Serie alternante: Ejemplos, Aplicaciones

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Fórmula de la serie alterna

Una serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$

se llama alterna si $a_{n} > 0$ son positivos.

¿Es la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n}$

una serie alterna?

Respuesta: Sí, es una serie alterna porque puedes escribir la serie como

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} (\frac{1}{n})$

y dejar que

$a_{n} = \frac{1}{n} > 0$ .

Recuerda que

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

se llama serie Armónica, por lo que la gente llama a

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n}$

la serie Armónica Alternante porque se basa en la serie Armónica.

La suma de series alternas

Puedes tener la tentación de sumar una serie alterna agrupando las sumas así:

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \dots = (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + \dots = 0 + 0 + 0 + 0 + \dots = 0,$

pero veamos la secuencia de sumas parciales para ver si es cierto. La secuencia de sumas parciales de esta serie viene dada por

$\begin{matrix} s_{1} & = & - 1 \\ s_{2} & = & - 1 + 1 = 0 \\ s_{3} & = & 0 + - 1 = - 1 \\ s_{4} & = & - 1 + 1 = 0 \\ ⋮ \end{matrix}$

¡que como secuencia no converge en absoluto! Ahora ya sabes que la serie no converge, por lo que la respuesta de 0 para la suma anterior no es correcta. Esto significa que no puedes agrupar infinitos términos utilizando las propiedades de la suma, como harías si se tratara de una suma finita.

La prueba de la serie alterna

Estaría bien disponer de una forma sencilla de ver si una serie alterna converge o no. Ahí es donde resulta útil la Prueba de las Series Alternas. También se llama Teorema de Leibniz.

Prueba de las series alternas (Teorema de Leibniz): Si la serie alterna

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$

tiene las propiedades de que

1. cada $a_{n} > 0$ ;

2. $a_{n} \geq a_{n + 1}$ para todo $n > N$ donde $N$ es algún número natural fijo

3. $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ,

entonces la serie converge.

También puedes examinar la convergencia absoluta frente a la condicional de las series alternas, y para más información al respecto consulta Convergencia absoluta y condicional

Volviendo a la serie armónica alterna, ya sabes que la primera condición de la prueba de la serie alterna se cumple porque

$a_{n} = \frac{1}{n} > 0$ .

Condición 2: Puesto que

$a_{n} = \frac{1}{n}$ y $a_{n + 1} = \frac{1}{n + 1}$

sabes que $a_{n} > a_{n + 1}$ porque $n < n + 1$ lo que implica que

$\frac{1}{n} > \frac{1}{n + 1}$ ,

entonces se cumple la segunda condición.

Condición 3: También sabes que

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ ,

por lo que se cumple la tercera condición.

Eso significa que puedes aplicar la Prueba de la Serie Alterna para afirmar que la Serie Armónica Alterna converge.

Recuerda que la Serie Armónica diverge, por lo que a veces cambiar algo de una serie regular a una serie alterna puede hacer que pase de divergente a convergente.

Es muy importante tener en cuenta que la Prueba de las Series Alternas puede decirte si algo converge, ¡pero no puede decirte si algo diverge!

Ejemplos de series alternas

Veamos algunos ejemplos de series alternas, y comprobemos si convergen o no mediante la Prueba de las Series Alternas.

Sabes que la serie P

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{n})}^{2}$

converge porque $p = 2$ .

Qué se puede decir de la serie P alterna

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n^{2}}$ ?

Respuesta: Antes de aplicar la Prueba de la Serie Alternante debes asegurarte de que se cumplen todas las condiciones.

Condición 1: Aquí

$a_{n} = \frac{1}{n^{2}} > 0$

por lo que se cumple la primera condición.

Condición 2: Sabes que

$a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$

$a_{n + 1} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} = \frac{1}{n^{2} + 2 n + 1} < \frac{1}{n^{2}} = a_{n}$ ,

por lo que se cumple la segunda condición.

Condición 3: Mira el límite,

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} = 0$ ,

por lo que se cumple la tercera condición.

Eso significa que la Prueba de la Serie Alternante te dice que la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n^{2}}$

converge.

¿Puedes utilizar la prueba de la serie alterna para saber si la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{\sqrt{n}}$

converge?

Contesta:

Comprobemos las condiciones de la Prueba de la Serie Alternante.

