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Una población de Escherichia Coli, pixabay.com
Al principio, cuando la población es pequeña, sólo habrá unas pocas réplicas. Sin embargo, las bacterias recién replicadas también empezarán a replicarse. Ahora, ¡la población crece a un ritmo más rápido! ¿Cómo puede utilizarse el Cálculo para describir este fenómeno?
La derivada de una función también puede considerarse su Tasa de Cambio. Así que los ejemplos anteriores pueden considerarse funciones cuyas derivadas son directamente proporcionales a sí mismas. Exploremos con más detalle este tipo de función exponencial y su derivada.
Fórmulas de las derivadas de las funciones exponenciales
Veamos los dos casos de derivadas de funciones exponenciales: cuando la base es el número \(e \), y cuando no lo es. Si la base es \(e \)entonces tenemos una función exponencial natural.
Derivada de la función exponencial natural
La función exponencial natural tiene una característica muy peculiar: ¡es su propia derivada! Genial, ¿verdad?
La derivada de la función exponencial natural es la función exponencial natural. Dicho de otro modo,
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x=e^x.$$
Encontrar la derivada de una función exponencial es bastante sencillo. Sólo tienes que tener en cuenta que también tienes que utilizar las Reglas de Diferenciación según los problemas específicos.
Gráfica de la derivada de la función exponencial
Has comprobado que la derivada de la función exponencial natural es ella misma. Esto significa que en la función exponencial natural, ¡la pendiente \( m \) de la recta tangente a cada punto es igual a su valor y!
Fig. 1. Gráfica de la función exponencial con una recta tangente en \(x=1\).
Derivada de cualquier función exponencial
Pero, ¿qué ocurre si la función exponencial tiene una base distinta de \( e \)? ¡Pues que se multiplica por el logaritmo natural de esa base!
Si la base \( b \) de la función exponencial es distinta de \( e\), entonces:
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}b^x=(\ln b)b^x,$$
donde \( b>0,\)
Se considera que la derivada anterior es más general, porque si dejas que \( b=e \), entonces \(\ln{e}=1\), vuelves a la primera regla. Así que ésta cubre tanto el caso en que la base es \( e\) como el caso en que la base son muchos otros números.
Puedes utilizar estas reglas de diferenciación junto con reglas como la Regla de la Cadena y la Regla del Producto para hallar las derivadas de funciones en las que intervienen funciones exponenciales.
Ejemplos de derivadas de funciones exponenciales
Veamos algunos ejemplos de derivadas de funciones exponenciales.
Ejemplos con la regla de la cadena
La regla de la cadena se puede utilizar para hallar la derivada de una función exponencial.
Halla la derivada de \(f(x)=e^{3x}.\)
Responde:
Para hallar esta derivada tendrás que utilizar la Regla de la Cadena. Sea \(u=3x\). Entonces, por la Regla de Potencia, \(u'(x) = 3 \). Así que ahora usando la Regla de la Cadena
$$\begin{align} f'(x) &= \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u} e^u \right)\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\right) \\t(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\right) \t(\frac{\mathrm{d}}(3) \t(e^u )(3) &= 3e^{3x}, \end{align}$$
donde has utilizado el hecho de que la derivada de la función exponencial natural es simplemente la función exponencial natural. Así que \(f'(x) = 3e^{3x}\).
Del mismo modo, puedes hallar la derivada de funciones más complejas.
Halla la derivada de \(g(x)=e^{x^2}.\)
Responde:
Aquí también tendrás que utilizar la Regla de la Cadena. Esta vez, deja que \( u=x^2 \). Utilizando la Regla de Potencia puedes hallar que \( u'(x)=2x \). Ahora puedes hallar la derivada de \( g(x)\) trabajando de forma similar al ejemplo anterior:
$$\begin{align} g'(x) &= \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u} e^u \right) \left( \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}} \right) \\frac( \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}} \\frac( \frac{\mathrm{d}}(2x) &= 2xe^{x^2}. \fin{align}$$
Ejemplos con la regla del producto y la regla del cociente
Empecemos por ver un ejemplo utilizando la Regla del Producto.
