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La(s) variable(s) de una función algebraica puede(n) aparecer en el numerador, el denominador o bajo un símbolo de raíz, pero los exponentes de todas las variables de la función deben ser números racionales (fracciones o enteros).
Un problema en el que intervienen funciones algebraicas podría ser algo parecido a esto
Sabes que la edad de tu tío Juan es el doble de tu edad más cuatro años, y sabes que tu edad es 15 años. Puedes utilizar una función algebraica para calcular la edad de tu tío (x): \(x = 15 \cdot 2 +4 = 34\)
En este artículo definiremos qué son las funciones algebraicas, los distintos tipos de funciones algebraicas, cómo identificar funciones algebraicas y no algebraicas, abordaremos el cálculo diferencial de las funciones algebraicas y veremos algunos ejemplos.
- ¿Qué son las funciones algebraicas?
- Tipos de funciones algebraicas
- Funciones algebraicas frente a funciones no algebraicas
- Cálculo diferencial con funciones algebraicas
- Graficación de funciones algebraicas
- Problemas de ejemplo de funciones algebraicas
¿Qué son las funciones algebraicas?
Como aprendimos en nuestro artículo Funciones, hay muchas clases de funciones. Una de esas clases son las funciones algebraicas.
Una función algebraica es una función en la que sólo intervienen operaciones algebraicas: suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces.
Esta clase de funciones se generó cuando se incluyeron los cocientes y las potencias fraccionarias aparte de las funciones polinómicas. Si no fuera por estos complementos, ¡simplemente tendríamos funciones polinómicas! Estas adiciones a las funciones polinómicas dan lugar a los tipos de funciones algebraicas .
Tipos de funciones algebraicas
- Funciones polinómicas: Una función polinómica es una función que es una suma de términos, cada uno de los cuales es (una constante x una potencia entera no negativa de la variable). Las funciones polinómicas pueden expresarse de la forma \(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0\), dondean,an-1, ..., a2, a1, a0sonconstantes, y n es un número entero no negativo. Un ejemplo de función polinómica es \(f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x + 5\).
Observa que la constante puede ser un número negativo (por ejemplo -2), de modo que en lugar de una suma, el término parece una resta. Si la potencia de la variable fuera negativa, significaría que el término está en una fracción, y por tanto sería una función racional y no una función polinómica. Cuando un término variable (x) aparece sin constante, significa que la constante es en realidad el número 1 (\(x \cdot 1 = x\)). Si aparece una constante sola, significa que la potencia de la variable es 0 (\(a \cdot x^0 = a \cdot 1 = a\)).
- Funcionesracionales: Una función racional es un cociente de dos funciones polinómicas. Puede expresarse de la forma \(f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\), donde p(x) y q(x) son funciones polinómicas. La función es indefinida cuando q(x) = 0, ya que no se puede dividir por cero. Un ejemplo de función racional es \(f(x) = \frac{(x^2 - 1)}{(x + 2)} = (x^2-1)(x+2)^{-1}\).
- Funcionespotencia/raíz: Una función potencia es una función de la forma \(f(x) = kx^n\), donde k y n son constantes. Cuando n es una fracción, obtenemos una función raíz. Por ejemplo, si \(n = \frac{1}{2}}), obtenemos la función raíz cuadrada; si \(n = \frac{1}{3}}), obtenemos la función raíz cúbica, y así sucesivamente. Un ejemplo de función potencia es \(f(x) = 5x^3\). Un ejemplo de función raíz es \(f(x) = \sqrt x\) o \(f(x) = \sqrt[3]x\).
Una ecuación de la forma \(n^x\) NO es una función algebraica, ya que la variable (x) es el exponente en lugar de la base.
Ejemplos de funciones algebraicas
Basándonos en nuestra definición de función algebraica, vamos a enumerar algunos ejemplos de funciones algebraicas.
\[f(x)=3x+2\]
\[g(x)=x^2-2x-9\]
\[h(x)=cuadrado[3]{x}]
\[j(x)=\dfrac{x+2}{2x-3}\]
\[k(x)=4x^9-3x^4+x\}]
\[p(x)=x^4\]
De nuevo, ten en cuenta que las funciones algebraicas sólo incluyen las operaciones\(+,-,x,/\), exponentes enteros y exponentes racionales.
Funciones no algebraicas
Entonces, si una función algebraica sólo puede incluir las operaciones \(+, -, x, /\), exponentes (y raíces), ¿qué pasa con todas esas otras funciones que incluyen otros operadores, o tienen la variable en puntos distintos de los comentados? ¡Todas ellas son funciones no algebraicas!
