Teoremas de Continuidad: Funciones, Ejemplos

Q: ¿Qué es un teorema de continuidad?

Un teorema de continuidad establece condiciones bajo las cuales una función es continua, lo que significa que no tiene interrupciones.

Q: ¿Cuál es el teorema de Bolzano?

El teorema de Bolzano afirma que si una función continua cambia de signo sobre un intervalo, entonces tiene al menos una raíz en ese intervalo.

Q: ¿Qué establece el teorema del valor intermedio?

El teorema del valor intermedio indica que una función continua en un intervalo cerrado toma todos los valores intermedios entre sus extremos.

Q: ¿Para qué se utiliza el teorema de Weierstrass?

El teorema de Weierstrass asegura que una función continua en un intervalo cerrado tiene un valor máximo y mínimo en ese intervalo.

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Teoremas de continuidad de funciones

Los teoremas de continuidad se basan en gran medida en lo que ya sabes sobre límites. Para un repaso sobre los límites, consulta Límites y Encontrar límites. Este primer teorema se deduce directamente de la definición de continuidad y de las propiedades de los límites.

Teorema: Propiedades de las funciones continuas

Supongamos que $f (x)$ y $g (x)$ son funciones continuas en $x = p$ . Entonces son ciertas las siguientes:

Propiedad de la suma: $(f + g) (x)$ es continua en $x = p$ ;

Propiedad de la diferencia: $(f - g) (x)$ es continua en $x = p$ ;

Propiedad del producto: $(f \cdot g) (x)$ es continua en $x = p$ ;

Propiedad múltiple constante: si $k$ es un número real, entonces $(k \cdot f) (x)$ es continuo en $x = p$ ;

Propiedad del cociente: si $g (p) \neq 0$ entonces $(\frac{f}{g}) (x)$ es continuo en $x = p$ .

Supongamos que

$f (x) = |x|$ y $g (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$ .

¿Dónde es $(f \cdot g) (x)$ continua?

Responde:

Recuerda que la función valor absoluto es continua en todas partes, y las funciones racionales son continuas en sus dominios.

Como $g (x)$ es una función racional con un dominio de $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ es continua en todas partes excepto en $x = 1$ .

Entonces, utilizando la Propiedad del Producto $(f \cdot g) (x)$ es continua en todas partes excepto en $x = 1$ .

Observa que la composición de funciones no aparece en las Propiedades de las funciones continuas. Hay un teorema aparte para las composiciones porque se demuestra utilizando dominios de funciones y la definición de continuidad, en lugar de utilizar límites como en las Propiedades de las Funciones Continuas.

Teorema: Composición de funciones continuas

Si $g (x)$ es continua en $x = p$ y $f (x)$ es continua en $g (p)$ entonces $f (g (x)) = (f \circ g) (x)$ es continua en $x = p$ .

Si sabes que $g (x)$ es continua en $x = p$ es $|g| (x)$ continua en $x = p$ ?

Contesta:

Tomemos $f (x)$ la función valor absoluto, que es continua en todas partes.

Eso significa que sabes que $g (x)$ es continua en $x = p$ y $f (x)$ es continua en $g (p)$ .

Entonces, utilizando el teorema de la composición de funciones continuas $(f \circ g) (x) = |g| (x)$ es continua en $x = p$ .

Teoremas sobre la discontinuidad

Quizá te preguntes por qué hay muchos teoremas para las funciones continuas y ninguno equivalente para la discontinuidad. Veamos un ejemplo para demostrar por qué no.

Toma

$f (x) = \{\begin{cases} 1, & x < 0 \\ - 1, & x \geq 0 \end{cases}$ y $g (x) = \{\begin{cases} - 1, & x < 0 \\ 1, & x \geq 0 \end{cases}$ .

Ninguna de estas funciones es continua en $x = 0$ .

Si sumas estas dos funciones que no son continuas en $x = 0$ ¿su suma sigue siendo discontinua en $x = 0$ ? Pues bien,

$(f + g) (x) = \{\begin{cases} 1 + (- 1), & x < 0 \\ - 1 + 1, & x \geq 0 \end{cases} = \{\begin{cases} 0, & x < 0 \\ 0, & x \geq 0 \end{cases} = 0$ ,

que es continua en todas partes. Así que, por contraejemplo, has demostrado que no puede existir una Propiedad Suma para las funciones discontinuas.

¿Y la Propiedad Producto? Su producto es

$(f \cdot g) (x) = \{\begin{cases} 1 \cdot (- 1), & x < 0 \\ - 1 \cdot 1, & x \geq 0 \end{cases} = \{\begin{cases} - 1, & x < 0 \\ - 1, & x \geq 0 \end{cases} = - 1$ ,

que es continua en todas partes. Así que no puedes tener una Propiedad Producto para funciones que no son continuas.

Quizá pienses que nada puede ir mal con la Propiedad Constante. ¡No es más que multiplicar por una constante!

De hecho, esa también va mal.

Tomemos $k = 0$ . Entonces $(k \cdot f) (x) = (0 \cdot f) (x) = 0$ que es continua en todas partes. Así que ni siquiera la Propiedad Constante se cumple para funciones discontinuas.

De forma similar a las funciones del ejemplo anterior, puedes inventar funciones para demostrar que la Propiedad de la Diferencia y la Propiedad del Cociente tampoco se cumplen para las funciones discontinuas.

Teoremas de continuidad - Puntos clave

Propiedad de la suma para funciones continuas: Supongamos $f (x)$ y $g (x)$ son funciones continuas en $x = p$ . Entonces $(f + g) (x)$ es continua en $x = p$ .
Propiedad de diferencia para funciones continuas: Supongamos $f (x)$ y $g (x)$ son funciones continuas en $x = p$ . Entonces $(f - g) (x)$ es continua en $x = p$ .
Propiedad del producto para funciones continuas: Supongamos $f (x)$ y $g (x)$ son funciones continuas en $x = p$ . Entonces $(f \cdot g) (x)$ es continua en $x = p$ .
Propiedad múltiple constante para funciones continuas: Supongamos que $f (x)$ es una función continua en $x = p$ . Entonces, si $k$ es un número real $(k \cdot f) (x)$ es continua en $x = p$ .
Propiedad del cociente para funciones continuas: Supongamos que $f (x)$ y $g (x)$ son funciones continuas en $x = p$ . Entonces si $g (p) \neq 0$ , $(\frac{f}{g}) (x)$ es continua en $x = p$ .
Composición de funciones continuas: Si $g (x)$ es continua en $x = p$ y $f (x)$ es continua en $g (p)$ entonces $f (g (x)) = (f \circ g) (x)$ es continua en $x = p$ .
Ninguna de las propiedades anteriores se cumple en general para las funciones discontinuas.

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Preguntas frecuentes sobre Teoremas de Continuidad

¿Qué es un teorema de continuidad?

Un teorema de continuidad establece condiciones bajo las cuales una función es continua, lo que significa que no tiene interrupciones.

¿Cuál es el teorema de Bolzano?

El teorema de Bolzano afirma que si una función continua cambia de signo sobre un intervalo, entonces tiene al menos una raíz en ese intervalo.

¿Qué establece el teorema del valor intermedio?

El teorema del valor intermedio indica que una función continua en un intervalo cerrado toma todos los valores intermedios entre sus extremos.

¿Para qué se utiliza el teorema de Weierstrass?

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