Combinando Reglas de Diferenciación

Estrategia para combinar reglas de diferenciación

Supongamos que tienes la función

\[ f(x) = \left( \frac{x^{2}+4}{x^{3}-3x+6} \right)^{4} + \sqrt{2x-5} \].

¿Cómo puedes hallar su derivada?

Estrategia:

1. Divide la función global en partes, trabajando desde fuera hacia dentro. En este caso, la capa más externa es donde la función principal \( f(x) \) es una suma de dos funciones.

\[\begin{align}f(x) & = \underbrace{ \left( \frac{x^{2}}+4}{x^{3}-3x+6} \right)^{4}} g(x)} + \sqrt{2x-5} }_{h(x)}& = g(x) + h(x)\end{align}\]

Basándote en la regla de la suma de las diferenciaciones, sabes que puedes diferenciar \( g(x) \) y \( h(x) \) por separado y sumarlas después.

2. Ahora, si te fijas en \( g(x) \), la capa más externa de esta función es algo a la potencia de \( 4 \). Puedes escribirlo como

\[\begin{align}g(x) & = \left[ \underbrace{ \left( \frac{x^{2}}+4}{x^{3}-3x+6} \right) }_{u(x)} \right]^{4}. \\& = \left( u(x) \right)^{4}\end{align}\]

Esta simplificación te demuestra que \( g(x) \) es una composición de funciones. ¿Recuerdas cómo diferenciar una composición de funciones?

Exacto, ¡la regla de la cadena!

3. Siguiendo el patrón que has iniciado en los dos pasos anteriores, quieres seguir eliminando capas de complejidad de la función original, \( f(x) \), hasta que todo lo que quede sean las funciones elementales que sabes diferenciar. El desglose siguiente te muestra cómo puedes hacerlo:

La descomposición de una función en sus partes elementales - StudySmarter Originals

Si te fijas en las cinco expresiones de la parte inferior del árbol

1. \( x^{2} + 4 \);
2. \( x^{3} - 3x + 6 \);
3. \( u^{4} \);
4. \(el cuadrado de v); y
5. \( 2x - 5 \),

puedes ver que todas ellas son expresiones que sabes diferenciar utilizando una de las siete reglas de diferenciación.

Si aplicas las reglas de diferenciación correctas a cada expresión en cada etapa de la descomposición, verás que puedes hallar la derivada incluso de las funciones más complicadas.

Halla la derivada de un polinomio utilizando las reglas de la suma, del múltiplo constante, de la potencia y del producto.

Dada la función

\f(x) = 4g(x)+x^{3}h(x)].

Halla \( f'(x) \).

Solución:

1. El primer paso en cualquier problema de diferenciación es analizar la función dada y determinar qué reglas quieres aplicar para hallar la derivada.

• Observando la capa más externa de complejidad, ves que \( f(x) \) es una suma de dos funciones. Por tanto, necesitas utilizar la regla de la suma.
• Cuando observas estas dos funciones por separado, ves que la primera, \( 4g(x) \), es una constante multiplicada por una función, y la segunda, \( x^{3}h(x) \), es un producto de dos funciones. Por tanto, para diferenciarlas, necesitas utilizar la regla de la constante múltiple para la primera función y la regla del producto para la segunda.
• Por último, ves que para diferenciar el \( x^{3} \) de la segunda función, debes utilizar la regla de la potencia.

2. Empezando por la capa más externa de complejidad, aplica la regla de la suma.

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 4g(x)+x^{3}h(x) \right) = \frac{d}{dx} \izquierda( 4g(x) \derecha) + \frac{d}{dx} \left( x^{3}h(x) \right) \].

