Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas

Aquí veremos la derivada de la función seno inversa y cómo podemos utilizarla en la integración.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin{\frac{x}{a}}=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$$

Consideremos ahora la siguiente integral:

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}$$

La integral anterior puede hacerse utilizando la Sustitución Trigonométrica. Aquí tendríamos que hacer \(u=a\sin{x}\) y utilizar la Identidad Trigonométrica Pitagórica \(\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\). En su lugar, utilizaremos nuestro repaso a la derivada de la función seno inversa.

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin{\frac{x}{a}}+C$$

Esto resulta mucho más fácil si tenemos a mano una tabla de integración.

Es el turno de la derivada de la función coseno inversa.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos{\frac{x}{a}}=\text{-}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$$

¿Notas algo? Es el negativo de la derivada de la función seno inversa. Considera ahora la siguiente integral.

$$\int\text{-}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}$$

Podemos utilizar la función coseno inversa, pero también podemos factorizar el signo negativo de la integral y utilizar la función seno inversa.

$$\int\text{-}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\text{-}\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}$$

De este modo, hay una fórmula menos que tenemos que memorizar.

$$\int\text{-}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\text{-}\arcsin{\frac{x}{a}}+C$$

Evalúa la integral siguiente:

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{9+x^2}$$

Al evaluar este tipo de integrales, necesitamos identificar el valor de \(a\); de esta forma, podemos utilizar la fórmula correspondiente para hallar la antiderivada de la función pedida.

• Reescribe \(9\) como \(3^2\).

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{9+x^2}=\int\frac{\mathrm{d}x}{3^2+x^2}$$

• Integra utilizando la función tangente inversa con \(a=3\).

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{9+x^2}=\frac{1}{3}\arctan{\frac{x}{3}}+C$$

Evalúa la integral siguiente:

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{5-x^2}}$$

Aunque \(5\) no es un cuadrado perfecto, sigue siendo el cuadrado de \(\sqrt{5}\).

• Reescribe \(5\) como \( (\sqrt{5})^2 \).

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{5-x^2}}=\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{(\sqrt{5})^2-x^2}}$$

• Integra utilizando la función seno inversa con \(a=\sqrt{5}\).

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{5-x^2}}=\arcsin{\frac{x}{\sqrt{5}}}+C$$

Evalúa la integral siguiente:

$$\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}$$

Como se está restando la variable, utilizaremos la función seno inversa. A continuación, observamos que podemos reescribir \(x^4=(x^2)^2\).

$$\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}=\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-(x^2)^2}}$$

Esto sugiere utilizar la Integración por Sustitución con \(u=x^2\).

• Utiliza la regla de la potencia para hallar \(\mathrm{d}u\).

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2x \rightarrow \frac{1}{2}\mathrm{d}u=x\,\mathrm{d}x$$

• Escribe la integral en términos de \(u\) y \(\mathrm{d}u).

$$\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^2}}$$

• Integra utilizando la función seno inversa.

$$\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{2}\arcsin{u}+C$$

• Sustituye de nuevo \(u=x^2\).

$$\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{2}\arcsin{x^2}+C$$

Evalúa la integral siguiente:

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}$$

Empieza por observar que \(x^6=(x^3)^2\).

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{(x^3)^2-4}}$$

Esta vez utilizaremos la función secante inversa, ya que se está restando una constante a la variable, pero antes tenemos que hacer la siguiente sustitución:

$$u=x^3 \$mathrm{d}arrow \$mathrm{d}u=3x^2,\$mathrm{d}x$$

Necesitamos tener \(3x^2\2) en el numerador, para que esta sustitución funcione. Por tanto, multiplicaremos por 1 dentro de la integral.

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\frac{1}{3}\int\frac{3x^2\,\mathrm{d}x}{x^2\,x\sqrt{(x^3)^2-4}}$$

Aquí, hemos multiplicado por \(3x^2\) en el numerador y el denominador y hemos factorizado \(\frac{1}{3}\) fuera de la integral. Esta expresión puede simplificarse ahora como sigue

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\frac{1}{3}\int\frac{3x^2\,\mathrm{d}x}{x^3\sqrt{(x^3)^2-4}}$$

Sustituyendo \(u=x^3\) obtenemos:

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\frac{1}{3}\int\frac{\mathrm{d}u}{u\sqrt{u^2-4}}$$

Ahora podemos integrar utilizando la función secante inversa.

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\mathrm{arcsec}{\frac{u}{2}}+C$$

Por último, volvemos a sustituir \(u=x^3\). También simplificamos las fracciones.

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\frac{1}{6}\mathrm{arcsec}{\frac{x^3}{2}}+C$$

Evalúa la siguiente integral:

$$\int \mathrm{arctan}{\, 3x} \int, \mathrm{d}x.$$

Esta integral casi se parece a la integral de sólo la función tangente inversa. Sólo tenemos que hacer una sustitución para resolverla.

• Sea \( u=3x.\$) Halla \( \mathrm{d}u \$) utilizando La Regla de Potencia.

$$u=3x \$Derecha \mathrm{d}u=3\mathrm{d}x$$

• Aislar \( \mathrm{d}x. \)

$$\mathrm{d}u=3\mathrm{d}x \rightarrow \mathrm{d}x=\frac{1}{3}\mathrm{d}u$$

• Escribe la integral en términos de \(u\) y \(\mathrm{d}u.\)

$$\begin{align} \int \mathrm{arctan}{\, 3x} \x &= \int \mathrm{arctan}{, u}left( \frac{1}{3} \mathrm{d}u \right) \int \mathrm{arctan}{, u} \, \mathrm{d} u \end{align}$$

• Integra la función tangente inversa.

$$\int \mathrm{arctan}{, 3x} |mathrm{d}x = \frac{1}{3} u,\mathrm{arctan}{,u}-\frac{1}{2}\ln{(u^2+1)} $$

• Sustituye de nuevo \(u=3x,\) simplifica, y añade la constante de integración.

$$\begin{align} \int \mathrm{arctan}{\, 3x} \, \mathrm{d}x &= \frac{1}{3} \izquierda(3x \, \mathrm{arctan}{,(3x)}-\frac{1}{2}{ln{((3x)^2+1)} {derecha) \frac{1}{1}{3} &= x,\mathrm{arctan}{, 3x - \frac{1}{6}\ln{izquierda( 9x^2+1\1derecha)} + C \final{align}$$