Tablas de Integrales

Método de utilización de las Tablas de Integración

La integración puede ser una operación engorrosa. Primero necesitas saber qué método de integración es más adecuado para una integral determinada. Después viene la operación en sí. Quién sabe, ¡quizá necesites hacer la Integración por Partes varias veces! Esto llevaría mucho tiempo y sería complicado.

En lugar de pasar por esta prueba, es más fácil utilizar una Tabla de Integración .

Pero, ¿cómo puedes utilizar una tabla para integrar una función? Las Tablas de Integración contienen fórmulas resumidas para integrales concretas. Lo importante es que identifiques las variables y constantes que están presentes en cada fórmula.

He aquí un ejemplo rápido. Considera la integral

\[ \int \sin{3x} \, \mathrm{d}x.\]

Para resolver esta integral tienes que hacer Integración por Sustitución dejando que

\[u=3x.\]

También tienes que escribir la diferencial \( \mathrm{d}x \) en términos de \( u,\), lo que puedes hacer primero diferenciando

\[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=3,\]

multiplicando esta derivada por \( \mathrm{d}x,\)

\[ \mathrm{d}u=3\,\mathrm{d}x,\]

y aislando \( \mathrm{d}x,\) así

\[\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\mathrm{d}u.\]

Ahora puedes escribir la integral original en términos de \(u\) sustituyendo cada instancia de \( x \) por su equivalente en \( u,\) y cada instancia de \( \mathrm{d}x \) por su equivalente en \( \mathrm{d}u,\) es decir

\[ \comenzar{alinear} \int \sin{3x} \x &= \int (\sin{u})\left(\frac{1}{3}\mathrm{d}u\right) &= \frac{1}{3}int \sin{u} \, \mathrm{d}u, \end].

que es una integral que tiene una fórmula común que puedes comprobar en nuestro artículo Integrales trigonométricas, es decir

\[\int \sin{u} \, \mathrm{d}u = -\cos{u} + C.\]

Sabiendo esto, puedes escribir la integral

\[ \int \sin{3x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3} \left( -\cos{u} + C \right),\]

y luego deshaz la sustitución. Normalmente, la constante de integración se añade al final, por lo que

\[ \iniciar{alinear} \int \sin{3x}\,\mathrm{d}x &= \frac{1}{3} \izquierda( -\cos{3x}\derecha) + C &= -\frac{1}{3}\cos{3x}+C. \fin].

En el ejemplo anterior, al consultar una tabla de integración sobre funciones trigonométricas, lo más probable es que encuentres una fórmula como

\[ \int \sin{ax} \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{a}\cos{ax}+C.\]

En ese caso no necesitas hacer ninguna sustitución \(u-\)pero tienes que identificar que \( a=3.\)

\[ \comenzar{alinear} \int \sin{ax}\,\mathrm{d}x &= \frac{1}{a} \left( -\cos{ax}\right) + C \int \sin{3x} \ \mathrm{d}x &= -\frac{1}{3}\cos{3x}+C. \fin].

La idea principal de utilizar tablas de integración es identificar qué integral de la tabla tiene la misma forma que la que intentas resolver. La integral dada en la tabla ya está resuelta, así que puedes utilizarla como fórmula.

Como hay muchas integrales distintas, las Tablas de Integración suelen desglosarse según el tipo de funciones de que se trate. Aquí veremos algunos ejemplos de las Tablas de Integración más comunes.

Tablas de integración de funciones exponenciales

La integración de funciones exponenciales suele requerir que integres por partes varias veces. En lugar de hacer esto, siempre puedes recurrir a las Tablas de Integración. Éstas pueden contener algunas de las siguientes fórmulas:

