Sustitución trigonométrica

Digamos que trabajamos con la integral

\[\int x\mathrm{d}x.\]

Podemos evaluar esta integral como

\[\int x\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}x^2+C\]

Podríamos utilizar la Regla de Sustitución Inversa en esta integral estableciendo \(x=\theta^3), \(\mathrm{d}x=3\theta^2\mathrm{d}\theta\), y \(\theta=\sqrt[3]{x}\). Esto nos daría la integral

\[ \int x\mathrm{d}x = \left.\int \theta^3(3\theta^2)\mathrm{d}\theta\right|_{\theta=cuadrado[3]{x}}=left.\int 3\theta^5\mathrm{d}\theta\right|_{\theta=cuadrado[3]{x}}.\}].

Evaluando esta integral, obtenemos

\[\left.\int 3\theta^5\mathrm{d}\theta\right|_{\theta=\sqrt[3]{x}}=\left.\dfrac{3}{6}\theta^6+C\right|_{\theta=\sqrt[3]{x}}=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt[3]{x}\right)^6+C=\dfrac{1}{2}x^2+C.\]

Por supuesto, en este caso, la sustitución inversa no es algo que quieras hacer. Sin embargo, como demuestra este ejemplo, la Regla de Sustitución Inversa siempre dará la misma solución que otros métodos de integración.

La función \(f(x)=x^2\) no es uno a uno, ya que \(f(2)=2^2=4\) y \(f(-2)=(-2)^2=4\), sino \(2\neq-2\). Gráficamente, esto significa que podemos trazar una recta horizontal que corte a la gráfica de \(f(x)\) en dos puntos distintos.

Fig. 1. Ejemplo de función no unívoca.

En cambio, la función \(g(x)=x^3\) es uno a uno, ya que si \(a^3=b^3\), entonces \(a=b\). Gráficamente, esto significa que no hay ninguna recta horizontal que corte a la gráfica de \(g(x)\) en dos puntos distintos.

Fig. 2. Ejemplo de función uno a uno.

Digamos, una vez más, que intentamos evaluar la integral

\[\int x\mathrm{d}x.\]

Por supuesto, sabemos que esta integral es

\[\int x\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}x^2+C.\]

Pero para simplificar al máximo nuestra integral, decidimos hacer la sustitución \(x=g(\theta)=0\), \(\mathrm{d}x=0\mathrm{d}\theta\). Esta función no es unívoca en ninguna parte. Por ejemplo, mapea \(\dfrac {cuadrado{de{pi}}{17}}) y \(3\) a \(0\), aunque \(\dfrac {cuadrado{de{pi}}{17}}neq 3\).

\[\int x\mathrm{d}x = \left. \C0 = izquierda. C\right|_{\theta=g^{-1}(x)}= C,\]

donde C es alguna constante. Esto es distinto de la respuesta que obtuvimos antes. ¿Qué ha fallado?

El problema de esta sustitución es que \(g^{-1}(x)\) en realidad no existe, ya que \(g\) no es uno a uno. Si \(x\) no es cero, entonces no existe un número \(c\) tal que la función \(g\) asigne \(c\) a \(x\). Si \(x\) es cero, entonces \(g\) asigna todo número real a \(x\), y no hay forma clara de decidir cuál debe ser \(g^{-1}(x)\). Aunque podemos hacer la sustitución \(x=g(\theta)=0\), no podemos deshacerla. Para que la Regla de sustitución funcione, necesitamos poder deshacer la sustitución. De lo contrario, como en este ejemplo, podemos obtener una integral distinta de la original.