Algunos ejemplos de funciones no algebraicas son:
Funciones trigonométricas, como \(f(x)=\sin(2x)\)
Funciones hiperbólicas, como : \(f(x)=\cosh(x)\)
Funciones exponenciales, como : \(f(x)=e^x\)
Funciones logarítmicas, como : \(f(x)=ln(x)\)
Funciones de valor absoluto, como : \(f(x)=|x|\)
Cálculo diferencial con funciones algebraicas
Cuando se trata de representar gráficamente funciones algebraicas, a veces necesitamos tomar Derivadas y Derivadas de orden superior para encontrar los puntos críticos y los puntos de inflexión de las gráficas de estas funciones.
Derivadas de funciones algebraicas - Puntos críticos
Si queremos encontrar los puntos críticos de la gráfica de una función algebraica, debemos saber cómo tomar la derivada de la función. Esto lo encontrarás en nuestro artículo sobre Derivadas.
¿Qué es un punto crítico?
Sea c un punto interior en el dominio de \(f(x)\). Decimos que \(x=c\) es un punto crítico de la función \(f(x)\) si
- \(f(x)\)existe y si
- \(f'(c)=0\) o bien
- \(f'(c)\) no existe
¡f(c) DEBE EXISTIR para que \(x=c\) sea un punto crítico!
Pero, ¿qué es exactamente un punto crítico?
Siempre que tenemos un punto crítico de una función, hay una tangente horizontal, una tangente vertical, un giro brusco o un cambio de concavidad en ese punto.
- Si el punto crítico es \(f'(c)=0\), tenemos una tangente horizontal en ese punto. Esto significa que
- La función tiene un punto máximo o mínimo en \( c \).
- Si tenemos \( f(x)=x^{2} \), entonces \( f'(0)=0 \) y \( x=0 \) es un punto crítico. En este punto crítico tenemos una tangente horizontal y un mínimo absoluto en \( x=0 \).
- La función tiene un punto máximo o mínimo en \( c \).
Fig. 2. Si tenemos \( f(x)=x^{2} \), entonces \( f'(0)=0 \) y \( x=0 \) es un punto crítico en rosa. En este punto crítico tenemos una tangente horizontal en verde y un mínimo absoluto en \( x=0 \).
- O la función tiene un punto de inflexión en \( c \).
- Si tenemos \( f(x)=x^{3} \), entonces \( f'(0)=0 \) y \( x=0 \) es un punto crítico. En este punto crítico tenemos una tangente horizontal y un cambio de concavidad, pero no un mínimo ni un máximo.
Fig. 3. Si tenemos \( f(x)=x^{3} \), entonces \( f'(0)=0 \) y \( x=0 \) es un punto crítico en rosa. En este punto crítico, tenemos una tangente horizontal en verde y un cambio en la concavidad, pero no un mínimo ni un máximo.
- Si el punto crítico es \(f'(c)=\nexists\) (\(\nexists\) significa que no existe), tenemos
- Una tangente vertical en elpunto \( c \).
- Si tenemos \( f(x)=x^{\frac{1}{3} \), entonces \( f'(0)=DNE \) y \( x=0 \) es un punto crítico. En este punto crítico tenemos una tangente vertical y un cambio de concavidad.
- Una tangente vertical en elpunto \( c \).
Fig. 4. Si tenemos \( f(x)=x^{\frac{1}{3} \), entonces \( f'(0)=DNE \) y \( x=0 \) es un punto crítico en rosa. En este punto crítico, tenemos una tangente vertical en verde y un cambio de concavidad.
- O un giro brusco en el punto \( c \).
- Si tenemos \( f(x)=cuadrado[3]{x^{2}} \), entonces \( f'(0)=DNE \) y \( x=0 \) es un punto crítico. En este punto crítico, tenemos un giro brusco y un cambio de concavidad.
Fig. 5. Si tenemos \( f(x)=\sqrt[3]{x^{2}} \), entonces \( f'(0)=DNE \) y \( x=0 \) es un punto crítico en rosa. En este punto crítico, tenemos un giro brusco y un cambio de concavidad.
Para encontrar un punto crítico de una función, seguimos estos pasos:
Halla la Derivada de la función.
Establece la derivada igual a 0.
Resuelve \(x\), si es posible.
Encuentra todos los valores de \(x\) (si los hay) en los que la derivada sea indefinida.
4. Todos los valores de \(x\)(si están dentro del dominio de la función original) hallados en los pasos 2 y 3 son las coordenadas \(x\)-de los puntos críticos.
