Teorema del valor medio para integrales

Para la función $f\left(x\right)=x^2+3x$ sobre el intervalo [1, 4], halla el valor c ( el valor x donde f (x ) toma su valor medio).

Paso 1: Asegúrate de que f (x) es continua sobre el intervalo cerrado

Como f(x) es un polinomio, sabemos que es continuo en el intervalo [1, 4].

Paso 2: Evalúa la integral de f( x) sobre el intervalo dado

$\begin{array}{rcl}{\int }_1^4{x}^2+3xdx& =& \left(\frac{{\left(4\right)}^3}{3}+\frac{3{\left(4\right)}^2}{2}\right)-\left(\frac{{\left(1\right)}^3}{3}+\frac{3{\left(1\right)}^2}{2}\right)\\ & =& 43.5\end{array}$

Paso 3: Aplica el Teorema del Valor Medio de las integrales para hallar el valor medio de f(x ) en el intervalo

$\begin{array}{rcl}f\left(c\right)& =& \frac{1}{4-1}{\int }_1^4{x}^2+3xdx\\ & =& \frac{1}{3}\left(43.5\right)\\ & =& 14.5\end{array}$

Por tanto, el valor medio que toma f (x) es 14,5.

En el paso 2, comprobamos que el área bajo la curva es $43.5unit{s}^2$. Para hallar el área del rectángulo, multiplicamos la anchura por la altura.

$(4-1)\left(14.5\right)=43.5unit{s}^2$

Por tanto, se cumple el Teorema del Valor Medio para integrales.

Paso 4: Halla el valor xde f(c)

Como $f\left(c\right)=14.5$ y queremos hallar c, podemos establecer f(x) igual a 14,5.

$$\begin{gathered} 14.5=x^2+3x \\ 0=x^2+3x-14.5 \end{gathered}$$

Para resolver x, aplicamos la fórmula cuadrática.

$\begin{array}{rcl}x& =& \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x& =& \frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\left(1\right)(-14.5)}}{2\left(1\right)}\\ x& =& \frac{-3+\sqrt{67}}{2}\approx 2.59and\\ x& =& \frac{-3-\sqrt{67}}{2}\approx -5.59\end{array}$

Como $-5.59$ está fuera del intervalo $c\approx 2.59$.

Para la función $f\left(x\right)=x+\sin \left(2x\right)$encuentra el valor x en el que f(x ) toma el valor medio en el intervalo $[0,2\mathrm{\pi }]$

Paso 1: Asegúrate de que f(x) es continua en el intervalo abierto

La función sen(x) es continua en todas partes.

Paso 2: Evalúa la integral de f( x) sobre el intervalo dado

$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{2\mathrm{\pi }}x+\sin \left(2x\right)dx& =& \left(\frac{{\left(2\mathrm{\pi }\right)}^2}{2}-\frac{\cos \left(4\mathrm{\pi }\right)}{2}\right)-\left(\frac{{\left(0\right)}^2}{2}-\frac{\cos \left(0\right)}{2}\right)\\ & =& \frac{4{\mathrm{\pi }}^2}{2}-\frac{1}{2}-\left(0-\frac{1}{2}\right)\\ & =& 2{\mathrm{\pi }}^2-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\ & =& 2{\mathrm{\pi }}^2\end{array}$

Paso 3: Aplica el Teorema del Valor Medio de las integrales para hallar el valor medio de f(x ) sobre el intervalo

$\begin{array}{rcl}f\left(c\right)& =& \frac{1}{2\mathrm{\pi }-0}{\int }_0^{2\mathrm{\pi }}x+\sin \left(2x\right)dx\\ & =& \frac{1}{2\mathrm{\pi }}\left(2{\mathrm{\pi }}^2\right)\\ & =& \mathrm{\pi }\end{array}$

Así, el valor medio que toma f (x) es $\mathrm{\pi }$.

En el paso 2, descubrimos que el área bajo la curva es $2{\mathrm{\pi }}^2$^unidades2. Para hallar el área del rectángulo, multiplicamos la anchura por la altura.

$(2\mathrm{\pi }-0)\left(\mathrm{\pi }\right)=2{\mathrm{\pi }}^2$^unidades2

Por tanto, se cumple el Teorema del Valor Medio para integrales.

Paso 4: Halla el valor xde f(c)

Como $f\left(c\right)=\mathrm{\pi }$ y queremos hallar c, podemos establecer f(x) igual a $\mathrm{\pi }$.

$\mathrm{\pi }=\mathrm{x}+\sin \left(2\mathrm{x}\right)$

Resolviendo gráficamente esta ecuación, encontramos que $x=\mathrm{\pi }$.