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Encontrar el límite de una función
La idea de que el límite de la función tenga el valor \(L\) en el punto \(x=a\) es que si otros valores \(x\) están cerca de \(a\), entonces los valores de la función en esos valores \(x\) están cerca de \(L\).
En otras palabras, alguien te entrega una función y un punto \(x=a\). Tienes que proponer un límite \(L\), luego te dan el \( \epsilon \) que te dice lo cerca de \(L\) que tienen que estar todos los valores de la función. Por último, te dan si puedes encontrar un \(\delta\) de modo que si tus valores \(x\) están dentro de la ventana \(\delta\) tienes garantizado que todos los valores de la función estarán dentro de su ventana \(\epsilon\) de \(L\). Veamos algunos ejemplos.
La función que te interesa aquí es \(f(x)=x,\) y el punto que te interesa es \(x=1\). Ya sabes que \(f(1)=1\), así que tu límite propuesto es \(L=1\). Se te da el valor de \(\epsilon\). Si dibujas en rosa las líneas de puntos que representan \(y=L+\epsilon\) y \(y=L-\epsilon\), obtendrás la ventana \(\epsilon\) alrededor del límite propuesto \(L\).
Fig. 1. Límite propuesto para \(f(x)=x\) .
Escogiendo un \(\delta\) suficientemente pequeño, puedes trazar las líneas de puntos que representan \(x=1-\delta\) y \(x=1+\delta\). Mientras el valor de \(x\) que observes esté entre esas dos líneas de puntos verticales (la ventana \(\delta\)), puedes garantizar que los valores de la función están dentro de la ventana \(\epsilon\). Eso significa que tu elección del límite fue la correcta.
¿Importa que haya un solo punto diferente?
Cambiando sólo un poco el ejemplo anterior, define la función por
\[f(x) =\left\lbrace \begin{align} x \quad x\neq 1 \q 0,6 \quad x=1 \end{align}\right. \]
Entonces, ¿cuál debería ser el límite que propones? ¿Debería ser \(L=1\) o \(L=0,6\)?
La pregunta que debes hacerte es si los valores de \(x\) están próximos a \(a=1\), ¿a qué están próximos los valores de la función? En este caso, los valores de la función están próximos a \(L=1\), por lo que ése es el límite propuesto. Como puedes ver, a excepción de ese único punto del gráfico \((1,0,6)\), todos los valores de la función están ciertamente dentro de la ventana \(\epsilon) siempre que los valores \(x\) estén dentro de la ventana \(\delta).
Fig. 2. Límite de una función con un punto desplazado.
Así que parece que el hecho de que el valor de la función sea diferente en un solo punto no debería influir en el valor del límite.
¿Importa que la función esté definida en el punto?
Cambiemos ligeramente el ejemplo anterior. En este caso la función es \(f(x)=x\) si \(x\neq 1\), y la función ni siquiera está definida para \(x=1\). Al igual que en los dos ejemplos anteriores, mientras los valores de \(x\) estén próximos a \(a=1\), los valores de la función estarán próximos al límite propuesto \(L=1\), por lo que parece que el límite de la función debe seguir siendo \(1\).
Fig. 3. Límite de una función con un agujero.
Definición del límite de una función
Así que cuando decidas la definición del límite, de los ejemplos anteriores se desprende que el valor de la función en \(x=a\) no debería importar. De hecho, utilizar \(0<x-a|<\delta\) excluye el punto \(x=a\), por lo que el límite está correctamente definido aunque la función tenga un agujero.
Sea \(f\) una función definida sobre el conjunto \(S\) excepto posiblemente el punto \(a\) en el interior de \(S\). Decimos que el límite a medida que \(x) se acerca a \(a) de \(f(x)\) es igual al número \(L) si para todo \(\epsilon >0\), existe un \(\delta >0\) tal que \(0<|x-a|<\delta\) implica \(|f(x)-L|<\epsilon).
La notación para el límite de una función suele ser
\[\lim\limits_{x\to a}f(x)=L.\]
Esto se lee como "el límite de la función a medida que \(x\) se acerca a \(a\) es igual a \(L\)".
En el caso de que no puedas encontrar un \(\delta\) que funcione en el punto \(a\) dirás que el límite no existe allí.
A continuación vamos a ver los pasos para aplicar la definición de límite a una función concreta utilizando una gráfica y una tabla.
Gráfica para hallar el límite de una función
Para este ejemplo, tomemos la función
\[f(x)=\frac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5),\]
y halla el límite como \(x\a3\).