3. Pasando al siguiente nivel de complejidad, aplica la regla del múltiplo constante para diferenciar \(4g(x)\) y la regla del producto para diferenciar \(x^{3}h(x)\).

\[ f'(x) = 4 \frac{d}{dx} (g(x)) + \left( \frac{d}{dx} \left( x^{3}\right) \cdot h(x) + \frac{d}{dx} \left( h(x) \right) \cdot x^{3} \right \derecha)

4. Por último, toma las derivadas (utilizando la regla de la potencia para \( x^{3} \)) y simplifica.

\[ \bf{ f'(x) } = \bf{ 4g'(x) + 3x^{2}h(x) + h'(x)x^{3} } \]

Combinando las reglas del producto y del cociente (y algunas otras).

Dada la función

\[ f(x) = \frac{5x^{2}g(x)}{3x+2} \]

Halla \( f'(x) \).

Solución:

1. De nuevo, el primer paso es analizar la función dada y determinar qué reglas quieres aplicar (y el mejor orden para aplicarlas) para hallar la derivada.

• Como se trata de una función racional, sabes que tendrás que utilizar la regla del cociente. Y, como la capa más externa de complejidad de \( f(x) \) es la división de dos funciones, debes aplicar primero la regla del cociente.
• Si te fijas en la función del numerador, verás que es un producto de dos funciones, por lo que aquí necesitas la regla del producto .
  • Desglosando la función del numerador, ves que necesitas la regla de la potencia para hallar la derivada de \( 5x^{2} \).
• Si observas la función en el denominador, puedes ver que su derivada es sencilla de hallar utilizando las reglas del múltiplo constante y de la constante.

2. Empezando por la capa más externa de complejidad, aplica la regla del cociente.

\[ f'(x) = \frac{ \frac{d}{dx} \izquierda( 5x^{2}g(x) \derecha) (3x+2) - \frac{d}{dx} (3x+2) \izquierda( 5x^{2}g(x) \derecha)}{izquierda( 3x+2 \derecha)^{2}}. \]

3. Ahora puedes aplicar la regla del producto para hallar \( \frac{d}{dx} \left( 5x^{2}g(x) \right) \). Al mismo tiempo, puedes aplicar las reglas del múltiplo constante y de la constante para hallar la derivada: \( \frac{d}{dx} (3x+2) = 3 \).

\[ f'(x) = \frac{ izquierda( \frac{d}{dx} \left( 5x^{2} \right)g(x) + g'(x) \left( 5x^{2} \right) \right)(3x+2) - 3 \left( 5x^{2}g(x) \right) }{left( 3x+2 \right)^{2}}. \]

4. A partir de aquí, puedes aplicar la regla de la potencia para hallar la derivada de \( 5x^{2} \).

\[ f'(x) = \frac{ \left( 10x g(x) + g'(x) \left( 5x^{2} \right) \right)(3x+2) - 3 \left( 5x^{2}g(x) \right) }{left( 3x+2 \right)^{2}}. \]

Ahora puedes detenerte aquí, ya que has hallado la derivada, o puedes ampliar y simplificar la ecuación. La forma simplificada de esta derivada es

\[ \bf{ f'(x) } = \bf{ \frac{15x^{3}g'(x)+15x^{2}g(x)+10x^{2}g'(x)+20xg(x)}{ \left( 3x+2 \right)^{2}}. } \]

Combinando las reglas de la cadena y de la potencia.

¿Cuál es la derivada de la siguiente función?

\[ f(x) = \frac{1}{ \left( 3x^{2}+1 \right)^{2} } \]

Solución:

1. Antes de que empieces a utilizar aquí las reglas de derivación, hay una simplificación algebraica que puedes utilizar para que te resulte más fácil utilizar la regla de la cadena. Reescribe la función como

\[ f(x) = \left( 3x^{2}+1 \right)^{-2} \].

