Prueba de razón

Considera la serie

\[ \suma_limites_{n = 1}^{\infty} \frac{9^n}{(-2)^{n+1}n} .\]

Si omites los signos de valor absoluto al tomar el límite, obtienes

\[ \begin{aligned} L &= \limits_{n \a \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \\ y= límites entre n e infty \frac{\frac{9^{n+1}}{(-2)^{n+2}(n+1)} }{\frac{9^n}{(-2)^{n+1}n} } |limits_{n |a \infty} \izquierda (frac {9^{n+1}}(-2)^{n+2}(n+1)} derecha) izquierda (frac {(-2)^{n+1}}n {9^n} derecha) &= límites de n a infty \frac{9 n}{-2(n+1) } \\ &= -\frac{9}{2}. \fin{alineado} \]

Puesto que

\L = -\frac{9}{2} < 1 \frac{9}{2}]

esto parece implicar que la serie converge.

Sin embargo, si se aplica correctamente la Prueba de la Relación con los signos de valor absoluto, entonces

\L = izquierda| -\frac{9}{2} derecha|= \frac{9}{2} > 1, \].

por lo que, de hecho, la Prueba de la Relación te dice que la serie diverge.

Así que ten cuidado, porque omitir los signos de valor absoluto puede dar una respuesta errónea.

Decide si la serie

\[ \suma_limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^n}{(2n)!}]

converge o diverge.

Responde:

Tomando el límite para hallar \( L \) se obtiene

\[ \begin{aligned} L &= \limites_{n \a \infty} \a la izquierda. \Derecha: Límites de N a Infty. \left| \frac{\frac{(-3)^{n+1}}{(2(n+1))!} }{\frac{(-3)^n}{(2n)!} } \ right| \\\\\ limits_{n \a \infty} \izquierda: frac {(-3)^{n+1}}(2(n+1))¡! \ right| \\\\\ limits_{n \to \infty} \¡(2n+2)(2n+1)(2n)! } \derecha &= límite_n_a_infty} \(2n+2)(2n+1)}. \]

Por tanto, según la prueba de la razón, esta serie converge.

Decide si la serie

\[ \suma_limits_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{4^n} \]

converge o diverge.

Responde:

Hallar \( L \) para intentar aplicar la Prueba de la Relación te da

\[ \begin{aligned} L &= \limits_{n \a \infty} \izquierda| \frac{a_{n+1}}{a_n} \Derecha: Límites de N a Infty. \left| \frac{\frac{(n+1)!}{4^{n+1}} {{frac{n!}{4^n}}. } \derecha &= límite_de_n a {infty} \izquierda: ¡frac {(n+1)!}{4^{n+1}} \y no a la izquierda. \¾derecha ¾ &= ¾limites_{n ¾a ¾infty} \izquierda: frac {n!(n+1)} {4\cdot n!} \derecha &= límites de n a infty \izquierda: frac {n+1} {4} \derecha y = infty. \fin \]

En otras palabras, \( L \) es indudablemente mayor que 1, por lo que la serie diverge.

Intenta aplicar la Prueba de la Relación a la serie

\[ suma_limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}. \]

Contesta:

Ya sabes que se trata de la serie armónica, que es una serie P con \( p = 1 \), y por tanto diverge. Pero si intentas aplicar la Prueba de la Relación

\[ \begin{aligned} L &= \limits_{n \a \infty} \izquierda| \frac{a_{n+1}}{a_n} \Derecha: Límites de N a Infty. \a la izquierda {{frac{1}{n}} } \derecha &= límites n a infty \frac{n}{n+1 } \\ &= 1. \fin \]

Como \( L = 1 \) no se puede aplicar la Prueba de la Relación para demostrar que esta serie diverge.