Halla los valores \(y\)de los puntos críticos introduciendo los valores \(x\)en la función original y resolviendo para la coordenada \(y\).
Derivadas de orden superior de funciones algebraicas - Puntos de inflexión
Si queremos encontrar lospuntos de inflexión en la gráfica de una función algebraica, debemos saber cómo tomar la segunda derivada de la función. Esto lo encontrarás en nuestro artículo sobre Derivadas de orden superior.
¿Qué es un punto de inflexión?
Si \(f(x)\) es continua en \(a\) y \(f(x)\) cambia de concavidad en \(a\), entonces el punto \((a, f(a))\) es un punto de inflexión de \(f(x)\).
Pero, ¿qué es exactamente un punto de inflexión?
Dondequiera que tengamos un punto de inflexión en una función, es donde ésta cambia de
- Convexa a Cóncava, o
- Cóncava a Convexa
¿Y qué significan Cóncavo y Convexo? 1
Cóncava (también llamada Cóncava hacia arriba o Cóncava hacia abajo) es cuando la pendiente de una función es creciente.
Cóncava (también llamada Cóncava hacia abajo o Convexa hacia arriba) es cuando la pendiente de una función es decreciente.
Ten en cuenta que los exámenes de Cálculo AP (y probablemente tu profesor de Cálculo AP) utilizan los términos Cóncavo Hacia Arriba y Cóncavo Hacia Abajo.
Fig. 6. La diferencia entre cóncavo hacia arriba, en azul, y cóncavo hacia abajo, en verde.
Entonces, ¿cómo averiguamos dónde cambia la concavidad de una función?
Hallamos la segunda derivada de la función.
Si la segunda derivada de una función es positiva, entonces es Convexa.
Si la segunda derivada de una función es negativa, entonces es Cóncava.
Gráficas de funciones algebraicas
Las gráficas de todos estos tipos de funciones algebraicas varían mucho entre sí. Sin embargo, el procedimiento general para representar gráficamente una función algebraica es el siguiente:
Calcula las intersecciones x fijando y resolviendo \(x\).
Calcula las intersecciones y fijando y resolviendo \(y\).
Busca y representa las asíntotas.
Busca y representa los puntos críticos.
Busca y traza los puntos de inflexión.
Calcula algunos puntos adicionales a lo largo de la curva hasta que tengas una buena idea del aspecto de la curva.
Traza todos estos puntos y dibuja la curva que los une.
Grafica la función:
\[f(x)=\dfrac{1}{x}\]
Solución:
Calcula los intersticios de x fijando \(y=0\) y resolviendo para \(x\).
\(f(x)=y=\dfrac{1}{x} \) puede sustituirse por \(y\).
\(0=\dfrac{1}{x}\) establece \(y=0\) y multiplica cruzadamente para resolver \(x\).
\ No hay intersecciones \(x).
Calcula los intersticios \(y) fijando \(x=0) y resolviendo \(y).
\(f(x)=y=\dfrac{1}{x}=f(x)\) puede sustituirse por \(y\).
\(y=\dfrac{1}{0}) establece \(x=0\) y resuelve para \(y\).
\(y \neq \dfrac{1}{0}=\infty\) ¡no puedes dividir por \(0\)! No hay intersecciones \(y).
Encuentra y traza las asíntotas.
Como la expresión \(dfrac{1}{x} \flecha derecha 0\) es \(\flecha derecha \pm \infty\), hay una asíntota horizontal en la recta \(y=0\) (el eje \(x\)).
Como la expresión \(dfrac{1}{x} \rightarrow \pm \infty \) es \(x \rightarrow 0\), existe una asíntota vertical en la recta \(x=0\) (el eje \(y)).
Encuentra y traza los puntos críticos.
Encuentra la derivada de la función (consulta nuestro artículo sobre Derivadas para más información):
\(\dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{x^2}\)
Establece la derivada igual a \(0\), y resuelve para \(x\).
\(0=-\dfrac{1}{x^2}\)
\(0 \neq -1\) aunque el punto donde \(x=0\) es un posible candidato a punto crítico porque \(f'(0)=\nexists\), no hay puntos críticos porque antes hemos demostrado que \(f(0)\) no existe.
Encuentra y traza cualquier punto de inflexión.
Encuentra la segunda derivada de la función (consulta nuestro artículo sobre Derivadas de orden superior para más información):
\(\dfrac{d^2}{dx^2}\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x^3}\)
Establece la segunda derivada igual a \(0\), y resuelve para \(x\).
\(0=\dfrac{2}{x^3}\)
\(0 \neq 2\)la segunda derivada nunca es 0, y es indefinida cuando \(x=0\). No hay puntos de inflexión porque la función original no está definida en \(0\).
