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El mismo proceso ocurre con los polinomios de Taylor. ¿Cuál es el peor caso para la distancia que separa al polinomio de Taylor del valor real de la función? El límite de error de Lagrange es el peor de los casos. Una vez que lo tengas claro, ¡tendrás una forma garantizada de comprobar que tu serie de Taylor converge!
Definición del límite de error de Lagrange
Hagamos primero un pequeño repaso. Necesitarás la definición del polinomio de Taylor.
Sea \(f\) una función con al menos \(n\) derivadas en \(x=a\). Entonces, el polinomio de Taylor de orden \(n^ésimo) centrado en \(x=a) viene dado por
\T_n(x) T_n(x)&=f(a)+\frac{f'(a)(x-a)}{1!}+\frac{f''(a)(x-a)^2}{2!}+\dots\\ & \quad +\frac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!}. \fin{align}\}]
Una vez que sabes definir un polinomio de Taylor, puedes definir la serie de Taylor.
Sea \( f \) una función que tiene derivadas de todos los órdenes en \( x=a \). La serie de Taylor para \( f \) en \( x=a \) es
\T(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n , \]
donde \( f^(n)} \) indica la derivada \( n^{\text{th}}) de \( f \), y \( f^(0)}\) es la función original \( f\).
El gran problema es que necesitas una forma de saber si la serie de Taylor converge. Puedes hallar el error real entre la función y el polinomio de Taylor, ¡pero en muchos casos eso puede ser todo un reto! Lo que necesitas es una forma de averiguar lo grave que es el error. ¡Ahí es donde entra en juego el error de Lagrange!
Sea \( f \) una función que tiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo abierto \(I\) que contiene \( x=a \). Entonces la forma de Lagrange del resto del polinomio de Taylor, también conocido como error de Lagrange, para \(f\) centrada en \(a\) es
\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \]
donde \(c\) está entre \(x\) y \(a\).
Veamos qué puede hacer por ti el error de Lagrange.
Fórmula para el límite del error de Lagrange
Una vez que sepas qué es el error de Lagrange, puedes empezar a ver lo útil que puede ser. Empieza por ver el Teorema de Taylor con resto.
Teorema de Taylor con resto
Sea\( f \) una función que tiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo abierto \(I\) que contiene a \( x=a \). Entonces, para cada entero positivo \(n\) y para cada \(x\) en \(I\),
\f(x) = T_n(x) + R_n(x)\].
para algún \(c\) está entre \(x\) y \(a\).
Si te fijas bien, verás que la definición del error de Lagrange dice que \(c\) está entre \(x\) y \(a\), pero el Teorema de Taylor con Resto te da algo más. Dice que para algún valor de \(c\) entre \(x\) y \(a\), ¡la función es en realidad igual a la suma del polinomio de Taylor y el error de Lagrange!
Así que si quieres saber a qué distancia están una función y su polinomio de Taylor, basta con que mires el error de Lagrange.
El límite del error de Lagrange es el mayor valor que toma el error de Lagrange dada la función \(f\) y el intervalo \(I\).
Esto significa que la fórmula del límite del error de Lagrange para una función dada \(f\), un intervalo \(I\) y un punto \(a\) en el intervalo es
\[ |R_n(x)| = \max\limits_{x\in I}|left| \frac{{f^(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}} \right|, \]
y sabes por su definición que
\[|R_n(x)| |le \max\limits_{x\en I} \left| \frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \ derecha| .\]
¡Ahora tienes una forma de saber si la serie de Taylor converge!
Si \(R_n(x) \a 0\) como \(n \a \infty\) para todo \(x\) en \(I\), entonces la serie de Taylor generada por \(f\) en \(x=a\) converge a \(f\) en \(I\), y esto se escribe como
\f(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n .\]
Observa que en la definición de la serie de Taylor no escribías \(f(x) = \text{serie}\) porque no sabías si la serie convergía realmente. Observando el error de Lagrange puedes saber si la serie converge realmente. Antes de seguir, veamos algunos ejemplos.
Ejemplo de límite de error de Lagrange
Hay algunas propiedades que pueden tener la función y el intervalo que harán que encontrar el límite de error de Lagrange sea aún más sencillo que el definido anteriormente:
si el intervalo está centrado en \(x=a\) puede escribirse como \(I=(a-R,a+R)\) para algún \(R>0\), entonces \(|(x-a)^{n+1} |\R^{n+1}\); y
si \(f^(n+1)}(x) |le M\) en \(I\) para algún \(M>0\) (en otras palabras, las derivadas están acotadas), entonces \(|f^(n+1)}(c) |<M\) en \(I\);
entonces puedes concluir que
\[|R_n(x) |le M\frac{R^{n+1}}{(n+1)!}.\]
Veamos un ejemplo que aplique esta conclusión.