Halla la derivada de \( f(x) = x^2 e^x.\)
Responde:
Como esta función es el producto de dos funciones, puedes hallar su derivada utilizando la regla del producto,
$$\begin{align} \frac{mathrm{d}f}{mathrm{d}x} &= \left( e^x \right) \left( \frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}x^2 \right) + \left( x^2 \right) \left( \frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}e^x \right) \ &\= (e^x)(2x)+(x^2)(e^x) &=e^x(x^2+2x). \fin{align}$$
Veamos ahora un ejemplo en el que se utiliza la regla del cociente.
Halla la derivada de \(g(x)=\frac{e^x}{x+1} .\)
Responde:
Esta función implica ahora un cociente de funciones, por lo que necesitas utilizar La Regla del Cociente,
$$\begin{align} \frac{{mathrm{d}g}{mathrm{d}x} &= \frac{(x+1)\left(\frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}e^x\right) -(e^x) \left( \frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}(x+1) \right)}{(x+1)^2}. \\ &= \frac{(x+1)(e^x)-(e^x)(1)}{(x+1)^2}. \$ &= \frac{xe^x}{(x+1)^2}, \end{align}$$
donde has utilizado la Regla de Potencia para hallar la derivada de \(x+1.\)
Errores comunes al diferenciar la función exponencial
No se puede ser totalmente literal cuando se dice que la derivada de una función exponencial es ella misma. Esto sólo se aplica a la función exponencial natural. Veamos un ejemplo.
Halla la derivada de \(f(x)=e^{x^2+x}.\) Un error frecuente es olvidarse de utilizar la Regla de la Cadena:
$$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\neq e^{x^2+x}.$$
Al tomar la derivada utilizando la Regla de la Cadena se obtiene
$$\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=(2x+1)e^{x^2+x}.$$
Otro error es utilizar la Regla de Potencia para diferenciar la función exponencial.
Si observas una función exponencial, puedes pensar en utilizar la Regla de Potencia para hallar la derivada de la función. Sin embargo, ¡esto es un error!
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}3^{2x}\neq (2x)3^{2x-1}$$
Se utiliza la regla de la potencia cuando la variable es la base de la expresión exponencial. Sin embargo, si la variable es el exponente, hay que utilizar la regla de diferenciación de la función exponencial. Además, ¡no olvides utilizar la Regla de la Cadena!
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}3^{2x}=2\left(\ln{3}\right)3^{2x}$$
¡No olvides multiplicar por el logaritmo natural de la base cuando ésta sea distinta de \( e \)!
Halla la derivada de \(5^{2x}.\) La base de esta función exponencial es 5, por lo que no se trata de una función exponencial natural. Otro error frecuente es olvidar multiplicar por el logaritmo natural de la base:
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}5^{2x}\neq (2) 5^{2x}.$$
Como la base de esta función exponencial es distinta de \(e\), también tienes que multiplicar por el logaritmo natural de la base para obtener
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}5^{2x}=2 \left( \ln{5} \right) 5^{2x}.$$
Definición de la derivada de funciones exponenciales
Recuerda que la definición de la derivada de una función implica el límite de la Tasa de Cambio. En otras palabras
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}$$
Puedes reescribir el límite utilizando las propiedades de los exponentes para factorizar \(e^x\), lo que te da
Comienzo \frac {{mathrm{d}} {{mathrm{d}}x}e^x &=lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h} \\y = frac {e^x izquierda( e^h-1 derecha)}{h}. \fin{align}$$
Como \(e^x\) no depende de \( h, \) puede eliminarse del límite, lo que nos da
e^x= e^x \lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h}. $$$
Entonces, tomando el límite
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x=e^x.$$
Te preguntarás por qué
$${lim_{h\rightarrow 0}{frac{e^h - 1}{h} = 1.$$
Para averiguarlo, ¡sigue leyendo el siguiente apartado!