Calcula algunos puntos más a lo largo de la curva hasta que tengas una buena idea del aspecto de la curva.
\(x\) \(1/x\) \(-4\) \(-1/4\) \(-3\) \(-1/3\) \(-2\) \(-1/2\) \(-1\) \(-1\) \(0\) indefinido \(1\) \(1\) \(2\) \(1/2\) \(3\) \(1/3\) \(4\) \(1/4\)
Traza todos estos puntos y dibuja la curva que los une.
Fig. 7. Puntos trazados.
Hallar el dominio y el rango de las funciones algebraicas
Encontrar el dominio y el rango de las funciones algebraicas depende del tipo de función algebraica que estemos considerando.
Para las funciones polinómicas
El dominio de todas las funciones polinómicas son todos los números reales: \(-\infty, \infty\).
El dominio de las funciones polinómicas depende tanto del orden del polinomio como de los valores \(y\)-de la gráfica.
Si el orden del polinomio es impar, el rango es siempre \(-\infty, \infty\).
Si el orden del polinomio es par, el intervalo depende del valor o valores mínimo y/o máximo de \(y\).
Halla el dominio y el rango de la función:
\[f(x)=x^2+4\]
Solución:
Como se trata de una función polinómica:
- El dominio son todos los números reales: \(-\infty, \infty\).
Para hallar el rango, reconocemos que se trata de la ecuación de una parábola. Podemos reescribir la ecuación en forma de vértice como
\[y=a(x-h)^2+k\]
\[y=(x-0)^2+4\]
Donde
- \(a\) es el coeficiente principal
- \((h, k)\) es el vértice de la parábola
Como el coeficiente principal es positivo, sabemos que la parábola se abre hacia arriba. Esto significa que el vértice es el punto más bajo de la parábola.
Por tanto, el rango es \([4, \infty)\).
Podemos representar gráficamente la función para comprobar nuestro trabajo:
Fig. 8. Gráfica de una función polinómica.
Para funciones racionales:
Encontrar el dominio de las funciones racionales requiere que sigamos la regla de que el denominador no puede ser igual a \(0\).
Para hallar el rango de las funciones racionales debemos:
En primer lugar, resolver la función para \(x\)
Luego, aplicar la regla de que el denominador no puede ser igual a \(0\).
Observa que si los polinomios de la función racional tienen órdenes superiores a \(2\), este proceso se complica rápidamente. Para encontrar el rango de funciones racionales cuyos órdenes sean \(3\) o superiores, necesitaríamos más análisis diferencial.
Halla el dominio y el rango de la función:
\[f(x)=\dfrac{3x-1}{5x+2}\]
Solución:
Como se trata de una función racional, debemos seguir la regla de que el denominador no puede ser igual a \(0\). Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto en los que el denominador es igual a \(0\).
- Dominio: \((-\infty, -2/5) \cup (-2/5, \infty)\).
Para hallar el rango, tenemos que encontrar los valores de \(y\) para los que existe un número real de \(x\) tal que
\[y=\dfrac{3x-1}{5x+2}\]
- Multiplica ambos lados de la ecuación por \(5x+2\).
- \(5x+2y=3x-1\)
- Mueve todos los términos con una x a la derecha del signo igual. Mueve todos los términos sin x a la izquierda del signo igual.
- \(2y+1=3x-5xy\)
- Factoriza la x del lado derecho de la ecuación.
- \(2y+1=x(3-5y)\)
- Resuelve para \(x\).
- \(x=\dfrac{2y+1}{3-5y}\)
- Si \(y=3/5\), la ecuación no tiene solución porque eso haría que el denominador fuera igual a \(0\). Por tanto, el rango es
- Rango: \(\left( -\infty, \dfrac{3}{5}\right) \cup \left( \dfrac{3}{5}, \infty \right) \).
Podemos representar gráficamente la función para comprobar nuestro trabajo:
Fig. 9. Gráfica de una función racional.
Para funciones de potencia/raíz:
Tanto el dominio como el rango de las funciones potencia y raíz dependen del exponente. Debemos analizar cada función caso por caso, ya que el dominio y el rango de estas funciones son bastante "sensibles" a los cambios de exponente.
Encuentra el dominio y el rango de la función:
\[f(x)=\sqrt{4-x^2}\]
Solución:
Hallar el dominio:
- Como se trata de una función de raíz cuadrada, tenemos que mantener lo que hay dentro del radical mayor o igual que 0.
- Por tanto, \(4-x^2 \geq 0\).
- Factoriza lo que está debajo del radical.