¿Cuál es el error máximo al hallar un polinomio de Maclaurin para \(\sin x\) en el intervalo \( \left[ -\dfrac{pi}{2}, \dfrac{pi}{2} \right]\)? ¿Qué puedes concluir sobre la serie de Maclaurin para \(\sin x\)?
Solución:
En primer lugar, recuerda que un polinomio de Maclaurin no es más que un polinomio de Taylor centrado en \(x=0\). Observando algunas de las derivadas de \(f(x)=\sin x\) junto con sus valores de función en \(x=0\) obtienes:
\[ \begin{array}{ccc} &f(x) = \sin x & \quad \quad & f(0) = 0\\\f'(x) = \cos x & \quad \quad & f'(0)= 1 \f''(x) = -\sin x & \quad \quad & f''(0)=0 \\f''(x) = -\cos x & \quad \quad & f'''(0)= -1 \f^{(4)}(x) = \sin x & \quad \quad & f^{(4)}(0) = 0. \fin{array} \]
Como puedes ver, vuelve al principio de la lista cuando llegas a la derivada \(4^{text{th}}). Así que el polinomio de Maclaurin de orden \(n\) para \(\sin x\) es
\T_n(x) &= T_n(x). T_n(x) &= 0 + \frac{1}{1!}x + 0 + \frac{-1}{3!}x^3 + 0 + \frac{-1}{3!}x^3 + 0 + \frac{-1}{3!}x^3 + 0 + \frac{-1}{3!}{3!} & \frac{-1} + 0 + \frac{-1}{3!}x^3 + 0 \\ f^(n)}(0)}{n!}x^n & \text{ si } n \text{ es impar} \fin{casos} \end{align}\]
y el error de Lagrange tendrá una fórmula distinta dependiendo de si \(n\) es par o impar también.
Sin embargo, lo que quieres es encontrar el error máximo, ¡y eso desde luego no va a ocurrir cuando el término de error sea cero! Este polinomio está centrado en \(x=0\), y el intervalo es
\izquierda[ -dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} derecha].
Es decir, \(R = \frac{\pi}{2}\). Como todas las derivadas implican seno y coseno, también sabes que
\[|f^{(n+1)}(c) |<1\]].
para cualquier \(c\) en el intervalo \(I\). Por tanto,
\[\ncomienza{align} |R_n(x) | &\le M\frac{R^{n+1}}(n+1)!} \\ &= 1\cdot \dfrac {izquierda(\dfrac{pi}{2}|derecha)^{n+1}}. }{(n+1)!} \\ &= izquierda(\dfrac{pi}{2}derecha)^{n+1} \frac{1}{(n+1)!}, \end{align}\]
y ése es el error máximo.
Te gustaría sacar una conclusión sobre la serie de Maclaurin para \(\sin x\). Para ello tienes que mirar
\[\limits_{n\a\infty} |R_n(x) = límites entre n e infty \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{n+1} \frac{1}{(n+1)!} .\]
Como esta secuencia converge a \(0\) a medida que \(n \a \infty\), puedes concluir que la serie de Maclaurin sí converge. De hecho, la serie de Maclaurin es igual a la función en todo el intervalo \ ( \left[ -\dfrac{pi}{2}, \dfrac{pi}{2} \right]\).
Para recordar las secuencias y su convergencia, consulta Secuencias y Límite de una secuencia
Veamos la idea desde un ángulo ligeramente distinto.
Cuando estás estimando
\[\sin \left(\dfrac{\pi}{16}\right)\]
utilizando el polinomio de Maclaurin, ¿cuál es el grado más pequeño del polinomio que garantiza que el error será menor que \(\dfrac{1}{100}\)?
Solución:
Por el ejemplo anterior sabes que el error en el intervalo \ ( \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]\) tiene la propiedad de que
\[|R_n(x) |left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{n+1} \frac{1}{(n+1)!} \[\].
Quieres que ese error sea menor que \(\dfrac{1}{100}\}), o dicho de otro modo, que
\[ \frac{1}{(n+1)!} < \frac{1}{100}}.
Por desgracia, ¡resolver \(n\) es todo un reto! Así que lo único que puedes hacer es probar valores de \(n\) y ver cuál hace que el límite de error de Lagrange sea suficientemente pequeño.
Pero, ¿y si no tienes una calculadora a mano? En realidad, el problema es que el intervalo es demasiado grande, lo que hace que \(\dfrac{\pi}{2} >1\). ¿Puedes cambiar el intervalo de modo que \(\dfrac{\pi} {16} \) esté dentro del intervalo, pero el límite sea menor? ¡Claro que sí!