2. Divide la función en sus partes elementales:

\Comienzo:f(x) &= izquierda( 3x^2}+1 derecha) {g(x)} {derecha)^2}&= izquierda( g(x) {derecha)^2} fin: \]

3. Ahora tienes \( f(x) \) en la misma forma que la regla de la potencia para una composición de funciones. Así pues, el siguiente paso es trabajar desde fuera hacia dentro, aplicando primero la regla de la potencia para una composición de funciones y luego la regla de la potencia sobre \( 3x^{2}+1 \) para hallar la derivada.

\[ \begin{align}f'(x) &= n \left( g(x) \right)^{n-1} g'(x) \&= -2 \left( 3x^{2}+1 \right)^{-2-1} \frac{d}{dx} \izquierda( 3x^{2}+1 derecha)&= -2 izquierda( 3x^{2}+1 derecha)^{-3} (6x) end{align} \]

4. Es una mala práctica dejar exponentes negativos, así que el paso final es reescribir la derivada de la función sin exponentes negativos:

\[ \bf{ f'(x) } = \bf{ \frac{-12x}{ \left( 3x^{2}+1 \right)^{3} } \]

Combinando las reglas de la cadena y de la potencia con una función trigonométrica.

¿Cuál es la derivada de la siguiente función?

\[ f(x) = sen^{3}(x) \]

Solución:

1. El primer paso aquí es recordar que \( sen^{3}(x) = (sen(x))^{3} \). Reescribe la función como

\[ f(x) = (sen(x))^{3} \].

2. A partir de aquí, puedes ver que es de la forma \( f(x) = \left( g(x) \right)^{n} \), así que puedes aplicar aquí la regla de la potencia para una composición de funciones y hallar la derivada.

\[ \begin{align}f'(x) &= n \left( g(x) \right)^{n-1} g'(x) \&= 3 (sen(x))^{3-1} \frac{d}{dx}sin(x) \&= 3 (sen(x))^{2} cos(x) \\bf{ f'(x) } &= \bf{ 3sin^{2}(x) cos(x) }\end{align}\]

Combinación de la regla de la cadena conuna función coseno general.

¿Cuál es la derivada de la siguiente función?

\[ h(x) = cos \izquierda(g(x) \derecha) \]

Solución:

1. En este caso, primero es útil pensar en \( h(x) = cos \left(g(x) \right) \) como \( h(x) = f(g(x)) \). Al hacer esto, tienes

\[ f(x) = cos(x) \]

2. ¿Cuál es la derivada de \( cos(x) \)? ¡Es \( -sin(x) \)! Usando esto, ahora tienes

\[ f'(g(x)) = -sin(g(x)) \]

3. Ahora puedes aplicar la regla de la cadena.

\[ h'(x) = f'(g(x))g'(x) \]

4. Por último, sustituye \( f'(g(x)) = -sin(g(x)) \).

\[ \bf{ h'(x) } = \bf{ -sin(g(x))g'(x) } \]

La regla de la cadena con una función coseno.

Utilizando la regla que has obtenido en el ejemplo anterior, ¿cuál es la derivada de la siguiente función?

\[ h(x) = cos \left( 5x^{2} \right) \]

Solución:

1. Siguiendo el ejemplo anterior, piensa en \( 5x^{2} \) como \( g(x) \).

\[ \mbox{ si } g(x) = 5x^{2}, \mbox{ entonces } g'(x) = 10x \]

2. Ahora, utilizando el resultado del ejemplo anterior:

\[ \begin{align}h'(x) &= -sin(g(x))g'(x) \&= -sin \left( 5x^{2} \right) \cdot 10x \\bf{ h'(x) } &= \bf{ (-10x)sin \left( 5x^{2} \right) }\end{align} \]

Utiliza las reglas de diferenciación para hallar la derivada de una composición de 3 funciones.

