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En este artículo, tratamos en detalle qué es una función lineal, sus características, ecuación, fórmula, gráfica, tabla, y repasamos varios ejemplos.
- Definición de función lineal
- Ecuación de una función lineal
- Fórmula de una función lineal
- Gráfica de una función lineal
- Tabla de funciones lineales
- Ejemplos de funciones lineales
- Funciones lineales - puntos clave
Definición de función lineal
¿Qué es una función lineal?
Una función lineal es una función polinómica de grado 0 ó 1. Esto significa que cada término de la función es una constante o una constante multiplicada por una única variable cuyo exponente es 0 ó 1.
Cuando se representa gráficamente, una función lineal es una línea recta en un plano de coordenadas.
Por definición, una recta es recta, así que decir "recta" es redundante. En este artículo utilizamos a menudo "recta", pero basta con decir "recta".
Características de la función lineal
Cuando decimos que
es una función lineal de
, queremos decir que la gráfica de la función es una línea recta.
La pendiente de una función lineal también se denomina tasa de variación.
Una función lineal crece a un ritmo constante.
La imagen de abajo muestra
- la gráfica de la función lineal
y
- una tabla de valores muestrales de esa función lineal.
La gráfica y la tabla de valores muestrales de una función lineal, StudySmarter Originals
Observa que cuando aumenta en 0,1, el valor de
aumenta en 0,3, lo que significa que
aumenta tres veces más rápido que
.
Por tanto, la pendiente de la gráfica de , 3, puede interpretarse como la velocidad de cambio de
con respecto a
.
Una función lineal puede ser una recta creciente, decreciente u horizontal.
Las funciones linealescrecientes tienenpendiente positiva .
Las funciones linealesdecrecientes tienenpendiente negativa .
Las funciones linealeshorizontales tienen pendiente cero.
La intersección y de una función lineal es el valor de la función cuando el valor x es cero.
También se conoce como valor inicial en aplicaciones reales.
Funciones lineales frente a no lineales
Las funciones lineales son un tipo especial de función polinómica. Cualquier otra función que no forme una línea recta cuando se representa gráficamente en un plano de coordenadas se denomina función no lineal.
Algunos ejemplos de funciones no lineales son
- cualquier función polinómica de grado 2 o superior, como
- funciones cuadráticas
- funciones cúbicas
- funciones racionales
- funciones exponenciales y logarítmicas
Cuando pensamos en una función lineal en términos algebraicos, nos vienen a la mente dos cosas:
La ecuación y
Las fórmulas
Ecuación de la función lineal
Una función lineal es una función algebraica, y la función lineal madre es:
Que es una recta que pasa por el origen.
En general, una función lineal es de la forma
Donde y
son constantes.
En esta ecuación
es la pendiente de la recta
es la intersección y de la recta
es la variable independiente
o
es la variable dependiente
Fórmula de la función lineal
Hay varias fórmulas que representan funciones lineales. Todas ellas se pueden utilizar para hallar la ecuación de cualquier recta (excepto las rectas verticales), y la que utilicemos dependerá de la información disponible.
Como las rectas verticales tienen una pendiente indefinida (y no superan la prueba de la recta vertical), ¡no son funciones!
Forma estándar
La forma estándar de una función lineal es
Donde son constantes.
Forma pendiente-intersección
La forma pendiente-intersección de una función lineal es:
Donde
es un punto de la recta.
es la pendiente de la recta.
Recuerda: la pendiente puede definirse como
, donde
y
son dos puntos cualesquiera de la recta.
Forma punto-pendiente
La forma punto-pendiente de una función lineal es:
Donde
es un punto de la recta.
es cualquier punto fijo de la recta.
Forma intercepto
La forma intercepto de una función lineal es:
Donde:
es un punto de la recta.
y
son la intersección x y la intersección y, respectivamente.
Gráfica de una función lineal
La gráfica de una función lineal es bastante sencilla: sólo una recta en el plano de coordenadas. En la imagen siguiente, las funciones lineales se representan en forma de pendiente-intersección. (el número por el que se multiplica la variable independiente,
), determina la pendiente (o gradiente) de esa recta, y
determina dónde cruza la recta el eje y (lo que se conoce como la intersección y).
Las gráficas de dos funciones lineales, StudySmarter Originals
Gráfica de una función lineal
¿Qué información necesitamos para representar gráficamente una función lineal? Pues, basándonos en las fórmulas anteriores, necesitamos o bien
dos puntos sobre la recta, o
un punto de la recta y su pendiente.