- \(4-x^2=(2-x)(2+x) \geq 0\) esta desigualdad sólo se cumple si ambos términos son positivos o ambos términos son negativos.
- Si ambos términos son positivos
- \(2-x \geq 0\) y \(2+x \geq 0\)
- \(2 = x) y (x = -2)
- Por tanto, \([-2, 2]\) debe formar parte del dominio.
- Para ambos términos negativos
- \(2-x \leq 0\) y \(2+x \geq 0\)
- \(2 leq x\) y \(x \geq -2\)
- No hay valores de \(x\) que puedan satisfacer ambas desigualdades.
- Si ambos términos son positivos
- \(4-x^2=(2-x)(2+x) \geq 0\) esta desigualdad sólo se cumple si ambos términos son positivos o ambos términos son negativos.
- Dominio: \([-2,2] en la flecha -2 en la flecha x en la flecha 2)
Para hallar el rango:
- Utilizamos el dominio para hallar el rango:
- Si el dominio es \(-2 \leq x \leq 2\), entonces \(0 \leq 4-x^2 \leq 4 \).
- Por tanto, \(0 \leq \sqrt{4-x^2} \leq 2\).
- Rango: \([0, 2]).
Podemos representar gráficamente la función para comprobar nuestro trabajo:
Fig. 10. Gráfica de una función raíz.
Funciones algebraicas Problemas de ejemplo
¿Cuáles de las siguientes son funciones algebraicas?
\[1.- f(x)=\sin(x)\]
\[2.- f(x)=x^2-x\]
\[3.- f(x)=ln(x)\]
\[4.- f(x)=|x-2|\]
\[5.- f(x)=x+9\]
\[6.- f(x)=\dfrac{1}{x-5}}]
\[7.- f(x)=x^{dfrac{2}{5}}]
\[8.- f(x)=tanh(x)\]
\[9.- f(x)=e^x\]
\[10.- f(x)=x^4-2x-6]
\[11.- f(x)=\dfrac{2x^5-6x}{x^3}\]
Solución:
- NO es una función algebraica.
- Esto es una función algebraica.
- NO es una función algebraica.
- NO es una función algebraica.
- Esto es una función algebraica.
- Esto es una función algebraica.
- Esto es una función algebraica.
- Esto es una función algebraica.
- Esto NO es una función algebraica.
- Esto NO es una función algebraica.
- Esto es una función algebraica.
Halla el dominio de cada una de las siguientes:
\[f(x)=\dfrac{3}{x^2-1}\]
\[f(x)=\dfrac{2x+5}{3x^2+4}\]
\f(x)=cuadrado{4-3x}]
\[f(x)=\sqrt[3]{2x-1}\]
Solución:
- No podemos dividir por \(0\), así que el dominio es el conjunto de valores de \(x\) tales que \(x^2-1 \neq 0\).
- Dominio: \((-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty) \cup).
- De nuevo, no podemos dividir por \(0\), así que tenemos que determinar los valores de x en los que el denominador es \(0\).
- \(3x^2+4>0\) para todos los números reales de \(x\).
- Dominio: \(-\infty, \infty \)
- \(3x^2+4>0\) para todos los números reales de \(x\).
- Como la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, debemos determinar los valores de \(x\) que satisfacen \(4-3x \geq 0\) .
- \(3x \leq 4\)
- \(x \leq \dfrac{4}{3}\)
- Dominio: \(-infty, 4/3)
- Aquí, la raíz cúbica se define para todos los números reales.
- Dominio: \(-\infty, \infty\\)
Funciones algebraicas - Puntos clave
- Las funciones algebraicas sólo incluyen las operaciones algebraicas:
- Suma: \(+\)
- Resta: \(-\)
- Multiplicación: \(x\)
- División: \(/\)
- Potencias (o exponentes): \(x^c\), donde \(c\) es cualquier número real
- Raíces: \((\sqrt[n]{x})^m=x^{m/n}\), donde \(m\) es cualquier número real y \(n\) es un número entero positivo mayor que \(1\).
- Los tipos de funciones algebraicas son:
- Funciones polinómicas
- Funciones racionales
- Funciones potencia/raíz
- Cualquier función que contenga funciones trigonométricas, funciones hiperbólicas, logaritmos, variables en la potencia (o exponente) o un valor absoluto no es una función algebraica.
- Lectura relacionada:
- Funciones
- Funciones polinómicas
- Derivadas
- Derivadas de orden superior
Referencias
- https://math.stackexchange.com/questions/2364116/how-to-remember-which-function-is-concave-and-which-one-is-convex/2364123#2364123
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