¿Cuál es la derivada de la siguiente función?

\[ k(x) = cos^{4} \left( 7x^{2} + 1 \right) \]

Solución:

1. Reescribe \( k(x) \) para que sea más fácil trabajar con ella.

\[ k(x) = \left( cos \left( 7x^{2} + 1 \right) \right)^{4} \]

2. Aplica la regla de la cadena varias veces seguidas hasta hallar la derivada.

\[ \begin{align}k'(x) &= 4 \left( cos \left( 7x^{2} + 1 \right) \right)^{3} \izquierda( \frac{d}{dx} \&= 4 \left( cos \left( 7x^{2} + 1 \right) \right)\right)^{3} \izquierda( -sin izquierda( 7x^2} + 1 derecha) derecha) izquierda( \frac{d} {dx} \izquierda( 7x^2} + 1 \derecha) \derecha) \&= 4 \izquierda( cos \izquierda( 7x^2} + 1 \derecha) \derecha)^{3} (14x) \left( -sin \left( 7x^{2} + 1 \right) \right) (14x) \left( -sin \left( 7x^{2} + 1 \right) \right) (14x)\end{align} \]

3. Simplifica la respuesta.

\[ \bf{ k'(x) } = \bf{ -56x \, sen \left( 7x^{2} + 1 \right) cos^{3} \izquierda( 7x^{2} + 1 derecha) } \]

Utiliza las reglas de diferenciación para hallar la derivada de una función polinómica en un punto.

¿Cuál es la derivada de la siguiente función en el punto \( (1, -4) \)?

\[ f(x) = (x-5)(x-2)^{6} \]

Solución:

1. Piensa en el curso de acción que quieres seguir.

• Como se trata de un polinomio factorizado, podrías expandir y simplificar el polinomio, y luego tomar las derivadas de cada componente, pero ¿sería ése el método más eficiente?
  • La respuesta corta es no, no lo es.
  • En lugar de eso, es más eficiente (es decir, más rápido y fácil) considerar \( f(x) \) como un producto de dos funciones:

\[ \begin{align}f(x) &= \underbrace{(x-5)}_{g(x)} \underbrace{(x-2)^{6}}_{h(x)} \begin{align}&= g(x)h(x)\end{align} \]

2. Para utilizar la regla del producto para hallar esta derivada, primero necesitas saber qué son \( g'(x) \) y \( h'(x) \).

• La primera función, \( g(x) = x-5 \), es una función elemental. Puedes diferenciar esta función utilizando la regla de la potencia para obtener

\[ g'(x) = 1 \]

• La segunda función, \( h(x) = (x-2)^{6} \), es una composición de funciones. Puedes descomponerla así

\[ \begin{align}h(x) &= {\underbrace{(x-2)}_{v(x)} }^{6}\&= (v(x))^{6}\end{align} \]

• Entonces, si dejas que \( u(x) = x^{6} \) y \( v(x) = x-2 \), entonces \( h(x) = u(v(x)) \). Puedes diferenciar esto utilizando la regla de la cadena.
  • Pero, para utilizar aquí la regla de la cadena, primero tienes que hallar \( u'(x) \) y \( v'(x) \).
    • Utilizando la regla de la potencia, \( u'(x) = 6x^{5} \).
    • Utilizando las reglas del múltiplo constante y de la constante, \( v'(x) = 1 \).
  • Sustituyendo \( u'(x), v'(x) \), y \( v(x) \) en la regla de la cadena para resolver \( h'(x) \), obtienes:

\[ \begin{align}h'(x) &= u'(x-2) \cdot 1 \&= 6(x-2)^{5}\end{align}\].

3. Con \( g'(x) \) y \( h'(x) \) hallados, puedes sustituir lo siguiente en la regla del producto:

• \g(x) = x-5
• \( h(x) = (x-2)^{6} \)
• \g'(x) = 1 \)
• \( h'(x) = 6(x-2)^{5} \)

4. Una vez sustituido, obtienes

\[ \begin{align}f'(x) &= g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \&= 1 \cdot (x-2)^{6} + (x-5) \cdot 6(x-2)^{5} \\&= (x-2)^{5} \izquierda( (x-2) + 6(x-5) derecha)&= (x-2)^{5} (7x-32)\end{align} \]

5. Ahora que tienes la derivada de la función, todo lo que tienes que hacer es evaluar la derivada en el punto \( (1, -4) \). Para ello, sustituyes la coordenada x del punto en la derivada de la función y resuelves.

\[ \begin{align}\left. f'(x) \right|_{x=1} &= (1-2)^{5} (7 \cdot 1 - 32)&= (-1)^{5} (-25)&= 25\end{align}\]

6. Por tanto

\[ \bf{ \left. f'(x) \right|_{x=1} } = \bf{ 25 } \bf]

Utiliza las reglas de diferenciación para hallar la derivada de una función racional en un punto.

