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Ahora piensa en el pollo como una función, mi cena sería su derivado. ¿Qué puede ser el agua en mi situación anterior? Cualquier cosa que facilite la diferenciación, ¡pero que no esté presente en el resultado final! En este artículo explorarás cómo utilizar logaritmos para hallar derivadas.
Regla de la diferenciación logarítmica
Los logaritmos tienen propiedades únicas como la Propiedad del Producto de los Logaritmos y la Propiedad de la Potencia de los Logaritmos, por nombrar algunas. Estas propiedades pueden utilizarse para hallar la derivada de funciones más complejas. Para ello se utiliza la Diferenciación Logarítmica , que es más un método que una regla.
La DiferenciaciónLogarítmica es un método que halla la derivada del logaritmo de la función en lugar de la función original.
Pero, ¿por qué necesitas utilizar la diferenciación logarítmica? Para aprovechar las propiedades de los logaritmos, ¡por supuesto!
Las propiedades de los logaritmos como puente hacia operaciones más sencillas.
Es hora de echar un vistazo a los pasos para hacer la Diferenciación Logarítmica.
Pasos de la Diferenciación Logarítmica
El método de la Diferenciación Logarítmica puede resumirse en los siguientes pasos:
Toma el logaritmo natural de la función original.
Utiliza cualquier propiedad relevante de los logaritmos, como la Propiedad Potencia de los Logaritmos o la Propiedad Producto de los Logaritmos. El objetivo de este paso es simplificar la función.
Utiliza la Regla de la Cadena y la regla de diferenciación del logaritmo natural para diferenciar cada expresión.
Multiplica la expresión resultante por la función original. El resultado es la derivada de la función original.
En el segundo paso es donde puedes aprovechar la diferenciación logarítmica. Las propiedades de los logaritmos te ayudarán a simplificar las operaciones necesarias.
Estos pasos se comprenden mejor con ejemplos. ¡Vamos a profundizar!
Ejemplos de diferenciación logarítmica
Puedes utilizar la Diferenciación Logarítmica en una gran variedad de situaciones. Las propiedades de los logaritmos pueden ayudarte a simplificar el proceso de hallar la derivada de una función. Se pueden clasificar según la propiedad de los logaritmos que se utilice para simplificar las expresiones.
Halla la derivada de la función
\[ f(x)=x^8 e^x.\]
Respuesta:
Antes de empezar, ten en cuenta que también puedes utilizar la regla del producto para hallar la derivada de esta función. Este ejemplo ilustra cómo utilizar la diferenciación logarítmica para obtener la misma respuesta.
1. Toma el logaritmo natural de la función original.
Empieza por tomar el logaritmo natural de la función, así
\[ \ln{f(x)}=\ln{left( x^8 e^x \right)}.\]
2. Utiliza cualquier propiedad relevante de los logaritmos. En este caso, la propiedad producto de los logaritmos y la propiedad potencia de los logaritmos.
Como el lado derecho de la ecuación es el logaritmo de un producto, se puede escribir como la suma de logaritmos, es decir
\[ \ln{f(x)}= \ln{x^8} + \ln{e^x}.\]
Además, puedes utilizar la propiedad de potencia de los logaritmos para escribir cada exponente como un factor, obteniendo
\[ \begin{align} \ln{f(x)} &= 8\ln{x} +&= 8ln{x}+x, fin].
donde también has utilizado el hecho de que \(\ln{e}=1,\)
3. Diferenciacada expresión.
A continuación, tienes que diferenciar ambos lados de la expresión anterior con ayuda de la regla de la cadena, la regla de la potencia y la regla de diferenciación del logaritmo natural,
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x}=\frac{1}{x},\]
obteniendo
\[ \begin{align} \left( \frac{1}{f(x)} \right) \left( f'(x) \right) &= \frac{8}{x}+1 \frac{f'(x)}{f(x)} &= \frac{8}{x}+1. \end{align}\]
4. Multiplica la expresión resultante por la función original.
Por último, aísla la derivada multiplicando ambos lados de la expresión anterior por la función original, \( f(x)=x^8 e^x,\) y simplifica, es decir
\f'(x) &= f(x)\left( \frac{8}{x}+1 \right) \[0,5em] &= x^8e^xleft( \frac{8}{x}+1 \right) \[0.5em] &= e^x\left( \frac{8x^8}{x} +x^8 \right) \[0.5em] &= e^x(8x^7+x^8). \fin{align} \]
Observa que esto es exactamente lo que esperabas obtener.