Reescribamos la siguiente integral utilizando una sustitución de la forma \(x=a\sin(\theta)\).

\[\int \dfrac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}\mathrm{d}x.\]

Esta integral contiene una expresión de la forma \(\sqrt{a^2-x^2}) donde \(a^2=9\). Como \(a\) debe ser positivo, fijamos \(a=3\) y hacemos la sustitución \(x=3\sin(\theta)\). Si \(x=3\sin(\theta)\), entonces \(\mathrm{d}x=3\cos(\theta)\mathrm{d}\theta), por lo que nuestra integral se convierte en,

\[\begin{align} \x &= \int \dfrac {(3sin(\theta))^2} {{sqrt{9-x^2}}(3cos(\theta))\mathrm{d} {\theta & &= \int \dfrac{27\sin^2(\theta)\cos(\theta)}{3\cos(\theta)}\mathrm{d}\theta \ &= \int 9\sin^2(\theta)\mathrm{d}\theta[end].

Reescribamos la integral \(\int \sqrt{x^2+9}\mathrm{d}x\) utilizando una sustitución de la forma \(x=a\tan(\theta)\).

Esta integral contiene una expresión de la forma \(\sqrt{x^2+a^2}\), donde \(a^2=9\). Como queremos que \(a\) sea positiva, fijamos \(a=3\). Así pues, las sustituciones que queremos hacer son \(x=3\tan(\theta)\), \(\mathrm{d}x=3\sec^2(\theta)\mathrm{d}\theta\). Introduciendo estas sustituciones en la integral, obtenemos

\[\begin{align} \x &= 3int \sqrt{9(\tan^2(\theta)+1)}(\sec^2(\theta))\mathrm{d}\theta &= 3int \sqrt{9(\tan^2(\theta)+1)}(\sec^2(\theta))\mathrm{d}\theta &&= 9\int \sqrt{\sec^2(\theta)}(\sec^2(\theta))\mathrm{d}\theta &= 9\int \sec^3(\theta)\mathrm{d}\theta end{align}]

Reescribamos la siguiente integral utilizando una sustitución de la forma \(x=a\sec(\theta)\).

\[\int \dfrac{\sqrt{x^2-25}}{x}\mathrm{d}x.\]

En este caso, fijamos \(a=5\) y hacemos la sustitución \(x=5\sec(\theta)\), \(\mathrm{d}x=5\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm{d}\theta\) over the range \(\theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right)\cup\left[\pi,\tfrac{3\pi}{2}\right)\):

\π[πiniciar{alinear} \x &= \int \dfrac {cuadrado{x^2-25}} {x} {mathrm{d}x &= \int \dfrac {cuadrado{(5\sec(\theta))^2-25} {5\sec(\theta)}5\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm{d} {theta &= \int \sqrt{25(\sec^2(\theta)-1)}\tan(\theta)\mathrm{d}\theta &= 5 \int ||tan(\theta)||tan(\theta)\mathrm{d}\theta &= 5 \int \tan^2(\theta)\mathrm{d}\thetaend{align}].

Evaluemos la siguiente integral utilizando la sustitución trigonométrica,

\[\int \dfrac{x^2}{\sqrt{9-4x^2}}\mathrm{d}x.\]

En primer lugar, debemos decidir qué sustitución utilizar. Aunque la integral no contiene nada exactamente parecido a ninguna de las tres formas generales enumeradas anteriormente, sí contiene el término \(\sqrt{9-4x^2}\), que se parece a la forma \(\sqrt{a^2-x^2}\). Así pues, intentemos utilizar la sustitución \(x=a\sin(\theta)\).

Nuestro primer paso es reescribir la ecuación para que se parezca más a \(\sqrt{a^2-x^2}\). Para ello, empezamos por hacer una sustitución \(u\) para eliminar el \(4\) del término \(4x^2\). Fijando \(u=2x\) de modo que \(\mathrm{d}u=2\mathrm{d}x\) y \(\mathrm{d}x=tfrac{1}{2}\mathrm{d}u\), obtenemos la integral

\[\begin{align} \int \dfrac{x^2} {{sqrt{9-4x^2}} {{mathrm{d}x &= \int \dfrac{{left(\dfrac{u} {2} {2}right)^2} {{sqrt{9-4\left(\dfrac{u} {2}right)^2} {{dfrac{1} {2}{mathrm{d}u \\\\\}= \dfrac{1}{8}int \dfrac{u^2}{cuadrado{9-u^2}}mathrm{d}u \final{align}\].

