El Teorema del Valor Medio

Se deja caer una pelota desde una altura de 30 m. Su posición en segundos después de dejarla caer se modela mediante la función $s\left(t\right)=-16t^2+100$.

1. ¿Cuánto tarda la pelota en tocar el suelo después de ser lanzada?
2. Halla la velocidad media de la pelota entre el momento en que se suelta y el momento en que toca el suelo.
3. A continuación, halla el tiempo garantizado por el Teorema del Valor Medio cuando la velocidad instantánea de la pelota es igual a la velocidad media de la pelota.

Paso 1: Asegúrate de que s(t) es continua y diferenciable

Antes de utilizar el Teorema del Valor Medio, debemos asegurarnos de que nuestra función cumple los requisitos del teorema.

Como $s\left(t\right)$ es un polinomio, ¡sabemos que es continua y diferenciable en todo el intervalo!

Paso 2: Halla el número de segundos que tarda la pelota en tocar el suelo

La pelota se deja caer desde una altura de 100 pies. Supongamos que el suelo está a 0 pies. Entonces, para saber cuándo la pelota toca el suelo, podemos establecer $s\left(t\right)=0$ y resolver para $t$¡!

$s\left(t\right)=0=-16t^2+100-100=-16t^2\pm \frac{5}{2}=t$

Como nuestro tiempo en segundos no puede ser negativo, la pelota debe tocar el suelo en $\frac{5}{2}$o 2,5, segundos.

Paso 3: Encontrar la velocidad media de la pelota

Utilizaremos el tiempo de lanzamiento de la pelota $t=0$y el tiempo en que la pelota toca el suelo $t=\frac{5}{2}$ (que es el tiempo total que la pelota está en caída libre) para hallar la velocidad media de la pelota en el transcurso de su caída. Haciendo el promedio de ambos valores...

$\begin{array}{rcl}{v}_{avg}& =& \frac{s\left(\frac{5}{2}\right)-s\left(0\right)}{\frac{5}{2}-0}\\ & =& \frac{\left(-16{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+100\right)-\left(-16{\left(0\right)}^2+100\right)}{\frac{5}{2}}\\ & =& \frac{-100}{\frac{5}{2}}\\ & =& -40ft/sec\end{array}$

Por tanto, la velocidad media de la pelota es $40ft/sec$ (hacia abajo) durante el tiempo que está en el aire. Aquí el signo de la velocidad es negativo porque la pelota se desplaza en sentido negativo (en este caso, hacia abajo).

Paso 4: Aplica el Teorema del Valor Medio

El Teorema del Valor Medio afirma que hay al menos un punto en$\left[0,\frac{5}{2}\right]$ segundos en el que la bola tiene una velocidad instantánea de $40ft/sec$ (hacia abajo).

Empezaremos tomando la derivada de la función de posición s(t).

$s\text{'}\left(t\right)=-32t$

$$\begin{gathered} -32t=-40 \\ t=\frac{5}{4} \end{gathered}$$

Así, la bola alcanza una velocidad de -40 pies por segundo en el tiempo $\frac{5}{4}$o 1,25, segundos.

Supongamos que una función f(x) es continua y diferenciable en el intervalo [5, 15]. Dada f(5) = 4 y f'(x)$\le$10. Encuentra el mayor valor posible que puede tomar f(15).

El problema especifica que f(x) es, de hecho, continua y diferenciable. Por tanto, podemos aplicar el Teorema del Valor Medio.

Paso 1: Reordena la ecuación del Teorema del Valor Medio

Buscamos el valor de f(15), o f(b). Así que vamos a reordenar la ecuación para resolver f(b ).

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(c\right)& =& \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\\ f\text{'}\left(c\right)(b-a)& =& f\left(b\right)-f\left(a\right)\\ f\left(b\right)& =& f\text{'}\left(c\right)(b-a)+f\left(a\right)\end{array}$

Paso 2: Introduce los valores conocidos

Si f'(x) tiene un valor máximo de 10, entonces f'(c) también tiene un valor máximo de 10. Por tanto, podemos sustituir f ' (c) por 10 en el Teorema del Valor Medio.

$\begin{array}{rcl}f\left(b\right)& =& 10(15-5)+4\\ & =& 104\end{array}$

Por tanto, el valor máximo que puede tener f(15) es 104.