Aproximaciones Lineales y Diferenciales

Aproxima \( f(\theta) = \sin(\theta) \) a \( \theta = 0 \).

Solución:

1. Utiliza el valor dado para \( a \) en lugar de \( x \) para hallar \( f(a) \). Esto te da el par ordenado \( (a, f(a)) \).
   • En el contexto de este problema, necesitas resolver \( f(0) \).\[ f(0) = \sin(0) = 0 \]
     • El par ordenado es \( (0, 0) \).
2. Toma la derivada de la función dada, \( f(x) \), para hallar la pendiente de la recta tangente.
   • En el contexto de este problema, necesitas hallar la derivada de \( f(\theta) \).\[ f'(\theta) = \cos(\theta) \]
3. Resuelve la derivada en el punto \( x = a \).
   • En el contexto de este problema, tienes que introducir el valor de \( \theta \) para resolver la derivada en ese punto.\[ \begin{align}f'(\theta) &= \cos(\theta) \\\f'(0) &= \cos(0) \\\f'(0) &= 1\end{align}\]. \]
4. Introduce los valores de \( f(a) \), \( f'(a) \) y \( a \) en la ecuación:\( L(x) = f(a) + f'(a) (x - a) \).
   • En el contexto de este problema, tienes que introducir el valor de \( \theta \) y los valores que obtuviste en los pasos \( 1-3 \) en la ecuación de aproximación lineal.\[ \begin{align}L(x) &= f(a) + f'(a) (x - a) \L(\theta)&= f(0) + f'(0) (\theta - 0) \&= 0 + 1 (\theta - 0) \\mathbf{L(\theta)} &= \mathbf{\theta}\end{align} \]

Por ejemplo, considera la función diferenciable

\[ f(x) = \frac{1}{x}, \]

donde \( x = a = 3 \).

1. ¿Cuál es la recta tangente a la curva en \( a = 3 \), y
2. ¿Puede utilizarse para aproximar el valor de \( f(x) \) cuando \( a = 3,1 \)?

Solución:

1. ¿Cuál es la recta tangente a la curva en \( a = 3 \)?
   1. Halla \( f(a) \).\[ f(a) = f(3) = \frac{1}{3} \]
   2. Halla la derivada de \( f(x) \).\[ f'(x) = -\frac{1}{x^{2}} \]
   3. Introduce el valor de \( a \) para resolver la derivada en ese punto.\[ \begin{align}f'(a) &= -\frac{1}{a^{2}} \\f'(3) &= -\frac{1}{(3)^{2}} \\&= -\frac{1}{9}\end{align} \]
   4. Introduce el valor de \( a \) y los valores que has obtenido en los pasos \( 1-3 \) en la ecuación de la recta tangente.\[ \begin{align}y &= f(a) + f'(a) (x - a) \\mathbf{y} &= \mathbf{frac{1}{3} - \frac{1}{9} (x - 3)} end{align} \]
2. ¿Se puede utilizar la recta tangente para aproximar el valor de \( f(x) \) cuando \( a = 3,1 \)?
   1. Utiliza la recta tangente que encontraste en la parte A para estimar el valor de la función en \( a = 3,1 \).\[ \begin{align}y &= \frac{1}{3} - \frac{1}{9} (3,1 - 3)&\aprox 0,3222\end{align} \]
   2. Calcula el valor de \( f(3.1) \) utilizando la función dada.\[ f(3.1) = \frac{1}{3.1} \approx 0.3226\]
   3. Compara los dos valores de los pasos \(1-2\). Utiliza las gráficas siguientes para visualizar la comparación.Puesto que la diferencia entre la aproximación y los valores reales es mínima, \[ y \approx 0,3222 \text{ vs. } f(x) \approx 0,3226 \] puedes decir que la recta tangente puede utilizarse para aproximar el valor de \( f(x) \) cuando \( a = 3,1 \).

Figura 2. La recta tangente a la curva de \( f(x) = \frac{1}{x} \) en \( x = 3 \) te da una buena aproximación de \( f(x) \) cuando \( x \) está cerca de \( 3 \).

Figura 3. Cuando \( x = 3,1 \), el valor de \( y \) en la recta tangente a la curva de \( f(x) = \frac{1}{x} \) es aproximadamente \( 0,3222 \); el valor real de \( f(3,1) \) es \( \frac{1}{3,1} \aprox 0,3226 \).

Supongamos que tienes una función, \( f(x) \), que es diferenciable en el punto \( a \). Digamos que la entrada, \( x \), cambia en una pequeña cantidad llamada \( \mathrm{d}x \) (también podría denotarse como \( \Delta x \)).

Te interesa saber cuánto cambia la salida, \( y \), en función de este pequeño cambio en \( x \).

• Si \( x \) cambia de \( a \) a \( a + \mathrm{d}x \), entonces el cambio total en \( x \) es \( \mathrm{d}x \), y el cambio en \( y \) viene dado por la ecuación:\[ \Delta y = f(a + \mathrm{d}x) - f(a). \]
• Por tanto, si \( \mathrm{d}x \) es pequeño,\[ \begin{align}f(a + \mathrm{d}x) &\approx L(a + \mathrm{d}x) \&= f(a) + f'(a) (a + \mathrm{d}x - a).\end{align} \]
• Restando \( f(a) \) de ambos lados,\[ \begin{align}f(a + \mathrm{d}x) - f(a) &\approx L(a + \mathrm{d}x) - f(a) \&= f'(a) \mathrm{d}x.\end{align}\} \]

En otras palabras

• el cambio real en la función, \( f(x) \), (si \( x \) aumenta de \( a \) a \( a + \mathrm{d}x \)) es aproximadamente la diferencia entre \( L(a + \mathrm{d}x) \) y \( f(a) \),
  • donde \( L(x) \) es la aproximación lineal de \( f(x) \) en \( x = a \).
• Por la definición de \( L(x) \), esta diferencia es igual a \( f'(a) \mathrm{d}x \).

