Derivadas de Funciones Inversas

Regla de la derivada de funciones inversas

Si conoces la derivada de una función, puedes hallar la derivada de su inversa sin utilizar la definición de derivada. A continuación te explicamos cómo puedes hacerlo.

Sea \( f(x) \) una función invertible y diferenciable, y sea \( f^{-1}(x) \) su inversa. Si \( f^{-1}(x) \) es diferenciable, su derivada viene dada por la siguiente fórmula:

$$\left( f^{-1}(x) \right)' (x) = \frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)}.$$

Esto significa que tienes que hallar la derivada de \( f(x) \) y hallar su composición con \( f^{-1}(x). \) Suponiendo que se conoce \( f^{-1}(x) \), este procedimiento puede resumirse en los siguientes pasos:

1. Halla la derivada de \( f(x) \), es decir, halla \( f'(x). \)

2. Halla la composición \( f' \izquierda( f^{-1}(x) \derecha). \)

3. Toma el recíproco de \( f' \left( f^{-1}(x) \right). \)

Esto se entiende mejor viendo algunos ejemplos.

Ejemplos de derivadas de funciones inversas

Hay una gran variedad de funciones invertibles que podemos diferenciar, así que veamos algunos ejemplos.

Derivadas de funciones irracionales

Las funciones de raíz cuadrada y las funciones cuadráticas son inversas entre sí. Puedes hallar la derivada de una función cuadrática utilizando la regla de potencias y, a continuación, utilizar este resultado para hallar la derivada de una función de raíz cuadrada.

Veamos ahora un ejemplo de función cúbica.

Derivadas de funciones logarítmicas

Aunque puedes hallar la derivada de funciones logarítmicas utilizando la definición de derivada, también puedes utilizar el hecho de que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

¡Este procedimiento es una excelente alternativa para hallar la derivada de la función logarítmica natural utilizando la definición de derivada!

Errores frecuentes al hallar la derivada de una función inversa

Hay dos errores comunes al hallar la derivada de una función inversa.

• Hacer la composición en el orden incorrecto.

• Olvidar tomar el recíproco de la composición.

Veamos cada uno de ellos.

Hacer la composición en el orden incorrecto

Un error frecuente es hacer la composición en el orden equivocado. Recuerda que, en general

$$f'\left( f^{-1}(x)\right) \neq f^{-1}\left( f'(x) \right).$$

Veamos un ejemplo de composición realizada en el orden incorrecto.

Olvidar tomar el recíproco de la composición

Otro error frecuente es olvidarse de tomar el recíproco después de hallar la composición. Es decir

izquierda( f^{-1}(x)\derecha) ' (x) \neq f'izquierda( f^{-1}(x)\derecha),$$$

así que recuerda siempre tomar el recíproco de la composición

Izquierda( f^{-1}(x)\derecha) ' (x) = \frac{1}{f'\izquierda( f^{-1}(x)\derecha)}.$$

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

Las funciones inversas de las funciones trigonométricas suelen llamarse simplemente funciones trigonométricas inversas. También se conocen como funciones de arco. Puedes utilizar la Fórmula de la derivada de una función inversa para hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.

Se puede utilizar un procedimiento similar para hallar la derivada de la función tangente inversa. Veamos el siguiente ejemplo.

Derivada de una función inversa a partir de una tabla

Las funciones pueden representarse de muchas formas. Tomemos por ejemplo una tabla de valores

Puedes utilizar la tabla anterior para hallar la pendiente de una recta secante a la función tomando dos puntos y aplicando la fórmula de la pendiente

\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}]

como se muestra en la siguiente imagen.

Fig. 1. Gráfica de una recta secante a la función en dos puntos.

En la imagen anterior, los puntos \( (1,f(1)) \) y \( (2,f(2)) \) sirven para la recta secante, por lo que su pendiente es

\[ \begin{align} m &= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} &= \frac{4-1}{1} \\ &= 3. \fin \]

Cambiando los valores de la tabla puedes obtener la inversa de la función original, en este caso obtendrás la función raíz cuadrada.

También puedes encontrar una recta secante a la función raíz cuadrada utilizando dos puntos. El primer punto puede seguir siendo el mismo, ya que lo comparten ambas funciones. Para el segundo punto, en lugar de utilizar \( (2,f^{-1}(2)) \) tienes que componer la función, es decir, tienes que utilizar \( (f(2),f^{-1}(f(2))).\) Por tanto, la secante correspondiente utiliza \( (1,f^{-1}(1)) \) y \( (4,f^{-1}(4)) \) en su lugar, como se muestra en la siguiente imagen.

Fig. 2. Gráfica de una recta secante a la función inversa en dos puntos.

Esta vez los puntos \( (1,f^{-1}(1)) \) y \( (4,f^{-1}(4)) \) se utilizan para la recta secante, por lo que su pendiente es

\m &= \frac{f^{-1}(4)-f^{-1}(1)}{4-1} &= \frac{2-1}{3} \\ &= \frac{1}{3}. \fin{align} \]

Observa que la pendiente de la secante de la función inversa es la recíproca de la pendiente de la recta secante a la función original. Además, necesitas componer la función y la inversa para hallar la pendiente anterior. ¿Te suenan estos pasos?

La pendiente de las rectas secantes se relaciona con las derivadas mediante un límite. El razonamiento anterior sigue funcionando a medida que tomas intervalos más pequeños, conectando con la fórmula de la derivada de una función inversa.

Prueba de la fórmula de la derivada de una función inversa

La demostración de la derivada de una función inversa utiliza el hecho de que la composición de una función y su inversa es igual a la función identidad, es decir

$$f\left(f^{-1}(x)\right)=x.$$

A continuación, diferencia ambos lados de la ecuación. Utiliza la regla de potencias para diferenciar el lado derecho de la ecuación, de modo que

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f\left(f^{-1}(x)\right) = 1.$$

El lado izquierdo de la ecuación se puede diferenciar mediante la regla de la cadena, con lo que se obtiene

$$f'\left(f^{-1}(x)\right) \left( f^{-1} \right) ' (x)=1,$$

y, por último, puedes aislar la derivada de la función inversa

$$\left( f^{-1}(x) \right)'(x)=\frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)}.$$