\&\int e^{bx},\mathrm{d}x = \frac{1}{b}e^{bx}+C\[0.5em] &\int a^{bx},\mathrm{d}x = \frac{1}{b \ln{a}}a^{bx}+C \quad \text{ para }quad a>0, a\neq 1 \[0.5em] &\int xe^{bx},\mathrm{d}x= \frac{e^{bx}}{b^2}(bx-1)+C\[0.5em]&\int x^2e^{bx}\,\mathrm{d}x= e^{bx}\left( \frac{x^2}{b}-\frac{2x}{b^2}+\frac{2}{b^3}\right)+C \[0. 5em] &\int x^2e^{bx}\b^2}(bx-1) +C5em]&\int xe^{bx},\mathrm{d}x = \frac{1}{2b}e^{bx^2}+C \[0,5em]&\int xe^{-bx},\mathrm{d}x=-\frac{1}{2b}e^{-bx^2}+C\end{align}]

Tablas de integración de funciones trigonométricas

Puede resultar difícil recordar todas las antiderivadas de las principales funciones trigonométricas, por no hablar de algunos casos especiales en los que también intervienen sus potencias. Aquí tienes algunas de las fórmulas más utilizadas que puedes encontrar en distintas Tablas de Integración:

\[ \begin{align}&\int \sin{ax}\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{a}\cos{ax}+C \\[0.5em] xml-ph-0000@deepl.internal &\int \sin^2{ax}\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}-\frac{1}{2a}(\sin{ax})(\cos{ax})+C=\frac{x}{2}-\frac{1}{4a}\sin{2ax}+C\\[0.5em] xml-ph-0000@deepl.internal &\int \cos{ax}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\sin{ax}+C \\[0.5em] xml-ph-0001@deepl.internal &\int \cos^2{ax}\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{2a}(\sin{ax})(\cos{ax})+C=\frac{x}{2}+\frac{1}{4a}\sin{2ax}+C\\[0.5em]&\int \tan{ax},\mathrm{d}x=-\frac{1}{a}{ln{left| \cos{ax}{right \right|}+C=\frac{1}{a}\ln{\left| \sec{ax} \&\int \tan^2{ax},\mathrm{d}x= \frac{tan{ax}}{a}-x+C \[0,5em]&\int (\sin{ax})(\cos{ax})\,\mathrm{d}x= \frac{1}{2a}\sin^2{ax}+C=-\frac{1}{2a}\cos^2{ax}+C\end{align}]

Observa que en algunas de las fórmulas anteriores hay dos formas distintas de escribir las integrales. Están relacionadas por identidades trigonométricas, así que cualquiera de ellas es válida.

Tablas de integración para otras fórmulas

Seguro que hay una gran variedad de integrales. Algunas pueden implicar la Sustitución Trigonométrica, mientras que otras pueden requerir la descomposición de Fracciones Parciales. Aquí tienes más de las fórmulas más comunes que aparecen en las Tablas de Integración:

\[\begin{align} xml-ph-0000@deepl.internal &\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin{\frac{x}{a}}+C \\[0.5em] xml-ph-0001@deepl.internal &\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C\\[0.5em] xml-ph-0000@deepl.internal &\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\mathrm{arcsec}{\,\frac{|x|}{a}}+C\\[0.5em]&\int \qrt{x^2 \pm a^2},\mathrm{d}x= \frac{1}{2}x\qrt{x^2\pm a^2}pm\frac{1}{2}a^2\ln{\left| x+qrt{x^2 \pm a^2} \right \right|}+C\end{align}\]

A veces tendrás que prestar mucha atención a tus integrales para reescribirlas como las fórmulas que aparecen en una tabla.

Tablas de integración de la función gaussiana

No todas las funciones tienen antiderivadas, es decir, no siempre podrás encontrar una función "bonita" para resolver una integral. Tal es el caso de la Función de Gauss

\[ f(x)= e^{-x^2}.\]

No importa qué método de integración intentes utilizar, ¡simplemente no podrás encontrar su antiderivada!

La función anterior es muy importante en Estadística, y evaluando su integral definida

\[ \int_0^b e^{-x^2}\,\mathrm{d}x\]

adquiere una gran relevancia. Como no puedes utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral anterior, en su lugar se evalúa numéricamente, y sus valores se organizan en tablas. Para más información, consulta nuestro artículo sobre la Distribución Normal.