Utilizar dos puntos
Para representar gráficamente una función lineal utilizando dos puntos, necesitamos que nos den dos puntos para utilizarlos, o bien introducir los valores de la variable independiente y resolver los de la variable dependiente para encontrar dos puntos.
Si nos dan dos puntos, la gráfica de la función lineal consiste simplemente en trazar los dos puntos y unirlos con una línea recta.
Sin embargo, si nos dan la fórmula de una ecuación lineal y nos piden que la representemos gráficamente, hay que seguir más pasos.
Representar gráficamente la función:
Solución:
- Encuentra dos puntos en la recta eligiendo dos valores para
.
- Supongamos los valores de
y
.
- Supongamos los valores de
- Sustituye nuestros valores elegidos de
en la función y resuelve sus correspondientes valores y.
- Así, nuestros dos puntos son:
y
.
- Traza los puntos en una placa de coordenadas y únelos con una línea recta.
- Asegúrate de prolongar la recta más allá de los dos puntos, ¡ya que una recta no tiene fin!
- Así, la gráfica tiene el siguiente aspecto
La gráfica de una recta usando dos puntos, StudySmarter Originals
Utilización de la pendiente y la intersección y
Para representar gráficamente una función lineal utilizando su pendiente y su intersección y, trazamos la intersección y en un plano de coordenadas y utilizamos la pendiente para encontrar un segundo punto que trazar.
Haz la gráfica de la función:
Solución:
- Traza la intersección y, que tiene la forma:
.
- La intersección y de esta función lineal es:
- La intersección y de esta función lineal es:
- Escribe la pendiente como la fracción (¡si no lo es ya!)
e identifica la "subida" y la "bajada".
- Para esta función lineal, la pendiente es
.
- Por tanto,
y
.
- Por tanto,
- Para esta función lineal, la pendiente es
- Partiendo de la intersección y, muévete verticalmente por la "subida" y luego horizontalmente por el "recorrido".
- Observa que: si la subida es positiva, nos movemos hacia arriba, y si la subida es negativa, nos movemos hacia abajo.
- Y observa que: si el recorrido es positivo, nos movemos hacia la derecha, y si el recorrido es negativo, nos movemos hacia la izquierda.
- Para esta función lineal
- Nos "elevamos" hacia arriba 1 unidad.
- Corremos" hacia la derecha 2 unidades.
- Unimos los puntos con una recta, y la prolongamos más allá de ambos puntos.
- Entonces, la gráfica queda así
Usando la pendiente y la intersección y para representar gráficamente una recta, StudySmarter Originals
Dominio y rango de una función lineal
¿Por qué extendemos la gráfica de una función lineal más allá de los puntos que utilizamos para trazarla? Lo hacemos porque el dominio y el rango de una función lineal son el conjunto de todos los números reales.
Dominio
Cualquier función lineal puede tomar cualquier valor real de como entrada, y dar un valor real de
como salida. Esto puede confirmarse observando la gráfica de una función lineal. A medida que nos movemos a lo largo de la función, para cada valor de
, sólo hay un valor correspondiente de
.
Por tanto, mientras el problema no nos dé un dominio limitado, el dominio de una función lineal lo es:
Rango
Además, las salidas de una función lineal pueden ir del infinito negativo al positivo, lo que significa que el rango es también el conjunto de todos los números reales. Esto también se puede confirmar observando la gráfica de una función lineal. A medida que nos movemos a lo largo de la función, para cada valor de , sólo hay un valor correspondiente de
.
Por tanto, siempre que el problema no nos dé un rango limitado, y , el rango de una función lineal lo es:
Cuando la pendiente de una función lineal es 0, se trata de una recta horizontal. En este caso, el dominio sigue siendo el conjunto de todos los números reales, pero el rango es sólo b.
Tabla de funciones lineales
Las funciones lineales también pueden representarse mediante una tabla de datos que contenga pares de valores x e y. Para determinar si una tabla dada de estos pares es una función lineal, seguimos tres pasos:
Calcula las diferencias en los valores x.
Calcula las diferencias en los valores y.
Compara la relación
de cada par.
Si esta razón es constante, la tabla representa una función lineal.
También podemos comprobar si una tabla de valores x e y representa una función lineal determinando si la tasa de variación de con respecto a
(también conocida como pendiente) permanece constante.
Normalmente, una tabla que representa una función lineal tiene este aspecto:
| valor x | valor y |
| 1 | 4 |
| 2 | 5 |
| 3 | 6 |
| 4 | 7 |
Identificar una función lineal
Determinar si una función es una función lineal depende de cómo se presente la función.