Paso 1. Propón cuál debe ser el límite de la función. Para ello, grafica la función y haz una tabla de los valores de la función cerca de \(x=3\).
| \(x\) | \(f(x)\) |
| \(2.5\) | \(-3.28\) |
| \(2.55\) | \(-3.37\) |
| \(2.6\) | \(-3.46\) |
| \(2.65\) | \(-3.54\) |
| \(2.7\) | \(-3.62\) |
| \(2.75\) | \(-3.69\) |
| \(2.8\) | \(-3.76\) |
| \(2.85\) | \(-3.83\) |
| \(2.9\) | \(-3.89\) |
| \(2.95\) | \(-3.95\) |
| \(3.0\) | \(-4.0\) |
| \(3.05\) | \(-4.05\) |
| \(3.1\) | \(-4.09\) |
| \(3.15\) | \(-4.13\) |
| \(3.2\) | \(-4.16\) |
| \(3.25\) | \(-4.18\) |
| \(3.3\) | \(-4.22\) |
| \(3.35\) | \(-4.22\) |
| \(3.45\) | \(-3.46\) |
Tabla 1. Datos de la función \(\frac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5)\) en torno al punto \(x=3\).
Fig. 4. Gráfica y tabla de una función en torno a \(x=3\).
Propón el límite como \(x=3\). Observando la tabla y la gráfica anteriores, puedes ver que el valor de la función en \(x=3\) es \(-4\), y que mientras los valores de \(x\) estén cerca de \(3\), los valores de la función parecen estar cerca de \(-4\). Así que \(L=-4\) es un buen candidato para el límite.
Paso 2. Alguien te da un valor de \(\epsilon\), y tú necesitas encontrar el valor \(\delta\) correspondiente. Para ello, tendrás que encontrar el rango de valores de la función que estén próximos a tu límite propuesto \(L\). Como sólo te interesan los valores de \(x\) cercanos a \(3\) y los valores de la función cercanos a \(L\), traza las líneas de puntos correspondientes a \(y=L+\epsilon\) y \(y=L-\epsilon\).
| \(x\) | \(f(x)\) |
| \(2.5\) | \(-3.38\) |
| \(2.55\) | \(-3.37\) |
| \(2.6\) | \(-3.46\) |
| \(2.65\) | \(-3.54\) |
| \(2.7\) | \(-3.62\) |
| \(2.75\) | \(-3.69\) |
| \(2.8\) | \(-3.76\) |
| \(2.85\) | \(-3.83\) |
| \(2.9\) | \(-3.89\) |
| \(2.95\) | \(-3.95\) |
| \(3.0\) | \(-4\) |
| \(3.05\) | \(-4.05\) |
| \(3.1\) | \(-4.09\) |
| \(3.15\) | \(-4.13\) |
| \(3.2\) | \(-4.16\) |
| \(3.25\) | \(-4.18\) |
| \(3.3\) | \(-4.2\) |
| \(3.35\) | \(-4.22\) |
| \(3.4\) | \(-4.22\) |
| \(3.45\) | \(-3.46\) |
Tabla 2. Datos de la función \(\frac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5)\) en torno al punto \(x=3\).
Fig. 5. Gráfica y tabla de una función cerca de \(x=3\), tamaño mayor.
Paso 3. Ahora puedes ver que realmente quieres ampliar la gráfica para tener una mejor idea de lo que está ocurriendo. También puede ayudarte añadir una columna a tu tabla que muestre lo cerca que estás del límite propuesto.
| \(x\) | \(f(x)\) | \(|f(x)-L|) |
| \(2.8\) | \(-3.76\) | \(0.24\) |
| \(2.85\) | \(-3.38\) | \(0.17\) |
| \(2.9\) | \(-3.89\) | \(-0.11\) |
| \(2.95\) | \(-3.95\) | \(0.05\) |
| \(3\) | \(-4\) | \(0\) |
| \(3.05\) | \(-4.05\) | \(0.05\) |
| \(3.1\) | \(-4.09\) | \(0.09\) |
| \(3.15\) | \(-4.13\) | \(0.13\) |
| \(3.2\) | \(-4.16\) | \(0.16\) |
Tabla 3. Datos de la función \(\frac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5)\) junto al punto \(x=3\) en un intervalo menor.
Fig. 6. Amplía la gráfica del límite y la tabla de valores de la función.
Observando la tabla de valores, puedes ver que \(|f(x)-L||) es menor cuando estás a la derecha de \(a=3\) que si estás a la izquierda de \(a=3\). Así que puedes pensar en tener dos valores distintos de "lo cerca" que tienes que estar de \(a=3\) para estar en la ventana \(\epsilon\). Llama a esos dos valores diferentes \(\delta_1\) y \(\delta_2\), y grafica también esas líneas.
Fig. 6. Amplía el gráfico de límites y la tabla de valores de la función.
Fig. 7. Gráfica de la función mostrando las ventanas épsilon y delta.
Paso 4. Tienes dos candidatos distintos para lo que debe ser \(\delta\), ¿qué haces? Puesto que quieres ambos
\[0<|x-3|<\delta_1\texto {y} \cuadrado 0<|x-3|<\delta_2.\}].
Para que esto sea cierto, toma \(\delta\) para que sea menor que \(\delta_1\) y \(\delta_2\). Éste será el \(\delta\) que necesitas para terminar de demostrar que
\[\limits_{x\rightarrow 3} f(x)=-4.\]
Así pues, los pasos para demostrar que has encontrado el límite de una función utilizando la definición son,
Paso 1. Haz una propuesta de lo que crees que debe ser el límite, y llámalo \(L\).