¿Cuál es la derivada de la siguiente función en el punto \( (1, -1) \)?

\[ y = \frac{-2x}{\sqrt{3x^{2}+1}} \]

Solución:

1. Piensa en el curso de acción que quieres seguir.

• ¿Cuál es el método más eficaz para hallar la derivada?
  • En este caso, la capa más externa de complejidad es el hecho de que la función dada es un cociente de dos funciones.

\[ \begin{align}y &= \frac{ \overbrace{-2x}^{u(x)} }{ \underbrace{\sqrt{3x^{2}+1}}_{v(x)} } \\&= \frac{u(x)}{v(x)}\end{align}\]

2. Lo primero que querrás hacer es utilizar la regla del cociente, donde \( u(x) = -2x \) y \( v(x) = \sqrt{3x^{2}+1} \).

• Pero, para usar la regla del cociente, necesitas hallar \( u'(x) \) y \( v'(x) \).
  • Utilizando la regla del múltiplo constante, \( u'(x) = -2 \).
  • \( v(x) \) es una composición de funciones: \( f(x) = \sqrt{x} \) y \( g(x) = 3x^{2}+1 \), por lo que tendrás que utilizar la regla de la cadena para hallar \( v'(x) \).
    • Utilizando la regla de la potencia, \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ ) y \( g'(x) = 6x \).
  • Sustituyendo \( f'(x), g'(x), g(x) \) en la regla de la cadena obtienes

\[ v'(x) = \frac{3x}{\sqrt{3x^{2}+1}} \].

3. Sustituye lo siguiente en la regla del cociente:

• \( u(x) = -2x \)
• \( v(x) = \sqrt{3x^{2}+1} \)
• \(u'(x) = -2)
• \v'(x) = frac{3x} {cuadrado} de {3x^2}+1} \)

\[ \begin{align}y' &= \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^{2}} \\&= \frac{-2 \sqrt{3x^{2}+1}+2x \frac{3x}{\sqrt{3x^{2}+1}}{3x^{2}+1}\end{align} \]

4. Multiplica el numerador y el denominador por \( \sqrt{3x^{2}+1} \) para simplificar esta fracción:

\[ \begin{align}y' &= \frac{-2 \sqrt{3x^2}+1}+2x \frac{3x}{\sqrt{3x^2}+1}}{3x^2}+1} \cdot \frac{\sqrt{3x^{2}+1}}{\sqrt{3x^{2}+1}} \\&= \frac{-2 \izquierda( 3x^{2}+1 \derecha) + 2x \cdot 3x}{(3x^2 + 1) \sqrt{3x^{2}} + 1}} \&= \frac{-6x^{2}-2+6x^{2}}(3x^2 + 1) \sqrt{3x^{2}} + 1}} \&= \frac{-2}{(3x^2 + 1) \qrt{3x^{2} + 1}}\end{align} \]

5. Ahora que tienes la derivada de la función, todo lo que tienes que hacer es evaluar la derivada en el punto \( (1, -1) \). Para ello, sustituyes la coordenada x del punto en la derivada de la función y resuelves.

\[ \begin{align}\left. y'(x) \right|_{x=1} &= \frac{-2}{(3(1)^2 + 1) \sqrt{3(1)^{2}} + 1}} \\&= \frac{-2}(3 + 1) \tr3 + 1}} \\&= \frac{-1}{4}\end{align}\]

6. Por tanto

\[ \bf{ \left. y'(x) \right|_{x=1} } = \bf{ \frac{-1}{4} } \bf]