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Sin embargo, las ecuaciones diferenciales separables son un tipo específico de ecuación diferencial que puede resolverse explícitamente, ¡lo que las hace tan especiales como el pan de molde!
Significado de las ecuaciones diferenciales separables
Empecemos por definir qué es exactamente una ecuación diferencial separable.
Una ecuación diferencial separable de primer orden es una ecuación que puede escribirse de la forma
\[y'=f(x)g(y).\]
Separable se refiere a si puedes separar o no los términos \(x\) de los términos \(y\). En general, se pueden separar en una función de \(x\) multiplicada por una función de \(y\).
Identifica las siguientes ecuaciones de primer orden como separables o no separables.
(a) \(y'=(x^{2}+9)5y \)
(b) \(y'=3x^{2}-4x \)
(c) \(\ln(y') = x+5\)
(d) \(y'=xy+3x-2y-6 \)
(e) \(e^{y'} = x + y\)
Contesta:
(a) Si dejas que \(f(x) = x^{2}+9 \) y \(g(y) = 5y \), entonces puedes escribir \(y' = f(x)g(y)\), por lo que se trata de una ecuación separable.
(b) Ésta ya es separable, aunque quizá tardes un momento en darte cuenta de que puedes dejar que \(g(y) = 1\).
¡No hay ninguna razón por la que no puedas dejar que \(f(x)\) o \(g(y)\) sean funciones constantes!
(c) Puede que la ecuación no parezca separable, pero utilicemos las propiedades de los logaritmos. Recuerda que \ (\ln(y') = x+5\) significa lo mismo que
\[ y' = e^{x+5}.\]
Así que se trata de una ecuación separable.
(d) La ecuación diferencial \(y'=xy+3x-2y-6 \) no parece separable a primera vista, pero hagamos un poco de álgebra para estar seguros. Si factorizas el lado derecho, obtienes
\[ \begin{align} y' &= xy+3x-2y-6 \\b\ \\= x(y+3) - 2(y+3) \\b\ &= (x-2)(y+3). \end{align}\]
Así que, de hecho, esta ecuación es separable.
(e) Probemos a utilizar las propiedades de los logaritmos en este ejemplo. Si lo haces, \ (e^{y'} = x + y\) se convierte en
\[ \ln e^{y'} = \ln (x+y), \]
o lo que es lo mismo
\[ y' = \ln (x+y) .\]
No hay forma de escribir el lado derecho de esa ecuación como \(f(x)g(y)\) porque tienes el término \(x+y\) dentro del logaritmo. Por tanto, esta ecuación no es separable.
Ecuaciones diferenciales separables
Ecuacionesdiferenciales separables puede utilizarse para modelizar situaciones en diversas disciplinas. Una de estas aplicaciones es la mezcla de alguna solución en un tanque o recipiente con otra sustancia, como la sal. Una solución de cierta concentración entra en un tanque a una velocidad fija. La mezcla en el tanque se agita a fondo. Después, sale del tanque a una velocidad fija. El modelo de este problema da lugar a una ecuación diferencial separable.
Una aplicación real de un "problema de mezcla" es la inyección de un medicamento en el torrente sanguíneo. En este caso, el medicamento entra en el torrente sanguíneo a una velocidad fija. El medicamento se mezcla en el torrente sanguíneo y fluye por el cuerpo hacia el corazón. Una vez que el medicamento llega al corazón, éste bombea el medicamento del torrente sanguíneo al resto del cuerpo a una velocidad fija.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales separables
Como se ha mencionado al principio del artículo, los problemas de mezcla son una aplicación habitual de las ecuaciones diferenciales separables. Los problemas de mezcla pueden modelizar cualquier cosa, desde cómo la mezcla de diversas sustancias químicas y gases de efecto invernadero puede afectar a la atmósfera hasta cómo se elabora la cerveza.
Las ecuaciones diferenciales separables también pueden utilizarse en Economía. Podemos utilizar estas ecuaciones para medir las inversiones y cómo se componen los intereses.
LaLey del Enfriamiento de Newton es una de las formas más famosas en que se utilizan las ecuaciones separables. Puedes ver muchas más formas en que se utilizan las ecuaciones diferenciales separables en el artículo Aplicación de la separación de variables.
Resolución de ecuaciones diferenciales separables
Ahora que sabes qué es una ecuación diferencial separable y para qué se utilizan, veamos cómo resolverlas. Supongamos que tienes una ecuación diferencial separable con el siguiente aspecto
\[y'=f(x)g(y).\]
Hay que considerar dos casos.
Caso 1: Si \(g(y) = 0\) para algún valor de \(y\).
Supongamos que \(g(y ) = 0\). Entonces tienes \(y' = 0\).
Las funciones que te dan \(0\) cuando las diferencias son funciones constantes, por lo que \(g(y ) = 0\) corresponde a soluciones constantes de la ecuación diferencial separable.
De hecho, si \(y_1, y_2, \dots , y_n\) son todas raíces de la ecuación \(g(y) = 0\), entonces las soluciones constantes vienen dadas por \(y = y_1\), \(y= y_2\), \(\dots\), \(y = y_n\).
Siempre es buena idea buscar primero las soluciones constantes.
Veamos un ejemplo rápido.
Para la ecuación diferencial es \(y' = (x-2)(y+3) \), encuentra cualquier solución constante.
Contesta:
Las soluciones constantes se dan cuando \(g(y) = 0\). Para este problema, \(g(y) = y + 3\), y ésta es igual a cero cuando \(y = -3\). Por tanto, existe una solución constante, y es \(y=-3\).
Caso 2: Para cualquier valor cuando \(g (y) \ne 0\).
