Serie geométrica

Fórmula de una serie geométrica

Resulta útil observar la notación de la suma de una serie geométrica. La serie geométrica hecha a partir de una sucesión geométrica tiene el aspecto siguiente

$\sum _{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}$

donde $a$ y id="5135499" role="math" $r\ne 0$ son números reales constantes. Igual que en una sucesión geométrica $r$ se llama razón común.

Sumas parciales de una serie geométrica

Si pides un préstamo, ¡seguro que no quieres hacer infinitos pagos! Por eso puede ser útil disponer de una fórmula para las sumas parciales de una serie geométrica. La ^enésima suma parcial es

$s_n=a+\hspace{0.17em}ar+a{r}^2+\dots +a{r}^{n-1}$.

Observa que se trata esencialmente de un polinomio de (n-1)^º grado, donde $r$ es la variable.

¿Qué ocurre si multiplicas ambos lados por $r$? Entonces obtienes

$r{s}_n=ar+\hspace{0.17em}a{r}^2+a{r}^3+\dots +a{r}^n$.

Así que si restas las dos ecuaciones, obtienes

$\begin{array}{ccc}{s}_n-r{s}_n& =& \left(a+r+r^2+\dots +\hspace{0.17em}a{r}^{n-1}\right)-\left(ar+a{r}^2+\dots +a{r}^n\right)\\ s_n-r{s}_n& =& a-a{r}^n\end{array}$

lo que está muy bien, porque entonces puedes resolver fácilmente $s_n$ siempre que $r\ne 1$ para obtener

$s_n=\frac{a-a{r}^n}{1-r}=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$.

Convergencia de una serie geométrica

Una vez que tengas una buena fórmula para las sumas parciales de una serie, puedes mirar el límite para ver cuándo converge. Veamos algunos valores de $r$ para ver cuándo

$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$

existe. Haciendo un poco de álgebra,

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r} \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{a}{1-r}-\frac{a{r}^n}{1-r}\right]. \end{gathered}$$

La primera parte del límite no depende de $n$pero, desde luego, tienes que estar seguro de que $r\ne 1$ para que no estés dividiendo por cero. Factorizando las constantes de la segunda parte, tienes

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{a}{1-r}-\frac{a{r}^n}{1-r}\right]=\frac{a}{1-r}-\frac{a}{1-r}\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n \\ =\left(\frac{a}{1-r}\right)\left[1-\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n\right]. \end{gathered}$$

Así puedes ver que si

$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n$

existe, entonces el límite de la serie también existirá.

Ese límite existe cuando $r$ está entre $-1$ y $1$. Pero aún tienes que tener un poco de cuidado, porque no es una sucesión geométrica si $r=0$y en realidad no puedes utilizar $r=1$ (porque te daría la división por cero) o $r=-1$ (porque la secuencia con $r=-1$ no converge).

Suma de una serie geométrica

Las series geométricas son especialmente bonitas porque puedes decir cuándo convergen y a qué convergen exactamente. Según lo dicho anteriormente, una serie geométrica converge cuando $-1<r<1$ y diverge en caso contrario. Cuando la serie geométrica converge, si se toma el límite de las sumas parciales se obtiene:

$\sum _{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}=\frac{a}{1-r}$.

Ejemplos con series geométricas

Veamos algunos ejemplos para comprobar lo que pueden decirte las series geométricas.