La regla del trapecio

La regla trapezoidal Definición y fórmula del área

Antes de entrar en cómo se utiliza esta técnica en la práctica, ¡definamos qué es esta regla!

La Regla Trapezoidal estima el área bajo la curva dividiendo la región en subregiones trapezoidales - StudySmarter Original

El área de un trapecio se define como

$\frac{1}{2}\times (\mathrm{distance}\mathrm{between}\mathrm{each}\mathrm{<a\; data-studyset-id="22410069"\; data-summary-id="71927522"\; href="/resumenes/matematicas/matematicas-puras/base/">base</a>})\times (\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{length}\mathrm{of}\mathrm{each}\mathrm{<a\; data-studyset-id="22410069"\; data-summary-id="71927522"\; href="/resumenes/matematicas/matematicas-puras/base/">base</a>})$

Trasladando esta fórmula a la figura anterior, podemos decir que el área del trapezoide situado más a la izquierda se define como

$\frac{1}{2}\times (∆x)\times \left(f\right(x_0)+f(x_1\left)\right)=\frac{∆x}{2}\times \left(f\left(x_0\right)+f\left(x_1\right)\right)$

Análogamente, la fórmula del área del 2º trapecio más a la izquierda se define como

$\frac{1}{2}\times \left(∆x\right)\times \left(f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right)=\frac{∆x}{2}\times \left(f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right)$

La fórmula del área de cada trapecio se formula del mismo modo. La Regla Trapezoidal afirma que podemos estimar el área bajo la curva sumando el área de cada uno de estos trapezoides. La Regla Trapezoidal se obtiene factorizando $\frac{∆x}{2}$ y sumando la longitud de cada base, donde $f\left(x_1\right)$ a través de $f\left(x_{n-1}\right)$ se multiplican por un factor de dos porque son bases compartidas por otros trapezoides.

Entonces, para aproximar la integral definida de una función f(x), la Regla Trapezoidal dice

donde n es el número de trapecios, $∆x=\frac{b-a}{n}$y $x_i=a+i∆x$.

Sobreestimación y subestimación mediante la regla trapezoidal

Vuelve a mirar el gráfico bajo la definición de la Regla Trapezoidal. Observa cómo algunas de las subregiones trapezoidales permanecen bajo el gráfico, mientras que otras subregiones sobresalen por encima del gráfico. Cuando el gráfico es "cóncavo hacia arriba" (el gráfico se curva hacia arriba), las subregiones tienden a sobrestimar el área bajo la curva.

Cuando el gráfico es "cóncavo hacia abajo" (el gráfico se curva hacia abajo), las subregiones tienden a subestimar el área bajo la curva. Basándonos en la concavidad de una función, podemos utilizar esta observación para saber si la Regla Trapezoidal sobrestimará o subestimará el área bajo la curva.

A continuación se muestra un ejemplo gráfico que ilustra la diferencia entre una sobreestimación y una subestimación.

Observa cómo los trapecios se extienden por encima de la función cuando hay una sobreestimación y se sitúan por debajo de la función cuando hay una subestimación - StudySmarter Originals

Límites de error de la regla trapezoidal

Como las técnicas de integración numérica, como la Regla Trapezoidal, son una estimación, calcular el error de esa estimación es increíblemente importante.

Error relativo

Utilizando el sentido común, calculamos el error relativo de un cálculo de la Regla Trapezoidal (dado como porcentaje) mediante la fórmula del error relativo:

donde $T_n$ es la aproximación de la integral con la Regla Trapezoidal y ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ es el área real.

Error absoluto

Además del error relativo, el error absoluto de nuestra aproximación mediante la regla trapezoidal puede calcularse utilizando la fórmula del error absoluto:

$\begin{array}{rcl}Absoluteerror& =& \left|approximation-actual\right|\\ & =& \left|T_n-{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\right|\end{array}$

Límites de error para la regla trapezoidal

Podemos utilizar una fórmula de límite de error que nos indique el área máxima posible de nuestra aproximación. Para la Regla Trapezoidal, la fórmula del límite de error es

$\left|E_T\right|\le \frac{K{\left(b-a\right)}^3}{12n^2}$ para $\left|f\text{'}\text{'}\left(x\right)\right|\le K$

donde $E_T$ es el error exacto de la Regla Trapezoidal y $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ es la segunda derivada de f(x). Esencialmente, K es el valor máximo de la segunda derivada en el intervalo [a, b].

Los usos del límite de error tendrán más sentido cuando veamos algunos ejemplos.

Ejemplos de uso de la regla trapezoidal para estimar la integral

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Regla trapezoidal frente a la regla de Simpson

La estimación de áreas mediante trapezoides y rectángulos utiliza líneas rectas sobre la forma. Al leer el artículo sobre la Regla de Simpson, descubrirás que sustituimos las rectas de los trapezoides y rectángulos por una curva (más concretamente, una curva parabólica). ¡Más información en el artículo sobre la Regla de Simpson!