Demostración de las derivadas de las funciones exponenciales
Puedes utilizar la definición de límite para hacer una demostración más formal de la derivada de la función exponencial.
Has utilizado el valor de un límite en nuestra demostración de la derivada de la Función Exponencial natural. Encontrar el valor de este límite puede ser un poco complicado, así que vamos a examinar detenidamente el cálculo.
Aquí encontrarás el valor del límite:
$$L=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^h-1}{h}.$$
Empieza haciendo la siguiente sustitución
$$u=e^h-1$$
Observa que \(u \rightarrow 0 \) como \(h \rightarrow 0.\) Ahora puedes reescribir el límite en términos de \( u \), lo que te da
$$L=\lim_{u\rightarrow 0} \frac{u}{\ln{(u+1)}}.$$
También puedes escribir \(u \) en el numerador dentro del límite como \( \frac{1}{u} \) en el denominador. Además, puedes reescribir esta expresión como el exponente del logaritmo natural utilizando la propiedad de potencia de los logaritmos. (Ver Propiedades de los logaritmos).
$$L=lim_{u \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{1}{u} \ln{(u+1)}} = \lim_{u \rightarrow 0}{frac{1}{ln{(u+1)}^{1 / _u}}$$
A continuación, utiliza las propiedades de los límites para reescribir el límite dentro del logaritmo natural. Puedes hacerlo porque el logaritmo natural es una función continua:
$$L=\frac{1}{\ln{\left( \lim_{u\rightarrow 0}(u+1)^{^1 / _u} \right)}}.$$
El límite resultante dentro del denominador es la definición de la base del logaritmo natural, \( e \), por lo que
$$ L = \frac{1}{\ln{e}}.$$
¡Como \( e \) es la base del logaritmo natural, sabemos que \( \ln{e}=1. \) Has demostrado el límite requerido, y $L=1$!
Demostración de la derivada de una función exponencial general
La prueba para el caso en que la base no sea \( e \) se basa en el hecho de que la función exponencial y la función logaritmo natural son inversas. Esto significa que \( e^{ln{a}}=a.\} ¡Utiliza esto a tu favor!
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} b^x = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^{\ln{b^x}}$$
Ahora puedes utilizar la propiedad de potencia de los logaritmos para reescribir la expresión anterior como
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} b^x = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^{x\, \ln{b}}.$$
A continuación, tienes que utilizar la regla de la cadena y la regla de diferenciación de la función exponencial, que ya has demostrado anteriormente, para obtener
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} b^x = \left( \ln{b} \right)e^{x\ln{b}}.$$
Por último, deshaz el cambio que hiciste en el primer paso. Entonces \(e^{x\ln{b}}=b^x\), lo que significa
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} b^x=\left(\ln{b}\right)b^x.$$
Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
Aquí has visto la derivada tanto de la función exponencial natural como de funciones exponenciales más generales. Como las funciones exponenciales y logarítmicas están relacionadas, también puedes echar un vistazo a la Derivada de las funciones logarítmicas para ver cómo se relacionan sus derivadas.
Derivada de la función exponencial - Puntos clave
- La derivada de la función exponencial natural es la función exponencial natural. Es decir, $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^x = e^x.$$
- Si la base es distinta de \( e, \) entonces: $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} b^x = \left( \ln{b}\right) b^x.$$
- La regla de diferenciación de la función exponencial puede utilizarse junto con la regla de la cadena, la regla del producto y la regla del cociente para hallar la derivada de cualquier función exponencial compleja.
- La demostración de la derivada de la función exponencial puede hacerse utilizando límites.
- Un límite importante utilizado en la demostración de la derivada de la función exponencial es: $$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h}=1.$$
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