Condición 1: Para esta serie

$a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} > 0$ ,

por lo que se cumple la primera condición.

Condición 2: Aquí

$a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}$ y $a_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ .

Puede que no tengas una buena intuición de cómo $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ entre sí, así que probemos un valor para $n$ y veamos qué ocurre. Si $n = 10$ entonces

$a_{10} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.3162$ y $a_{11} = \frac{1}{\sqrt{11}} \approx 0.3015$ ,

lo que significa que $a_{10} > a_{11}$ . Esta es la dirección que esperarías que siguiera la desigualdad. De hecho, como $n < n + 1$ sabes que $\sqrt{n} < \sqrt{n + 1}$ lo que implica

$\frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ ,

por lo que en general $a_{n} > a_{n + 1}$ . Ahora sabes que se cumple la segunda condición.

Condición 3: Observa el límite,

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ ,

por lo que la tercera condición también se cumple.

Ahora, por la prueba de la serie alterna, sabes que la serie converge.

Como en el ejemplo anterior, puedes demostrar que las sumas parciales de la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1}$

divergen, lo que significa que la serie diverge. ¿Qué ocurre si intentas utilizar la prueba de las series alternas?

Respuesta:

En primer lugar, veamos la secuencia de sumas parciales de esta serie. Sabes que

$\begin{matrix} s_{1} & = & 1 \\ s_{2} & = & 1 - 1 = 0 \\ s_{3} & = & 0 + 1 = 1 \\ s_{4} & = & 1 - 1 = 0 \\ ⋮ \end{matrix}$

por lo que, de hecho, la secuencia de sumas parciales diverge, lo que por definición significa que la serie diverge.

Para aplicar la Prueba de la Serie Alternante necesitas que se cumplan las tres condiciones. Para esta serie $a_{n} = 1$ para cualquier $n$ lo que significa que se cumple la primera condición. Pero cuando compruebes la segunda condición necesitas que $a_{n} > a_{n + 1}$ o, en otras palabras, que $1 > 1$ lo cual no es cierto. Peor aún es cuando compruebas el límite en la tercera condición, ya que

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$ ,

que definitivamente no es cero. Así que, aunque observando las sumas parciales sepas que esta serie diverge, no puedes utilizar la Prueba de las Series Alternas para decir nada al respecto.

Podrías utilizar la equivalencia lógica "si A entonces B" es lo mismo que "si B es falso entonces A es falso" para decir que si una o más de las tres condiciones no se cumplen, entonces la serie diverge. Sin embargo, es incorrecto decir que si una de las tres condiciones de la Prueba de la Serie Alternante no se cumple, entonces la serie diverge. En cambio, lo que puedes decir es que si una serie alterna diverge, entonces no cumple una o más de las tres condiciones de la Prueba de las Series Alternas.

Si te encuentras con una serie alterna en la que la tercera condición es falsa, entonces deberás intentar utilizar en su lugar la Prueba del ^Enésimo Término para la divergencia. De hecho, suele ser una buena prueba para empezar con las series alternas, ya que es menos trabajosa de aplicar que la Prueba de las Series Alternas. Consulta la Prueba de divergencia para obtener más detalles.

Mira la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1} n}{2 n - 1}$ .

Esta serie diverge, lo que significa que falla una o más de las tres condiciones de la Prueba de la Serie Alternante. ¿Qué condición falla?

La respuesta:

Aquí

$a_{n} = \frac{n}{2 n - 1}$ ,

y puedes ver que se cumple la primera condición.

Condición 2: Para comprobar la condición 2, demostrar que $a_{n} > a_{n + 1}$ es lo mismo que demostrar que $a_{n} - a_{n + 1} > 0$ . Así que

id="5135620" role="matemáticas" $a_{n} - a_{n + 1} = \frac{n}{2 n - 1} - \frac{n + 1}{2 (n + 1) - 1} = \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)} = \frac{1}{4 n^{2} - 1} > \frac{1}{4 n^{2}} > 0$

y se cumple la segunda condición.

Condición 3: Observar el límite,

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2 n - 1} = \frac{1}{2}$ ,

que definitivamente no es cero. Eso significa que falla la condición 3 de la Prueba de la Serie Alternante.

Se demuestra que la serie del ejemplo anterior es divergente utilizando la prueba del ^enésimo término para la divergencia. Ver Prueba de divergencia para más detalles.