El error máximo al encontrar un polinomio de Maclaurin para \(\sin x\) en el intervalo \( \left[ -\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4} \right]\) tiene la propiedad de que
\[|R_n(x) |left(\dfrac{\pi}{4}\right)^{n+1} \frac{1}{(n+1)!} ,\].
donde has utilizado la misma técnica que en el ejemplo anterior. Entonces
\[ \dfrac{\pi}{16} \en \ izquierda[ -\dfrac{pi}{4}, \dfrac{pi}{4} {derecha] \]
y
\[ \dfrac{\dfrac{pi}{4} < 1, \]
por lo que
\ [Inicio |R_n(x) | &\le \left(\dfrac{\pi}{4}\right)^{n+1} \frac{1}{(n+1)!} \\ &< ¡frac{1}{(n+1)!}. \end{align}\]
Ahora tienes que asegurarte de que el error es lo suficientemente pequeño, lo que significa que necesitas que
\[ \frac{1}{(n+1)!} < \frac{1}{100},\]
que es mucho más fácil de calcular. De hecho, si tomas \(n=4\) obtienes que
\[ \frac{1}{(4+1)!} = \frac{1}{5!} = \frac{1}{120} < \frac{1}{100}.\]
Esto podría hacerte pensar que necesitas un polinomio de Maclaurin de grado \(4^), ¡pero ya sabes que los términos pares del polinomio de Maclaurin son cero! Entonces, ¿eliges \(n=3\) o \(n=5\) para asegurarte de que el error es lo suficientemente pequeño, ya que el polinomio de Maclaurin es el mismo para \(n=3\) y \(n=4\)? Si quieres una garantía absoluta de que el error va a ser lo suficientemente pequeño, utiliza \(n=5\).
Si compruebas los errores reales
\[ \begin{align} \left|T_3\left(\dfrac{\pi}{16}\right) - \sin \left(\dfrac{\pi}{16}\right) \right|&= \left| \frac{1}{1!}left(\dfrac{\pi}{16}\right) + \frac{-1}{3!izquierda(16) derecha) ^3 - seno izquierda(16) derecha) derecha &= izquierda(16) derecha - (16) derecha) ^3 - seno izquierda (16) derecha (0,0000024 aproximadamente, fin].
que es bastante menor de lo que necesitabas.
¿Habría sido lo bastante pequeño si hubieras tomado \(n=1\)? En ese caso
\[ \ inicio ¡\left|T_1\left(\dfrac{\pi}{16}\right) - \sin \left(\dfrac{\pi}{16}\right) \right|&= \left| \frac{1}{1!izquierda(16) derecha) - sin izquierda(16) derecha) derecha & aproximadamente 0,00126, fin]].
por lo que incluso eso es menor que el error que te dieron. El problema, por supuesto, es hacer la aproximación sin utilizar una calculadora.
Te habrás dado cuenta de que la serie de Maclaurin del ejemplo de la función seno es una serie alterna. Entonces, ¿cómo se compara el límite de error de la serie alterna con el límite de error de Lagrange?
Límite de error de la serie alterna frente al límite de error de Lagrange
Cuidado, ¡el límite de error de Lagrange y el límite de error de la serie alterna no son lo mismo!
Dada una serie
\[ f(x) = \suma límites_{n=1}^infty a_nx^n\]
donde los signos de \(a_n\) se alternan, entonces el límite de error tras el término \(x^n\) es
\[ \text{error de la serie alterna} = \left| a_{n+1}x^{n+1}\right|.\}].
Observa que el límite del error de la serie alterna no contiene ninguna derivada. Incluso si se trata de una serie de Maclaurin, el límite de error de la serie alterna y el límite de error de Lagrange pueden dar límites distintos, porque uno implica potencias de \(x\) y el otro implica derivadas de la función y potencias de \(x\).
Prueba del límite de error de Lagrange
La prueba del límite de error de Lagrange consiste en integrar repetidamente el límite de error y compararlo con el polinomio de Taylor. Ni que decir tiene que esto puede volverse técnico y complicado con bastante rapidez, por lo que no incluimos aquí la demostración.
Límite de error de Lagrange - Puntos clave
Sea \( f \) una función que tiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo abierto \(I\) que contiene a \( x=a \). Entonces la forma de Lagrange del resto del polinomio de Taylor, también conocido como error de Lagrange, para \(f\) centrada en \(a\) es
\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \]
donde \(c\) está entre \(x\) y \(a\).
El límite del error de Lagrange es el mayor valor que toma el error de Lagrange dada la función \(f\) y el intervalo \(I\).
Si \(R_n(x) \a 0\) como \(n \a \infty\) para todo \(x\) en \(I\), entonces la serie de Taylor generada por \(f\) en \(x=a\) converge a \(f\) en \(I\), y esto se escribe como
\f(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n .\]
Si el intervalo está centrado en \(x=a\) puede escribirse como \(I=(a-R,a+R)\) para algún \(R>0\), entonces \(|(x-a)^{n+1} |\R^{n+1}\), y si \(f^(n+1)}(x) \le M\) en \(I\) para algún \(M>0\) entonces \(|f^(n+1)}(c) |<M\) en \(I\), entonces
\[|R_n(x) |le M\frac{R^{n+1}}{(n+1)!}.\]
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