Función Logarítmica Natural

Definición de la función logarítmica natural

Recuerda que e es la base utilizada en la función exponencial de crecimiento y decrecimiento $g\left(x\right)=e^x$. Para más detalles, consulta Crecimiento y Decaimiento Exponenciales. Además, sabes que las funciones exponenciales y los logaritmos son inversas entre sí, por lo que la inversa de la función de crecimiento exponencial es $f\left(x\right)={\log }_e\left(x\right)$. Sin embargo, este logaritmo natural se utiliza tanto que tiene una abreviatura:

El gráfico siguiente muestra que el logaritmo natural es el reflejo de la función de crecimiento exponencial sobre la recta$y=x$.

El logaritmo natural y la función de crecimiento exponencial | StudySmarter Originals

En términos intuitivos, la función exponencial te dice cuánto ha crecido algo dada una cantidad de tiempo, y el logaritmo natural te da la cantidad de tiempo que se tarda en alcanzar una determinada cantidad de crecimiento. Puedes pensar en ello como

$$\begin{gathered} e^{time}=howmuchgrowth \\ \ln (howmuchgrowth)=time \end{gathered}$$

El dominio de la función logarítmica natural

Propiedades de la función logarítmica natural

Como la función logarítmica natural no es más que un logaritmo de base e, tiene las mismas propiedades que la función logarítmica normal.

Propiedades de la función logarítmica natural:

• es un logaritmo de base e
• no hay intersección y
• la intersección x está en $\left(1,0\right)$
• el dominio es $(0,\infty )$
• el rango es $\left(-\infty ,\infty \right)$
• $\ln \left(e^x\right)=x$
• $e^{\ln \left(x\right)}=x$

Conversión de otras funciones logarítmicas en funciones logarítmicas naturales

Puede ser útil cambiar la base de las funciones logarítmicas para ver cómo se comparan entre sí. Para ello utiliza la Regla de Proporción para logaritmos,

Puesto que quieres convertir ${\log }_b\left(x\right)$a ${\log }_e\left(x\right)$utiliza $a=e$ para obtener

${\log }_b\left(x\right)=\frac{{\log }_a\left(x\right)}{{\log }_a\left(b\right)}=\frac{{\log }_e\left(x\right)}{{\log }_e\left(e\right)}=\frac{\ln \left(x\right)}{\ln \left(b\right)}$

Así que $f\left(x\right)={\log }_b\left(x\right)$equivale a $f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{\ln \left(b\right)}$.

Derivadas de la función logarítmica natural

La derivada de la función logarítmica natural es

$\frac{d}{dx}\ln \left(x\right)=\frac{1}{x}$

Para más información sobre la derivada de la función logarítmica natural, consulta Derivada de la función logarítmica.

Integración de funciones logarítmicas naturales

La integral de la función logarítmica natural es

$\int \ln \left(x\right)dx=x·\ln \left(x\right)-x+C$

Para más información sobre la integral de la función logarítmica natural, consulta Integrales de funciones logarítmicas.