Teorema de estimación de series alternas

A veces basta con saber aproximadamente a qué converge una serie alterna y a qué distancia estás de la respuesta. Para ello, puedes utilizar el Teorema del límite de las series alternas.

Teorema: Límite de la serie alterna

Si la serie alterna

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$

tiene las propiedades de que

1. cada $a_{n} > 0$ ;

2. $a_{n} \geq a_{n + 1}$ para todo $n > N$ donde $N$ es algún número natural fijo

3. $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ,

entonces el error de truncamiento de la ^enésima suma parcial es menor que $a_{n + 1}$ y tiene el mismo signo que el primer término no utilizado.

Otra forma de hablar del error de truncamiento es recordar que

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$

es en realidad el límite de la serie, y

$\sum_{k = 1}^{n} {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$

es la suma parcial de la serie, que es una aproximación de lo que es el límite. El error es la diferencia entre el límite y la suma parcial, o lo que es lo mismo

ERROR $= |\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n} - \sum_{k = 1}^{n} {(- 1)}^{k + 1} a_{k}|$ .

El límite de la serie alterna te dice que

ERROR $= |\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n} - \sum_{k = 1}^{n} {(- 1)}^{k + 1} a_{k}| \leq a_{n + 1}$ .

Mejor aún, puedes saber si es una sobreestimación o una subestimación viendo si ${(- 1)}^{n + 1}$ es positivo o negativo. Si es positivo, la suma parcial es una sobreestimación, y si es negativo, tu suma parcial es una subestimación.

¡Observa que estas 3 condiciones son exactamente las mismas que para la Prueba de la Serie Alternante! Así que si no puedes aplicar la Prueba de la Serie Alternante porque no se cumple una de las condiciones, tampoco puedes aplicar el Teorema del Límite de la Serie Alternante.

Veamos la serie armónica alterna. Ya sabes que los términos del Teorema del Límite de la Serie Alternante se cumplen a partir de un ejemplo anterior. Eso significa que puedes aplicar con seguridad el Teorema del Límite de la Serie Alternante.

Supongamos que sumas los 10 primeros términos. ¿Cuánto se aleja la suma parcial de la respuesta real?

Respuesta: Si haces el cálculo

$s_{10} = \frac{1267}{2520} \approx 0.6456$ ,

por lo que, utilizando el teorema del límite de la serie alterna, el error de truncamiento para $s_{10}$ es menor que

id="5135635" role="matemáticas" $a_{11} = \frac{1}{11}$ .

El hecho de que el término ${(- 1)}^{11}$ sea negativo te indica que se trata de una subestimación y no de una sobreestimación.

Series alternas - Puntos clave

Una serie
$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$
se llama alterna si $a_{n} > 0$ .
son positivos.
Prueba de las series alternas (Teorema de Leibniz): Si la serie alterna
$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$
tiene las propiedades de que
1. cada $a_{n} > 0$ ;
2. $a_{n} \geq a_{n + 1}$ para todo $n > N$ donde $N$ es algún número natural fijo; y
3. $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ,
entonces la serie converge.
Teorema: Límite de la serie alterna
Si la serie alterna
$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$
tiene las propiedades de que
1. cada $a_{n} > 0$ ;
2. $a_{n} \geq a_{n + 1}$ para todo $n > N$ donde $N$ es algún número natural fijo; y
3. $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ,
entonces el error de truncamiento de la ^enésima suma parcial es menor que $a_{n + 1}$ y tiene el mismo signo que el primer término no utilizado.

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Preguntas frecuentes sobre Serie alternante

¿Qué es una serie alternante?

Una serie alternante es una serie infinita donde los términos cambian de signo. Es decir, los términos se alternan entre positivos y negativos.

¿Cómo se determina la convergencia de una serie alternante?

Para determinar la convergencia de una serie alternante, se utiliza el Criterio de Leibniz, que requiere que los términos decrezcan en magnitud y tiendan a cero.

¿Cuál es un ejemplo de serie alternante?

Un ejemplo de serie alternante es la serie de Grandi: 1 - 1 + 1 - 1 + ..., que suma los términos infinitamente alternantes entre 1 y -1.

¿Las series alternantes siempre convergen?

No, no todas las series alternantes convergen. Deben cumplir ciertos criterios, como el Criterio de Leibniz, para que podamos afirmar su convergencia.

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