Como \(g(y) \ne 0\), puedes dividir por él, lo que te da la ecuación
\[ \frac{1}{g(y)}y' = f(x).\]
Si dejas que \(h(y) = 1/g(y)\), puedes reescribirla un poco como
\[ h(y) y' = f(x).\]
Ahora integremos ambos lados con respecto a \(x\), lo que nos da
\[ \int h(y) y'(x) \,\mathrm{d}x = \int f(x)\,\mathrm{d}x ,\]
donde se hace explícito que \(y\) es función de \(x\). Esto te lleva a la sustitución \(u\)
\[ \begin{align} &u = y(x) \ &\mathrm{d}u = y'(x) \mathrm{d}x . \fin \]
Así que la integral se convierte en
\[ \int h(u) \,\mathrm{d}u = \int f(x)\,\mathrm{d}x ,\[]].
y llegados a este punto, ¡esperemos que puedas integrar ambos lados y luego volver a sustituir para hallar la respuesta!
Veamos algunos ejemplos para ver cómo se hace.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales separables
Resuelve la ecuación diferencial
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3x^{2}}{\cos y}.\]
Respuesta:
¡Comprueba siempre primero que la ecuación es separable!
Para asegurarte de que la ecuación diferencial es separable, tienes que escribir la ecuación en la forma \(y'=f(x)g(y)\).
Si dejas que \(f(x)=3x^{2}\) y \(g(y)=1/ \cos y\), entonces puedes ver que la ecuación es, de hecho, separable.
Siempre es buena idea buscar los lugares donde \(g(y) = 0\), ya que corresponden a soluciones constantes. En este caso, \(g(y)\) nunca puede ser cero, aunque sí puede ser indefinido. Así que no habrá soluciones constantes, pero puede haber lugares en los que no exista la solución de la ecuación diferencial.
A continuación debes establecer la integral. Puesto que
\frac {{mathrm{d}}y} {{mathrm{d}x} = {\frac {3x^{2}} {\cos y},\frac {3x^{2}}
o
\¾[¾cos y ¾frac {mathrm{d}y} {mathrm{d}x} =3x^{2},¾]
podrías tener la tentación de "multiplicar en cruz por \(\mathrm{d}x \)" y luego integrar. En realidad no puedes hacerlo porque \(\mathrm{d}y/ \mathrm{d}x\) no es realmente una fracción. Pero lo realmente genial es que puedes fingir que lo haces, y eso hace que la integral
\[ \int \cos y \,\mathrm{d}y = \int 3x^2 \,\mathrm{d}x ,\]].
¡que es exactamente lo que habrías obtenido haciendo la sustitución \(u\)!
Entonces, integrando obtienes
\[ \sin y = x^3 + C.\]
Recuerda que esto se llama solución implícita, ya que no tienes \(y\) por sí mismo. Para obtener una solución explícita, puedes resolver para \(y\) y ver que
\[ y(x) = \arcsin(x^3 + C).\]
¿Y un intervalo de existencia? Al principio del problema, te diste cuenta de que cuando \(\cos y = 0\) habría problemas, y puedes ver en la forma explícita de la solución que hay un arcoseno en ella, que sólo está definido en el intervalo
\izquierda[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} derecha].\]
Así que ése es el intervalo máximo de existencia de la solución de la ecuación diferencial.
Veamos otro ejemplo.
Contesta:
Ya has comprobado en los ejemplos anteriores que se trata de una ecuación separable, y has encontrado que existe una solución constante \(y = -3\). Así que ahora vamos a encontrar el resto de soluciones.
Estableciendo la integral,
\[ \int \frac{1}{y+3}\, \mathrm{d}y = \int x-2 \,\mathrm{d}x .\]
Entonces, al integrar obtienes
\[ \ln|y+3| = \frac{1}{2}x^2 - 2x + C \]
como solución implícita. Antes de encontrar una solución explícita, fíjate en que necesitas \(y \ne -3\) para que esta solución sea válida, ¡ya que de lo contrario estarías intentando tomar el logaritmo de cero!
Pasamos a encontrar la solución explícita, utilizando las propiedades de los logaritmos,
\[ |y+3| = \exp \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x + C \right) \]
donde \( \exp\) es sólo una notación práctica para la función exponencial.
Ahora dejemos que \(A = e^C\), ya que no es más que otra constante. Entonces puedes escribir
\[ |y+3| = A\exp \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x \right),\].
pero para que sea una verdadera solución explícita tienes que terminar de resolver para \(y\). De hecho, esto corresponde a dos soluciones distintas,
\y =-3+ A\exp \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x \right),\].
y
\y =-3- Aexp \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x \right).\]
Puedes combinarlas en una sola utilizando el signo \(\pm\) para indicar que puede ser positiva o negativa, para obtener
\y =-3 \pm A\exp \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x \right).\]
Entonces, ¿la solución explícita también te da la solución constante, o hay que escribirla por separado? Observa que si \(A=0\), de hecho obtienes \(y=-3\), por lo que la solución explícita también abarca la solución constante. Eso significa que la solución de la ecuación diferencial es
\[ y =-3 \pm A\exp \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x \right).\].
Ecuaciones separables - Puntos clave
- Una ecuación separable es una ecuación que puede escribirse de la forma \(y'=f(x)g(y)\).
- Una ecuación diferencial separable puede separarse en una función de \(x\) multiplicada por una función de \(y\)
- El método para resolver ecuaciones diferenciales separables consiste en trasladar todas las variables \(x\) y \(y\) a sus respectivos lados de la ecuación e integrarlas.
- Las ecuaciones diferenciales separables tienen aplicaciones en finanzas, "problemas de mezcla", y se utilizan en la Ley de enfriamiento de Newton.
- Recuerda siempre comprobar las soluciones constantes y el intervalo de existencia de las soluciones de las ecuaciones diferenciales separables.
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