Sólido de Revolución

Definición de sólido de revolución

Como ya hemos dicho, girando una curva alrededor de una línea fija y rellenándola, obtienes un sólido. Como este sólido se obtiene mediante una revolución, se llama sólido de revolución.

Un sólido de revolución debe visualizarse en el espacio tridimensional, ya que requiere tener volumen. Empieza con una función \(f(x)\) sobre un intervalo \([a, b].\)

Figura 1. Una función \( y=f(x) \) representada gráficamente en el plano \(xy-\)*.

A continuación, gira la curva alrededor de un eje determinado. Este eje puede ser cualquiera, pero normalmente, en Cálculo se elige el eje \(x-\). ¡Tienes que imaginarte que la curva se sale de la pantalla!

Figura 2. La función se ha girado a lo largo del eje \(x-\)-.

Haciendo esto, obtienes lo que se conoce como superficie de revolución.

Figura 3. La superficie de revolución obtenida de la rotación \(f(x)\) a lo largo del eje \(x-\)

Por último, obtienes el sólido rellenando lo que hay dentro de la superficie de revolución. El resultado es una región tridimensional.

Figura 4. El sólido de revolución obtenido a partir de la rotación \(f(x)\) a lo largo del eje \(x-\)

Cualquier otra línea recta puede utilizarse como eje de revolución. Por ejemplo, puedes utilizar el eje \(y-\), la recta \( x=2,\) o incluso una función lineal, como \(y=x.\) ¡Hay montones de posibilidades!

Volumen de un Sólido de Revolución

Puedes formar dos tipos de sólidos de revolución girando una curva alrededor de un eje: discos y arandelas. Aquí veremos uno por uno.

El método del disco

El método del disco se utiliza cuando el eje de revolución es un límite del sólido de revolución.

El método del disco divide el sólido de revolución en una serie de cilindros aplanados o discos, de ahí el nombre del método. Para hallar el volumen de todo el sólido, se suma el volumen de cada disco.

Figura 5. Disco obtenido al rotar un segmento de una función cuya frontera incluye el eje de rotación

Para obtener el volumen exacto, tienes que dividir el sólido en infinitos discos. Para más información sobre este método, consulta nuestro artículo sobre el Método de los Discos.

El método de la arandela

Cuando el eje de revolución no es un límite para el sólido de revolución, se utiliza el método de la arandela.

En esencia, el método de la arandela trocea el sólido de revolución en una serie de arandelas donut aplanadas. Una arandela es esencialmente un disco con un agujero en el centro o un disco dentro de otro disco.

El volumen de cada arandela puede hallarse restando el volumen del disco interior del volumen del disco exterior. Luego, para hallar el volumen de todo el sólido, se suma el volumen de cada arandela.

Figura 6. Arandela obtenida por rotación de una función cuyo límite no incluye el eje de rotación

Para obtener la medida de volumen más exacta, debemos trocear el sólido en infinitas arandelas aplanadas. ¿Necesitas más información sobre este método? Consulta nuestro artículo sobre el Método de las Arandelas.

Área de un sólido de revolución

Una superficie de revolución es un poco diferente. Como su nombre indica, es algo así como una lámina delgada o una piel.

Esencialmente, puedes encontrar una superficie de revolución girando una curva alrededor de un eje, igual que un sólido de revolución. Sin embargo, esta figura no está rellena, ¡es un objeto matemático completamente hueco!

Figura 7. Una superficie de revolución es completamente hueca

Observa que, a pesar de que pueda parecer una arandela, la superficie de revolución es completamente hueca. Esto significa que una superficie de revolución no tiene espesor, ¡por lo que no tiene volumen en absoluto! Un sólido obtenido mediante el método de la arandela sí tiene espesor, por lo que también tiene volumen.

Centroide de un sólido de revolución

Al estudiar los sólidos de revolución es posible que te encuentres con el término centroide. Esto se debe principalmente a que la fórmula para hallar el volumen de un sólido de revolución es muy similar a la fórmula para hallar el centroide de una placa delgada, o lámina.

Consulta nuestro artículo sobre Densidad y centro de masa para obtener más información sobre este tema.

Aunque es posible hallar el centroide de un sólido de revolución, el cálculo es mucho más complejo y queda fuera del alcance de este artículo.

Fórmula del volumen de un sólido de revolución

Para hallar el volumen de un sólido de revolución, necesitas saber primero si se obtiene por el método del disco o por el método de la arandela.

En el caso del método del disco, la sección transversal de un disco es un círculo con un área de \(\pi r^{2}\). Si el eje de rotación es el eje \( x-\)entonces el radio de cada disco viene dado por la función, es decir

\[ r=f(x).\]

Para sumar todos los discos hay que integrar, por lo que la fórmula de un sólido de revolución obtenida por el método de los discos es

\[ \begin{align} V &= \int_a^b \pi \left(f(x)\right)^2,\mathrm{d}x \end{align}\]

Si en cambio tu sólido de revolución se obtiene por el método de la arandela, tienes que eliminar el área de la función interior, por lo que la fórmula es

\[ \inicio{align} V &= \int_a^b \pi \left( f(x) \right)^2,\mathrm{d}x - \int_a^b \pi \left( g(x) \right)^2 \, \mathrm{d}x \ &= \pi \int_a^b \left( \left( f(x) \right) ^2 - \left( g(x) \right)^2 \right) \pi, \mathrm{d}x. \fin]]

Ejemplos de sólidos de revolución

Aquí puedes echar un vistazo a algunos sólidos de revolución que pueden obtenerse por diferentes métodos y con diferentes ejes de rotación. Para obtener información sobre cómo calcular los volúmenes de estos sólidos de revolución, consulta nuestros artículos sobre el Método del Disco y el Método de la Arandela.

Ejemplo del método del disco

Ejemplo del método de la arandela