Ahora que tenemos un término de la forma \(\sqrt{a^2-u^2}\), podemos hacer la sustitución \(u=a\sin(\theta)\) y \(\mathrm{d}u=a\cos(\theta)\mathrm{d}\theta). En este caso, queremos hacer la sustitución \(u=3\sin(\theta)\) y \(\mathrm{d}u=3\cos(\theta)\mathrm{d}\theta). Encontramos la forma sustituida de esta integral en el apartado Integrales con \( a^2-x^2\). Es

\[\begin{align} \dfrac{1}{8}\int \dfrac{u^2}{qrt{9-u^2}\mathrm{d}u &= \dfrac{1}{8}\int 9\sin^2(\theta)\mathrm{d}\theta &= \dfrac{9}{8}\int \sin^2(\theta)\mathrm{d}\theta \final{align}].

Para calcular esta integral, primero la reescribimos utilizando la identidad \(\sin^2(\theta)=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2\theta))\). (Esta identidad puede deducirse de la fórmula del doble ángulo para el coseno). Haciendo esto se obtiene la expresión

\[ \dfrac{9}{8}\int \sin^2(\theta)\mathrm{d}{d}theta = \dfrac{9}{8}\int \dfrac{1}{2}(1-cos(2\theta))\mathrm{d}{d}theta = \dfrac{9}{16}\int 1-\cos(2\theta)\mathrm{d}{d}theta].

Debemos utilizar otra sustitución \(u\) para eliminar el término \( 2\theta\). Como ya hemos utilizado la variable \(u\), pongamos \(v=2\theta\), \(\mathrm{d}v=2\mathrm{d}\theta\). Sustituyendo, obtenemos

\[ \dfrac{9}{16}{int 1-\cos(2\theta)\mathrm{d}{theta = \dfrac{9}{16}{int (1-\cos(v))\dfrac{1}{2}{mathrm{d}v = \dfrac{9}{32}{int 1-\cos(v)\mathrm{d}v.\}].

Evaluando esta integral, obtenemos que

\[\dfrac{9}{32}\int 1-\cos(v)\mathrm{d}v = \dfrac{9}{32}(v-\sin(v))+C\].

Como estamos trabajando con una integral indefinida, nuestro último paso es expresar nuestro resultado en términos de \(x\). Hicimos bastantes sustituciones para llegar a este punto; para resumir, nosotros

• Establecemos \(u=2x\),
• Establecemos \(u=3\sin(\theta)\),
• Fijamos \(v=2\theta\).

Para reescribir la solución en términos de \(x\), debemos trabajar hacia atrás a través de cada una de estas sustituciones.

En primer lugar, como fijamos \(v=2\theta\), podemos escribir

\[\dfrac{9}{32}(v-\sin(v))+C=\dfrac{9}{32}(2\theta-\sin(2\theta))+C,\]

deshaciendo el último paso de sustitución.

Como hemos sustituido \(u\) por \(\theta\), debemos averiguar cómo sustituir \(\theta\) por \(u\). Recordemos que establecimos \(u=3\sin(\theta)\), por lo que puede ser útil reescribir primero todo en términos de \(\theta)\) utilizando la identidad \(\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)\):

\[\dfrac{9}{32}(2\theta-\sin(2\theta))+C=\dfrac{9}{32}(2\theta-2\sin(\theta)\cos(\theta))+C\]

Podemos reescribir inmediatamente los términos \(\theta\) y \(\sin(\theta)\) en términos de \( u\):

\[\dfrac{9}{32}(2\theta-2\sin(\theta)\cos(\theta))+C=\dfrac{9}{32}\left(2\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-2\dfrac{u}{3}\cos(\theta)\right)+C\]

Nuestro único problema ahora es reescribir \(\cos(\theta)\) en términos de \(u\). Para ello, interpretamos que \(\theta\) es un ángulo de un triángulo rectángulo. Recordemos que \(\sin(\theta)\) puede interpretarse como la longitud del lado del triángulo opuesto a theta dividida por la longitud de la hipotenusa. Como \(\sin(\theta)=\tfrac{u}{3}\), podemos interpretar \(u\) como la longitud del lado opuesto del triángulo y 3 como la longitud de la hipotenusa.

