Teorema del Valor Intermedio: Cálculo, Funciones

Q: ¿Qué es el Teorema del Valor Intermedio?

El Teorema del Valor Intermedio establece que, si una función continua en un intervalo [a, b] toma dos valores diferentes, entonces también toma cualquier valor intermedio entre ellos.

Q: ¿Cuál es la importancia del Teorema del Valor Intermedio?

Es fundamental para probar la existencia de raíces y soluciones de ecuaciones dentro de un intervalo y se usa en numerosos teoremas y aplicaciones matemáticas.

Q: ¿Qué condiciones necesita el Teorema del Valor Intermedio?

El teorema requiere que la función sea continua en el intervalo cerrado [a, b].

Q: ¿Cómo se aplica el Teorema del Valor Intermedio?

Para aplicarlo, verifica que la función sea continua y que el valor que buscas esté entre los valores extremos de f(a) y f(b).

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El IVT responde a una pregunta crucial en Matemáticas: ¿tiene solución una ecuación? En este artículo definiremos el Teorema del Valor Intermedio, discutiremos algunos de sus usos y aplicaciones y trabajaremos con ejemplos.

Definición del Teorema del Valor Intermedio

El Teorema del Valor Intermedio afirma que si una función $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y una función tiene un valor N tal que $f (a) < N < f (b)$ donde $f (a) \neq f (b)$ entonces hay al menos un número $c$ en $(a, b)$ tal que $f (c) = N$ .

Esencialmente, la IVT dice que si una función no tiene discontinuidades, existe un punto entre los puntos extremos cuyo valor y está entre los valores y de los puntos extremos. La IVT sostiene que una función continua toma todos los valores comprendidos entre $f (a)$ y $f (b)$ .

Teorema del valor intermedio representación geométrica StudySmarter Como la función es continua, el IVT dice que hay al menos un punto entre a y b que tiene un valor y entre los valores y de a y b - StudySmarter Original

Usos y aplicaciones del teorema del valor intermedio en cálculo

El Teorema del Valor Intermedio es un método excelente para resolver ecuaciones. Supongamos que tenemos una ecuación y su respectiva gráfica (representada a continuación). Digamos que buscamos una solución para $c$ . El Teorema del Valor Intermedio dice que si la función es continua en el intervalo $[a, b]$ y si el valor objetivo que buscamos está entre $f (a)$ y $f (b)$ podemos hallar $c$ utilizando $f (c)$ .

Teorema del valor intermedio representación gráfica existencia de c StudySmarter El Teorema del Valor Intermedio garantiza la existencia de una solución c - StudySmarter Original

El Teorema del Valor Intermedio también es fundamental en el campo del Cálculo. Se utiliza para demostrar muchos otros teoremas de Cálculo, concretamente el Teorema del Valor Extremo y el Teorema del Valor Medio.

Ejemplos del Teorema del Valor Intermedio

Ejemplo 1

Demuestra que $x^{3} + x - 4 = 0$ tiene al menos una solución. A continuación, halla la solución.

Paso 1: Definir f(x) y hacer la gráfica

Dejaremos que $f (x) = x^{3} + x - 4$

Teorema del valor intermedio gráfico de ejemplo StudySmarter

Paso 2: Define un valor y para c

A partir de la gráfica y la ecuación, podemos ver que el valor de la función en $c$ es 0.

Paso 3: Asegurarse de que f( x) cumple los requisitos de la IVT

A partir de la gráfica y conociendo la naturaleza de las funciones polinómicas, podemos afirmar con seguridad que $f (x)$ es continua en cualquier intervalo que elijamos.

Podemos ver que la raíz de $f (x)$ se encuentra entre 1 y 1,5. Así que dejaremos que nuestro intervalo sea [1, 1,5]. El Teorema del Valor Intermedio dice que $f (c) = 0$ debe estar entre $f (a)$ y $f (b)$ . Así que introducimos y evaluamos $f (1)$ y $f (1.5)$ .

$\begin{array}{rcl} f (1) & < & f (c) < f (1.5) \\ 1^{3} + 1 - 4 & < & 0 < 1 . 5^{3} + 1.5 - 4 \\ - 2 & < & 0 < 0.875 \end{array}$

Paso 4: Aplicar la IVT

Ahora que se cumplen todos los requisitos de la IVT, podemos concluir que existe un valor $c$ en $[1, 1.5]$ tal que $f (c) = 0$ .

Por tanto $f (x)$ es resoluble.

Ejemplo 2

¿La función $f (x) = x^{2}$ toma el valor $f (x) = 7$ en el intervalo $[1, 4]$ ?

Paso 1: Asegurarse de que f(x) es continua

A continuación, comprobamos que la función cumple los requisitos del Teorema del Valor Intermedio.

Sabemos que $f (x)$ es continua en todo el intervalo porque es una función polinómica.

Paso 2: Halla el valor de la función en los puntos extremos del intervalo

Introduciendo $x = 1$ y $x = 4$ en $f (x)$

$f (1) = 1^{2} = 1 f (4) = 4^{2} = 16^{}$

Paso 3: Aplicar el Teorema del Valor Intermedio

Evidentemente, $1 < 7 < 16$ . Por tanto, podemos aplicar el IVT.

Ahora que se cumplen todos los requisitos de la IVT, podemos concluir que existe un valor $c$ en [1, 4] tal que $f (c) = 7$ .

Por tanto $f (x)$ debe tomar el valor 7 al menos una vez en algún lugar del intervalo $[1, 4]$ .