Paso 2. Utilizando el valor de \(\epsilon\) que se te da, encuentra el rango de la función \(f(x)\) entre las rectas \(y=L+\epsilon\) y \(y=L-\epsilon\).
Paso 3. Encuentra valores de \(\delta\), o posiblemente dos valores distintos según la función, que garanticen que si estás dentro de esos valores \(\delta\) de \(x=a\) entonces los valores de la función están dentro de la ventana \(\epsilon\) de \(L\). Hazlo observando \(|f(x)-L||).
Paso 4. Toma el menor de los dos valores de \(\delta\) que hayas encontrado, y escribe la prueba de forma bonita.
Ejemplos del límite de una función
Veamos algunos ejemplos de aplicación de la definición para hallar el límite de una función.
Tomemos \(f(x)=k\) donde \(a\) y \(k\) son números reales constantes. Demuéstrase que f(x)=k].
Solución
En este ejemplo se te da el candidato a límite. Entonces, utilizando la definición, para cualquier \(|epsilon>0\) se te da,
\[|f(x)-k|=|k-k|=0<\epsilon.\]
De hecho, no importa qué \(\delta\) elijas, así que toma \(\delta>0\) como algún número fijo. Entonces
\[0<|x-a|<\delta\}]
implica definitivamente que
\[|f(x)-k|=|k-k|=0<\epsilon,\]
por lo que
|limites_de_x a a} f(x)=limites_de_x a a} k=k.|]
En general, ¡no podrás tomar \(\delta\) por lo que quieras! Suele depender de la función, del valor de \(a\) y del \(\epsilon\) en cuestión.
Tomemos \(f(x)=2x-3\), y dejemos \(a=7\). Demuestra que \[\limits_{x\\to 7}f(x)=11.\}
Solución
Paso 1.
Esto ya está hecho, puesto que tienes el candidato al límite que te han dado.
Paso 2.
Se te da un \(\epsilon>0\). Las dos rectas entre las que quieres que estén los valores de la función son
\[y=L-\epsilon=11-\epsilon\quad \text{and}\quad y=11+\epsilon.\]
Paso 3.
Mira \(|f(x)-L||). Así que
\[|f(x)-L|=|2x-3-11|=|2x-14|\]
Quieres encontrar un \(\delta>0\) de modo que si sabes que
\[0<|x-7|<\delta, \quad \text{entonces} \quad |2x-14|<\epsilon.\}]
Hagamos una pequeña factorización,
|2x-14|=2|x-7|.|]
Así que definitivamente quieres \(2|x-7|<\epsilon\), o si divides por 2, quieres
\[|x-7|<\frac{\epsilon}{2}.\]
¡Es muy útil! Significa que si tomas
\[\delta <\frac{\epsilon}{2},\]
entonces sabes que
\[0<|x-7|<\delta\}]
implica
\[|2x-14|=2|x-7|<2\delta<2\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\]
Paso 4.
Ahora sólo te queda escribir tu demostración de forma bonita. Será algo parecido a esto
Dado \(\epsilon>0,\\) toma \[0<\delta<\frac{\epsilon}{2}.\]
Entonces \(0<|x-7|<\\delta\) implica
\[|2x-14|=2|x-7|<2\delta<2\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.\]
Por lo tanto
|limita_{x\}a 7} f(x)=11. \]
Así que, como puedes ver, el valor de \(\delta\) en el ejemplo anterior sí dependía de \(a=7, f(7)\) y \(\epsilon.\)
Límites de una función - Puntos clave
- Sea \(f\) una función definida sobre el conjunto \(S\) excepto posiblemente el punto \(a\) en el interior de \(S\) . Decimos que el límite a medida que \(x) se aproxima a \(a) de \(f(x)\) es igual al número \(L\) si para todo \(\epsilon>0\), existe un \(\delta>0\) tal que \(0<|x-a|<\delta\) implica \(|f(x)-L|<\epsilon.\}.
- La notación para el límite de una función suele ser
\límite_de_x_a} f(x)=L.\}
Esto se lee como "el límite de la función a medida que \(x\) se acerca a \(a\) es igual a \ (L\)".
Encontrar un candidato para el límite de una función puede hacerse mediante una gráfica o una tabla.
Los pasos para demostrar que has encontrado el límite de una función utilizando la definición son,
Paso 1. Haz una propuesta de lo que crees que debería ser el límite, y llámalo \ (L\).
Paso 2. Utilizando el valor de \( \epsilon\ ) que te den, encuentra el rango de la función entre las rectas \(y=L+\epsilon\) y \ (y=L-\epsilon.\)
Paso 3. Encuentra valores de \( \delta\ ), o posiblemente dos valores distintos según la función, que garanticen que si estás dentro de esos valores \ (\delta\ ) de \(x=a\) entonces los valores de la función están dentro de la ventana \ (\epsilon\ ) de \ (L\). Hazlo mirando \ (|f(x)-L|.\)
Paso 4.Toma el menor de los dos valores de \(\delta\) que hayas encontrado, y escribe la prueba de forma bonita.
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