Fig. 7. Sustituciones trigonométricas en triángulos.

Con esta interpretación, podemos escribir inmediatamente que \(\cos(\theta)=\dfrac{sqrt{9-u^2}}{3}.\) Introduciendo esto en nuestra expresión, obtenemos que

\[\begin{align}&\dfrac{9}{32}\left(2\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-2\dfrac{u}{3}\cos(\theta)\right)+C \\&= \dfrac{9}{32}\left(2\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-2\dfrac{u}{3}\dfrac{\sqrt{9-u^2}}{3}\right)+C.\fin].

Simplificando, obtenemos

\[ \begin{align}&\dfrac{9}{32}\left(2\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-2\dfrac{u}{3}\dfrac{\sqrt{9-u^2}}{3}\right)+C \\&= \dfrac{9}{16}\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-\dfrac{1}{16}u\sqrt{9-u^2}+C\end{align}\]

Por último, podemos reescribir la solución en términos de \(x\), utilizando el hecho de que \(u=2x\):

\[ dfrac{9}{16}\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-\dfrac{1}{16}u\sqrt{9-u^2}+C = dfrac{9}{16}\sin^{-1}\left( \dfrac{2}{3}x\right)-\dfrac{1}{8}x\sqrt{9-4x^2}+C].

Por tanto, \[\int \dfrac{x^2} {{sqrt{9-4x^2}} {{mathrm{d}x = \dfrac{9} {16} {sin^{-1} {left( \dfrac{2} {3}x\right)-{dfrac{1} {8}x{sqrt{9-4x^2}+C \]

Evaluemos la siguiente integral utilizando la sustitución trigonométrica

\[\int_0^1 \dfrac{e^x}{e^{2x}+2e^x+2}\mathrm{d}x.\]

Al principio, puede parecer que esta integral no puede evaluarse mediante la sustitución \(u\)-. Sin embargo, si hacemos la sustitución \(u=e^x\), \(\mathrm{d}u=e^x\mathrm{d}x\), obtenemos,

\[\int_0^1 \dfrac{e^x}{e^{2x}+2e^x+2}\mathrm{d}x =\int_1^e \dfrac{1}{u^2+2u+2}\mathrm{d}u].

Completando el cuadrado y utilizando la sustitución \(v=u+1\), \(\mathrm{d}v=\mathrm{d}u\), obtenemos:

\[\begin{align} \int_1^e \dfrac{1}{u^2+2u+2}\mathrm{d}u &= \int_1^e \dfrac{1}{(u^2+2u+1)+1}\mathrm{d}u &= \int_1^e \dfrac{1}{(u+1)^2+1}\mathrm{d}u &= \int_2^{e+1} \dfrac{1}{v^2+1}\mathrm{d}v \end{align}\]

Llegados a este punto, aunque no haya signo de raíz cuadrada, podemos probar a utilizar la sustitución \(v=\tan(\theta)\) y \(\mathrm{d}v=\sec^2(\theta)\mathrm{d}\theta\), en el intervalo \(-\tfrac{pi}{2}le\theta\le\tfrac{pi}{2}) para obtener:

\[\begin{align}\int_2^{e+1} \dfrac{1}{v^2+1}{mathrm{d}v &= \int_{arctan(2)}^{{arctan(e+1)} \dfrac{{sec^2(\theta)}{{tan^2(\theta)+1}{mathrm{d}{theta \ &\= \int_{arctan(2)}^{arctan(e+1)} \dfrac{\sec^2(\theta)}{\sec^2(\theta)} \mathrm{d}theta \ &= \int_{\arctan(2)}^{\arctan(e+1)} 1\mathrm{d}theta \ &= \left.\theta \right|{{arctan(2)}^{{arctan(e+1)} &= \arctan(e+1)-{arctan(2) \\ {approx 0,201 \end{align}\}]