Si una función se presenta algebraicamente
entonces es una función lineal si la fórmula se parece a:
.
Si una función se presenta gráficamente
es una función lineal si la gráfica es una línea recta.
Si una función se presenta mediante una tabla
es una función lineal si la relación entre la diferencia de los valores y y la diferencia de los valores x es siempre constante. Veamos un ejemplo
Determina si la tabla dada representa una función lineal.
| valor x | valor y |
| 3 | 15 |
| 5 | 23 |
| 7 | 31 |
| 11 | 47 |
| 13 | 55 |
Solución:
Para determinar si los valores dados en la tabla representan una función lineal, debemos seguir estos pasos:
- Calcula las diferencias de los valores x y los valores y.
- Calcula los cocientes de la diferencia en x sobre la diferencia en y.
- Comprueba si la razón es la misma para todos los pares X,Y.
- Si la razón es siempre la misma, ¡la función es lineal!
Apliquemos estos pasos a la tabla dada:
Determinar si una tabla de valores representa una función lineal, StudySmarter Originals
Tipos especiales de funciones lineales
Hay un par de tipos especiales de funciones lineales que probablemente trataremos en cálculo. Éstos son:
Funciones lineales representadas como funciones a trozos y
Pares de funciones lineales inversas.
Funciones lineales a trozos
En nuestro estudio del cálculo, tendremos que tratar con funciones lineales que pueden no estar definidas uniformemente en todos sus dominios. Puede ser que estén definidas de dos o más formas, ya que sus dominios están divididos en dos o más partes.
En estos casos, se denominan funciones lineales a trozos.
Haz la gráfica de la siguiente función lineal a trozos:
El símbolo ∈ anterior significa "es un elemento de".
Solución:
Esta función lineal tiene dos dominios finitos
y
Fuera de estos intervalos, la función lineal no existe. Por tanto, cuando grafiquemos estas rectas, en realidad sólo graficaremos los segmentos de recta definidos por los puntos extremos de los dominios.
- Determina los puntos extremos de cada segmento de recta.
- Para
los puntos extremos son cuando
y
.
Observa que en el dominio de x+2 hay un paréntesis en lugar de un corchete alrededor del 1. ¡Esto significa que el 1 no está incluido en el dominio de x+2! Por tanto, ahí hay un "agujero" en la función.
- Para
los puntos finales son cuando
y
.
- Para
- Calcula los valores y correspondientes en cada punto final.
- En el dominio
:
valor x valor y -2 1
- En el dominio
:
valor x valor y 1 2
- En el dominio
- Traza los puntos en un plano de coordenadas y une los segmentos con una recta.
La gráfica de una función lineal a trozos, StudySmarter Originals
Funciones lineales inversas
Del mismo modo, también trataremos las funciones lineales inversas, que son uno de los tipos de Funciones Inversas. Para explicarlo brevemente, si una función lineal se representa por:
entonces su inversa está representada por
de modo que
El superíndice -1 no es una potencia. Significa "la inversa de", no "f a la potencia de -1".
Halla la inversa de la función:
Solución:
- Sustituye
por
.
- Sustituye
por
, y
por
.
- Resuelve esta ecuación para
.
- Sustituye
por
.
Si graficamos y
en el mismo plano de coordenadas, observaremos que son simétricas respecto a la recta
. Ésta es una característica de las funciones inversas.
La gráfica de un par de funciones lineales inversas y su recta de simetría, StudySmarter Originals
Ejemplos de funciones lineales
Aplicaciones de las funciones lineales en el mundo real
Las funciones lineales tienen varios usos en el mundo real. Por nombrar algunos, están
Problemas de distancia y velocidad en física
Cálculo de dimensiones
Determinar el precio de las cosas (piensa en impuestos, tasas, propinas, etc. que se añaden al precio de las cosas)
Supongamos que te gusta jugar a videojuegos.
Estás suscrito a un servicio de juegos que te cobra una cuota mensual de 5,75 € más una cuota adicional por cada juego que te descargas de 0,35 €.
Podemos escribir tu cuota mensual real utilizando la función lineal:
Donde es el número de juegos que descargas en un mes.
Funciones lineales: Problemas de ejemplo resueltos
Escribe la función dada como pares ordenados.
Solución:
Los pares ordenados son: y
.
Halla la pendiente de la recta para lo siguiente.
Solución:
- Escribe la función dada como pares ordenados.
- Calcula la pendiente mediante la fórmula
, donde
corresponde a
respectivamente.
, por lo que la pendiente de la función es 1.