En resumen:

\[ \begin{align}\Delta y &= f(a + \mathrm{d}x) - f(a) \&\approx L(a + \mathrm{d}x) - f(a) \&= f'(a) \mathrm{d}x \&= \mathrm{d}y\end{align} \]

Esto significa que puedes utilizar la diferencial, \( \mathrm{d}y = f'(a) \mathrm{d}x \), para aproximar el cambio en \( y \) si \( x \) aumenta de \( x = a \) a \( x = a + \mathrm{d}x \). El gráfico siguiente lo muestra con detalle.

Figura 4. Utilizas la diferencial \( \mathrm{d}y = f'(a) \mathrm{d}x \) para aproximar el cambio real en \( y \) si \( x \) aumenta de \( a \) a \( a + \mathrm{d}x \).

Aproximación del cambio con diferenciales

Dada la función

\[ y = x^{2} + 2x, \]

calcula

1. \( \Delta y \) y
2. \( \mathrm{d}y \)

en \( x = 3 \) si \( \mathrm{d}x = 0,1 \).

Solución:

1. \( \Delta y \) es el cambio real en \( y \) si \( x \) cambia de \( 3 \) a \( 3,1 \). Para hallar el cambio real, utiliza la fórmula \( \Delta y = f(a + \mathrm{d}x) - f(a) \).\[ \begin{align}\Delta y &= f(a + \mathrm{d}x) - f(a) \&= f(3,1) - f(3) \&= \left( (3,1)^{2} + 2(3.1) \right) - \left( 3^{2}} + 2(3) derecha)&= 15,81 - 15&= 0,81\end{align} \]
2. \( \mathrm{d}y \) es el cambio aproximado en \( y \). Para hallar el cambio aproximado, utiliza la fórmula \( \mathrm{d}y = f'(x) ~\mathrm{d}x \).
   1. Halla la derivada de \( f(x) \).\[ f'(x) = 2x + 2 \]
   2. Utiliza la fórmula diferencial para resolver el cambio aproximado.\[ \begin{align}\mathrm{d}y &= f'(x) ~\mathrm{d}x \&= f'(3) ~\mathrm{d}x \&= (2(3) + 2)(0.1) \\&= 0.8\end{align} \]. \]

Aproximación lineal de una función

Aproxima la función

\[ f(x) = (1 + x)^{n} \]

a \( x = 0 \). Luego utiliza la aproximación para estimar \( 1,01^{2} \).

Solución:

1. Utiliza el valor dado para \( a \) en lugar de \( x \) para hallar \( f(a) \). Esto te da el par ordenado \( (a, f(a)) \).
   • En el contexto de este problema, necesitas resolver \( f(0) \).\[ f(0) = (1 + 0)^{n} = 1 \]
     • El par ordenado es \( (0, 1) \).
2. Toma la derivada de la función dada, \( f(x) \), para hallar la pendiente de la recta tangente.
   • En el contexto de este problema, necesitas hallar la derivada de \( f(x) \).\[ f'(x) = n(1 + x)^{n-1} \]
3. Resuelve la derivada en el punto \( x = a \).
   • En el contexto de este problema, tienes que introducir el valor de \( x \) para resolver la derivada en ese punto.\[ \begin{align}f'(x) &= n(1 + x)^{n-1} \f'(0) &= n(1 + 0)^{n-1} \f'(0) &= n\end{align} \]
4. Introduce los valores de \( f(a) \), \( f'(a) \) y \( a \) en la ecuación:\( L(x) = f(a) + f'(a) (x - a) \).
   • En el contexto de este problema, tienes que introducir el valor de \( x \) y los valores que obtuviste en los pasos \( 1-3 \) en la ecuación de aproximación lineal.\[ \begin{align}L(x) &= f(a) + f'(a) (x - a) \\&= f(0) + f'(0) (x - 0) \&= 1 + n (x - 0) \\\mathbf{L(x)} &= \mathbf{1 + nx}\end{align} \]. \]
5. Aproxima \( 1,01^{2} \) evaluando \( L(0,01) \) en \( n = 2 \).\[ \begin{align}(1,01)^{2} &= f(1.01) \&\approx L(1,01) \&= 1 + n(x - 0) \&= 1 + 2(0,01) \\mathbf{(1,01)^{2}} &= \mathbf{1,02}\end{align} \]

Cálculo de diferenciales

Halla \( \mathrm{d}y \) y evalúa la siguiente función en \( x = 3 \) y \( \mathrm{d}x = 0,1 \).

\[ y = \cos(x) \]

Solución:

1. Halla la derivada de \( f(x) \).\[ f'(x) = -\sin(x) \]
2. Introduce la derivada en la fórmula diferencial.\[ \begin{align}\mathrm{d}y &= f'(x) ~\mathrm{d}x \\mathbf{\mathrm{d}y} &= \mathbf{-\sin(x) ~\mathrm{d}x}\end{align} \]
3. Introduce los valores dados de \( x \) y \( \mathrm{d}x \) y simplifica.\[ \begin{align}\mathrm{d}y &= -\sin(3)(0.1) \\mathbf{mathrm{d}y} &= \mathbf{-0.1\sin(3)}\end{align} \]