Recuerda que la IVT garantiza al menos una solución. Sin embargo, ¡puede haber más de una!

Ejemplo 3

Demuestra que la ecuación $\frac{x - 1}{x^{2} + 2} = \frac{3 - x}{1 + x}$ tiene al menos una solución en el intervalo $[- 1, 3]$ .

Intentémoslo sin utilizar una gráfica.

Paso 1: Definir f(x)

Para definir $f (x)$ factorizaremos la ecuación inicial.

$\begin{array}{rcl} (x - 1) (x + 1) & = & (3 - x) (x^{2} + 2) \\ x^{2} - 1 & = & - x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 6 \\ x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 7 & = & 0 \end{array}$

Así, dejaremos que $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 7$

Paso 2: Definir un valor y para c

A partir de nuestra definición de $f (x)$ en el paso 1, $f (c) = 0$ .

Paso 3: Asegurarnos de que f(x) cumple los requisitos de la IVT

Por nuestro conocimiento de las funciones polinómicas, sabemos que $f (x)$ es continua en todas partes.

Comprobaremos nuestros límites de intervalo, haciendo $a = - 1 a n d b = 3$ . Recuerda que, utilizando la IVT, tenemos que confirmar

$f (a) < f (c) < f (b) f (a) < 0 < f (b)$

Sea $a = - 1$ :

$\begin{array}{rcl} f (a) & = & f (- 1) \\ = & {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) - 7 \\ = & - 12 \end{array}$

Que b= 3:

$\begin{array}{rcl} f (b) & = & f (3) \\ = & 3^{3} - 2 {(3)}^{2} + 2 (3) - 7 \\ = & 8 \end{array}$

Por tanto, tenemos

$f (a) < f (c) < f (b) - 12 < 0 < 8$

Por tanto, pero la IVT, podemos garantizar que hay al menos una solución a

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 7 = 0$

en el intervalo $[- 1, 3]$ .

Paso 4: Aplicar el IVT

Ahora que se cumplen todos los requisitos del IVT, podemos concluir que existe un valor $c$ en [0, 3] tal que $f (c) = 0$ .

Por tanto $f (x)$ es resoluble.

Demostración del Teorema del Valor Intermedio

Para demostrar el Teorema del Valor Intermedio, coge un trozo de papel y un bolígrafo. Deja que la parte izquierda de tu papel represente el eje y, y la parte inferior de tu papel represente el eje x. A continuación, dibuja dos puntos. Un punto debe estar en el lado izquierdo del papel (unvalor x pequeño), y otro en el lado derecho (un valor x grande ). Dibuja los puntos de modo que uno esté más cerca de la parte superior del papel (un valory grande) y el otro esté más cerca de la parte inferior ( un valory pequeño).

El Teorema del Valor Intermedio afirma que si una función es continua y si los puntos extremos $a$ y $b$ existen tales que $f (a) \neq f (b)$ entonces existe un punto entre los puntos extremos en el que la función toma un valor comprendido entre $f (a)$ y $f (b)$ . Así pues, la IVT dice que, independientemente de cómo dibujemos la curva entre los dos puntos en nuestro papel, pasará por algún valor y entre los dos puntos.

Intenta dibujar en tu papel una línea o curva entre los dos puntos (sin levantar el bolígrafo para simular una función continua) que no pase por algún punto en medio del papel. Es imposible, ¿verdad? No importa cómo dibujes una curva, en algún momento pasará por el centro del papel. Por tanto, se cumple el Teorema del Valor Intermedio.

Teorema del valor intermedio - Puntos clave

El Teorema del Valor Intermedio afirma que si una función f es continua en el intervalo[a, b] y una función valor N tal que $f (a) < N < f (b)$ donde $f (a) \neq f (b)$ entonces hay al menos un número $c$ en $(a, b)$ tal que $f (c) = N$
- Esencialmente, el IVT sostiene que una función continua toma todos los valores comprendidos entre $f (a)$ y $f (b)$
La IVT se utiliza para garantizar una solución/resolver ecuaciones y es un teorema fundacional en Matemáticas
Para demostrar que una función tiene solución, sigue el siguiente procedimiento:
- Paso 1: Define la función
- Paso 2: Encuentra el valor de la función en $f (c)$
- Paso 3: Asegúrate de que $f (x)$ cumple los requisitos de la IVT comprobando que $f (c)$ se encuentra entre el valor de la función de los extremos $f (a)$ y $f (b)$
- Paso 4: Aplicar la IVT

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Si una función cumple los requisitos del Teorema del Valor Intermedio, la solución ______ está garantizada.

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Preguntas frecuentes sobre Teorema del Valor Intermedio

¿Qué es el Teorema del Valor Intermedio?

El Teorema del Valor Intermedio establece que, si una función continua en un intervalo [a, b] toma dos valores diferentes, entonces también toma cualquier valor intermedio entre ellos.

¿Cuál es la importancia del Teorema del Valor Intermedio?

Es fundamental para probar la existencia de raíces y soluciones de ecuaciones dentro de un intervalo y se usa en numerosos teoremas y aplicaciones matemáticas.

¿Qué condiciones necesita el Teorema del Valor Intermedio?

El teorema requiere que la función sea continua en el intervalo cerrado [a, b].

¿Cómo se aplica el Teorema del Valor Intermedio?

Para aplicarlo, verifica que la función sea continua y que el valor que buscas esté entre los valores extremos de f(a) y f(b).

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