¿Y la propiedad de cociente de los logaritmos?
Halla la derivada de
\[g(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x^2}.\]
Respuesta:
En lugar de utilizar la Regla del Cociente (que a veces es difícil de recordar), ¡puedes utilizar la Diferenciación Logarítmica!
1. Toma el logaritmo natural de la función original.
Este paso es bastante sencillo, al hacerlo obtienes
\[\ln{g(x)} = \ln{left( \frac{sqrt{x+1}}{x^2} \right)}].
2. Utiliza cualquier propiedad relevante de los logaritmos. En este caso, utiliza la propiedad de cociente de los logaritmos y la propiedad de potencia de los logaritmos.
El logaritmo del cociente puede escribirse como una diferencia de logaritmos, es decir
\[ \ln{g(x)} = \ln{sqrt{x+1}}-\ln{x^2}. \]
Además, puedes escribir las potencias (recuerda que una raíz cuadrada es una potencia de \( ^1/_2 \) ) como factores utilizando la propiedad de potencia de los logaritmos, de modo que
\[ \ln{g(x)} = \frac{1}{2}\ln{izquierda(x+1\derecha)}-2\ln{x}.\]
3.Diferencia cada expresión.
Esta vez diferenciando ambos lados de la expresión anterior obtienes
\[ \begin{align} \frac{g'(x)}{g(x)} &= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x+1}-2\cdot\frac{1}{x} \\ &= \frac{1}{2}{cdot \frac{1}{x+1} -\frac{2}{x}, \end{align} \]
que puede simplificarse añadiendo las expresiones racionales
\frac{g'(x)}{g(x)}= \frac{-3x-4}{2x(x+1)}. \f]
4. Multiplica la expresión resultante por la función original.
Aísla la derivada multiplicando ambos lados de la expresión anterior por \( g(x) \) y simplifica, es decir
\[ \begin{align} g'(x) &= \left( g(x)\right) \left(\frac{-3x-4}{2x(x+1)}\right) \[0.5em] &= \left( \frac{cuadrado{de{x+1}}{x^2} \right) \left( \frac{-3x-4}{2x(x+1)}\right) \[0.5em] &= \frac{-3x-4}{2x^3{cuadrado{de{x+1}}. \end{align}\]
La Diferenciación Logarítmica puede utilizarse para hallar la derivada de una función muy peculiar.
Halla la derivada de
\[h(x)=x^x.\]
Responde:
Aquí tienes \(x\) elevado a la potencia de \(x.\) Identificas una función exponencial cuando la variable es la potencia y no la base, y la Regla de la Potencia sólo se aplica si la variable no está en el exponente. En este caso, ¡la variable es tanto la base como la potencia! ¿Qué hay que hacer? Por supuesto, ¡diferenciación logarítmica!
1. Toma el logaritmo natural de la función original.
Como de costumbre, empieza por tomar el logaritmo natural de la función, es decir
\[ \ln{h(x)} = \ln{x^x}.\]
2. Utiliza cualquier propiedad relevante de los logaritmos. En este caso, utiliza la propiedad de potencia de los logaritmos.
Ahora puedes reescribir la potencia como un factor utilizando la propiedad de potencia de los logaritmos, lo que te da
\[ \ln{h(x)} = (x)(\ln{x}). \]
3.Diferencia cada expresión.
El lado derecho de la expresión anterior es un producto de funciones, por lo que se puede diferenciar con la regla del producto, de modo que
\[\begin{align} \frac{h'(x)}{h(x)} &= \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x \right)\ln{x} + x\left(\frac{mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x}\right) \ &= (1)(\ln{x}) + x\left( \frac{1}{x}\right) \\ &= \ln{x}+1. \fin].