Halla la ecuación de la función lineal dada por los dos puntos:
Solución:
- Utilizando la fórmula de la pendiente, calcula la pendiente de la función lineal.
- Con los valores dados por los dos puntos y la pendiente que acabamos de calcular, podemos escribir la ecuación de la función lineal utilizando la forma punto-pendiente.
- forma punto-pendiente de una recta.
- sustituye los valores de
.
- distribuye el signo negativo.
- distribuye el 4.
- simplifica.
es la ecuación de la recta.
La relación entre Fahrenheit y Celsius es lineal. La tabla siguiente muestra algunos de sus valores equivalentes. Encuentra la función lineal que representa los datos dados en la tabla.
| Celsius (°C) | Fahrenheit (°F) |
| 5 | 41 |
| 10 | 50 |
| 15 | 59 |
| 20 | 68 |
Solución:
- Para empezar, podemos elegir dos pares cualesquiera de valores equivalentes de la tabla. Estos son los puntos de la recta.
- Elijamos
y
.
- Elijamos
- Calcula la pendiente de la recta entre los dos puntos elegidos.
, por lo que la pendiente es 9/5.
- Escribe la ecuación de la recta utilizando la forma punto-pendiente.
- forma punto-pendiente de una recta.
- sustituye los valores de
.
- distribuye la fracción y anula los términos.
- simplifica.
- Observa que, según la tabla
- Podemos sustituir
, la variable independiente, por
, para Celsius, y
- Podemos sustituir
, la variable dependiente, por
, para Fahrenheit.
- Entonces tenemos
es la relación lineal entre Celsius y Fahrenheit.
- Podemos sustituir
Digamos que el coste de alquilar un coche puede representarse mediante la función lineal:
Donde es el número de días que se alquila el coche.
¿Cuál es el coste de alquilar el coche durante 10 días?
Solución:
- Sustituye
en la función dada.
- sustituir.
- simplifica.
Entonces, el coste de alquilar el coche durante 10 días es de 320 $.
Para completar el último ejemplo. Digamos que sabemos cuánto pagó alguien por alquilar un coche, utilizando la misma función lineal.
Si Jake pagó 470$ por alquilar un coche, ¿cuántos días lo alquiló?
Solución:
Sabemos que , donde
es el número de días de alquiler del coche. Así que, en este caso, sustituimos
por 470 y resolvemos para
.
- sustituye valores conocidos.
- combinamos términos semejantes.
- dividir por 30 y simplificar.
- Así pues, Jake alquiló el coche durante 15 días.
Determina si la función es una función lineal.
Solución:
Necesitamos aislar la variable dependiente para ayudarnos a visualizar la función. Después, podemos comprobar si es lineal graficándola.
- mueve todos los términos excepto la variable dependiente a un lado de la ecuación.
- divide por -2 para simplificar.
- Ahora podemos ver que la variable independiente,
, tiene una potencia de 1. Esto nos indica que se trata de una función lineal.
- Ahora podemos ver que la variable independiente,
- Podemos verificar nuestros resultados dibujando la gráfica:
La gráfica de una recta, StudySmarter Originals
Determina si la función es una función lineal.
Solución:
- Reordena y simplifica la función para obtener una mejor visualización.
- distribuye la
.
- mueve todos los términos excepto la variable dependiente a un lado.
- divide por 2 para simplificar.
- Ahora podemos ver que, como la variable independiente tiene una potencia de 2, no se trata de una función lineal.
- Podemos comprobar que la función no es lineal representándola gráficamente:
La gráfica de una función no lineal, StudySmarter Originals
Funciones lineales - Puntos clave
- Una función lineal es una función cuya ecuación es:
y su gráfica es una línea recta.
- Una función con cualquier otra forma es una función no lineal.
- La fórmula de la función lineal puede adoptar varias formas:
- Forma estándar:
- Forma pendiente-intersección:
- Forma punto-pendiente:
- Forma intercepto:
- Forma estándar:
- Si la pendiente de una función lineal es 0, se trata de una recta horizontal, lo que se conoce como función constante.
- Unarecta vertical no esuna función lineal porque no supera la prueba de la recta vertical.
- El dominio y el rango de una función lineal es el conjunto de todos los números reales.
- Pero el rango de una función constante es sólo
, la intersección y.
- Pero el rango de una función constante es sólo
- Una función lineal puede representarse mediante una tabla de valores.
- Las funciones lineales a trozos se definen de dos o más formas, ya que sus dominios se dividen en dos o más partes.
- Los pares de funciones lineales inversas son simétricos respecto a la recta
.
- Una función constante no tiene inversa porque no es una función uno a uno.
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