Intenta aplicar la Prueba de la Relación a la serie

\[ suma_limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}. \]

Contesta:

Se trata de una serie P con \( p =2 \), por lo que sabes que es absolutamente convergente. Pero, ¿puede decírtelo la Prueba de la Razón? Tomando el límite,

\[ \begin{aligned} L &= \limites_{n \a \infty} \izquierda| \frac{a_{n+1}}{a_n} \Derecha: Límites de N a Infty. \(n+1)^2} (n+1)^2} (n+1)^2} (n+1)^2) {{frac{1}{n^2}} } \¾derecha ¾ &= ¾limites_{n ¾a ¾infty} \frac{n^2}{(n+1)^2 } \\ &= 1. \fin{alineado} \]

Como \( L = 1 \) no se puede aplicar la Prueba de la Relación para demostrar que esta serie es absolutamente convergente.

Intenta aplicar la prueba de la razón a la serie

\suma_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}].

Contesta:

Se trata de la serie armónica alterna, por lo que sabes que es condicionalmente convergente. ¿Qué puede decirte la Prueba de la Razón? Tomando el límite,

\[ \begin{aligned} L &= límite_de_n a \infty} \izquierda| \frac{a_{n+1}}{a_n} \Derecha: Límites de N a Infty. \left| \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} }{frac{(-1)^n}{n}} } \frac {n} {n+1} {n+1} { {frac {n} {n+1}} \frac{n}{n+1 } \\ &= 1. \fin \]

Como \( L = 1 \) no se puede aplicar la Prueba de la Relación para demostrar que esta serie es condicionalmente convergente.

Determinar si la serie

\[ \suma_limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2+1} \]

es convergente o divergente.

Responde:

Primero encontremos \( L \) y veamos si la Prueba de la Razón puede darte un resultado. Tomando el límite,

\[ \begin{aligned} L &= \limits_{n \a \infty} \izquierda| \frac{a_{n+1}}{a_n} \Derecha: Límites de N a Infty. \(-1)^{n+1}}(n+1)^2 + 1}) }{\frac{(-1)^n}{n^2+1} } \ derecho| &= \ limites_{n \ a \infty} \frac{n^2+1}{(n+1)^2 + 1 } \\ &= 1, \end{aligned} \]

así que, de hecho, la Prueba de la Razón no te dice nada.

Como se trata de una serie alterna, puedes comprobar que se cumplen las condiciones de la Prueba de la Serie Alterna. Para esta serie

\[ b_n = \frac{1}{n^2+1}. \]

Observa que \( b_n > 0\) por lo que se cumple la primera condición de la prueba. Además

|limites_de_n a \infty} b_n = \limites_de_n a \infty} \frac{1}{n^2+1} = 0, \]

y se cumple la segunda condición de la prueba. Comprobando la tercera condición, puesto que

\[ (n+1)^2 + 1 > n^2 + 1, \]

sabes que

\[ b_n = \frac{1}{n^2+1} < \frac{1}{(n+1)^2+1} = b_{n+1} \]

y también se cumple la tercera condición. Por tanto, según la Prueba de las Series Alternas, la serie es convergente.

Determina si la serie

\[ \suma_limits_{n=1}^{\infty} \frac{3n+7}{2n-1} \]

es convergente o divergente.

Responde:

Si intentas aplicar la prueba de la razón, tomando el límite obtienes

\[ \begin{aligned} L &= \limites_{n \a \infty} \a la izquierda. \Derecha: Límites de N a Infty. \izquierda: frac {frac{3(n+1) +7}{2(n+1)-1} }{frac{3n+7}{2n-1} } \¾derecha| \\ {\}limits_{n \} {\}a \ {infty} \frac{(2n-1)(3n+10)}{(2n+1)(3n+7) } \\ &= 1, \end{alineado} \]

lo que significa que no se puede aplicar la Prueba de la Razón.

Si en su lugar observas

\[ \limits_{n \a \infty} \frac{3n+7}{2n-1} = \frac{3}{2}, \}

la Prueba del ^Enésimo Término para la Divergencia te dice que la serie diverge.