4. Multiplica la expresión resultante por la función original.
Por último, aísla la derivada multiplicando ambos lados de la expresión anterior por \( h(x) \)
\[ \begin{align} h'(x) &= \left( h(x) \right) \left( \ln{x}+1 \right) \\t(x^x \right) \left( \ln{x}+1 \right) \fin \]
Como puedes ver, la diferenciación logarítmica es muy útil para evitar trabajar con expresiones mayores o para hallar las derivadas de funciones que no pueden trabajarse mediante técnicas de diferenciación estándar.
Utilizar la diferenciación logarítmica para obtener fórmulas
La diferenciación logarítmica también puede utilizarse para demostrar algunas reglas de diferenciación, como la Regla del Producto y la Regla del Cociente. ¡Vamos a sumergirnos en su demostración utilizando la Diferenciación Logarítmica!
Puedes demostrar la Regla del Producto utilizando la Diferenciación Logarítmica. Considera la función
\f(x)=g(x)h(x).
Como de costumbre, empieza por tomar el logaritmo natural de ambos lados de la regla de la función
\[ \ln{f(x)} = \ln{left( g(x)h(x) \right)}, \]
que puedes reescribir utilizando la propiedad de potencia de los logaritmos en el lado derecho, de modo que
\[ \ln{f(x)} = \ln{g(x)} + \ln{h(x)}. \]
Ahora puedes diferenciar ambos lados de la ecuación utilizando la regla de la cadena, es decir
\[ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)}. \]
Por último, multiplica la ecuación por \( f(x) \)
\[ \begin{align} f'(x) &= f(x)\left( \frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)} \right) &= g(x)h(x)\frac{g'(x)}{g(x)} + g(x)h(x)\frac{h'(x)}{h(x)} &= h(x)g'(x)+g(x)h'(x). \fin{align} \]
¡La expresión anterior es la Regla del Producto que todos conocemos! Puedes intentar demostrar la Regla del Cociente utilizando un procedimiento similar al anterior.
¿Para qué cálculos debes utilizar la Diferenciación Logarítmica?
Como el objetivo de utilizar la Diferenciación Logarítmica es simplificar el proceso de hallar la derivada de una función, sólo debes utilizarla cuando la derivada sea más fácil de hallar. También puede utilizarse cuando la derivada de una función no puede hallarse con las técnicas de diferenciación estándar, como en \(f(x)=x^x.\)
Siempre que puedas utilizar la Regla del Producto o la Regla del Cociente, también puedes utilizar la Diferenciación Logarítmica. Aunque la Regla del Producto puede ser más fácil de trabajar, a veces puedes olvidar cuál es el término negativo de la Regla del Cociente.
Hay un error común al utilizar la Regla del Cociente y es confundir los signos.
|frac{f(x)}{g(x)} \neq \frac{f(x)g'(x)-g(x)f'(x)}{left( g(x) \right)^2}].
Puedes evitar este error utilizando la Diferenciación Logarítmica, ya que es más fácil recordar que el término negativo es el del denominador.
\[ \ln{izquierda(\frac{f(x)}{g(x)} \derecha)} = \ln{f(x)}-\ln{g(x)}.\]
A partir de aquí, puedes continuar el proceso de Diferenciación Logarítmica para hallar la derivada de la función.
|frac{f(x)}{g(x)} = \frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{left( g(x) \right)^2}. \]
Diferenciación logarítmica - Puntos clave
- La Diferenciación Logarítmica es un método utilizado para hallar derivadas utilizando las propiedades de los logaritmos.
- Los pasos que se siguen para la Diferenciación Logarítmica son los siguientes:
- Toma el logaritmo natural de la función original.
- Utiliza las propiedades relevantes de los logaritmos para simplificar la función.
- Utiliza la regla de la cadena y la regla de diferenciación del logaritmo natural para diferenciar la expresión.
- Multiplica la expresión resultante por la función original.
- Las siguientes propiedades de los logaritmos pueden utilizarse a tu favor al simplificar expresiones:
- Propiedad de producto de los logaritmos.
- Propiedad de cociente de los logaritmos.
- Propiedad de potencia de los logaritmos.
- La Diferenciación Logarítmica debe utilizarse cuando la derivada sea más fácil de hallar. No tiene sentido utilizar la Diferenciación Logarítmica para hallar la derivada de \(f(x)=x^n.\)
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