejemplos de radio de convergencia
Aquí tienes algunos ejemplos.
¿Para qué valores de \(x\) la serie
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{5^n(x-2)^n}{n}\]
¿converge?
Responde:
Observa que los términos de la serie vienen dados por \(a_n=\dfrac{5^n(x-2)^n}{n}). Calculando el límite
\[\begin{align} \límite {n}a {infty} \derecha &= 5|x-2| límite_de_n a_infty \\ &= 5|x-2|.end{align}]
Puedes factorizar el \(5|x-2| \) delante del límite porque no depende de \(n\). Para recordar por qué el límite de \(\frac{n}{n+1}}) es igual a \(1\), consulta el artículo Límite de una secuencia.
Por la Prueba de la Razón, tienes que la serie converge cuando \(5|x-2|<1\), es decir, cuando
\[\frac{9}{5} < x < \frac{11}{5} .\]
Por último, queda por ver qué ocurre en los puntos finales \(x=\dfrac{9}{5}\) y \(x= \dfrac{11}{5}\). ¡Tienes que comprobarlos por separado!
Para \(x=\dfrac{9}{5}\) obtienes la serie alterna
\[\begin{align}\sum\limits{n=1}^infty \frac{5^n(x-2)^n}{n} &= \sum\limits{n=1}^infty \frac{5^n\ izquierda(\dfrac{9}{5} -2\ derecha)^n}{n}. \\ &= Suma de límites (n=1), infty (5), izquierda (-dfrac1), derecha (n)). \\ &= suma de límites n=1infty frac {(-1)^n}{n} fin].
que es convergente. Eso significa que \ (x=\dfrac{9}{5}\) está en el intervalo de convergencia.
En cambio, para \(x=\dfrac{11}{5}\) se obtiene la serie armónica
\[\begin{align} \suma_limites_{n=1}^infty \frac{5^n(x-2)^n} {n} &= suma_limits_{n=1}^infty \frac{5^n}izquierda(\dfrac{11}{5} -2\ derecha)^n} {n}. \\ &= suma de límites n=1, infty frac 5 izquierda (frac 1, 5 derecha) n \\ &= suma_limites_n=1}^infty\frac{1}{n}, \final{align}].
que diverge. Así que \ (x=\dfrac{11}{5}\) no está en el intervalo de convergencia.
Por tanto, los valores de \(x\) para los que converge la serie son
\[\frac{9}{5} \leq x < \frac{11}{5},\].
y el intervalo de convergencia es
\[\left[ \frac{9}{5} ,\frac{11}{5} \right). \]
Un ejemplo más.
Halla el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie
\¾[¾suma_limits_{n=0}^¾infty ¾ izquierda(¾frac{x+3}{7}\ derecha)^n .¾]
Respuesta:
Calculemos primero el límite:
\[\lim_{n\a\infty} \left| \frac{\dfrac{(x+3)^{n+1}}{7^{n+1}}}{\dfrac{(x+3)^{n}}{7^{n}}}\right|=\frac{|x+3|}{7}.\]
Por la Prueba de la Relación, la serie converge para \(x\) donde \(\dfrac{|x+3|}{7} < 1\), que es lo mismo que \(|x+3|<7\). Esto puede escribirse como \(-7<x+3<7\), lo que significa que necesitas \(-10<x<4\). Por tanto, el radio de convergencia es \(R=7\).
Cuando encuentres el intervalo de convergencia, ¡no olvides comprobar los puntos extremos! Para \(x=-10\), tienes
\[\begin{align} \izquierda(\frac{x+3}{7}derecha)^n &= \suma límites_n=0}^infty izquierda(\frac{-10+3}{7}derecha)^n &= \suma límites_n=1}^infty (-1)^n , \final].
que es una serie alterna que diverge. Por tanto, \(x=-10\) no está en el intervalo de convergencia.
Si \(x=4\) obtienes la serie
\[\begin{align} \izquierda(\frac{x+3}{7}derecha)^n &= suma límites_n=0}^infty izquierda(\frac{4+3}{7}derecha)^n &= suma límites_n=1}^infty 1 , \final].
que también es divergente.
Por tanto, el intervalo de convergencia es \((-10,4)\}.
Radio de convergencia - Puntos clave
- Sea \(\suma_limites_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n\) una serie de potencias sobre \(x_0\).
- El radio de convergencia de la serie es un valor real \(R>0\), para el que la serie converge para todo \(x\) tal que \(|x-x_0| < R\) y diverge para todo \(x\) tal que \(|x-x_0| > R\).
- Si la serie sólo converge para \(x=x_0\), entonces \(R=0\).
- Si la serie converge para todos los valores de \(x\), entonces \(R=\infty\).
- El intervalo de convergencia de una serie de potencias es el intervalo compuesto por todos los puntos \(x\) en los que converge la serie.
- Para calcular el radio de convergencia, puedes utilizar la Prueba de la Razón o la Prueba de la Raíz.
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