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Aquí aprenderás a dibujar campos de dirección, también conocidos como campos de pendiente, que son representaciones gráficas de ecuaciones diferenciales.
¿Qué significa un campo de dirección?
Las representaciones gráficas son muy útiles en Cálculo. Mediante una gráfica, puedes relacionar una expresión matemática con una idea. En este contexto, las expresiones matemáticas suelen darse como ecuaciones o inecuaciones. Tomemos, por ejemplo, la función
\[ f(x) = x^2-1,\]
que para poder representarla gráficamente, primero tienes que hacer la asociación \( y=f(x)\). De esta forma, puedes relacionar un valor \(y\) con cada valor \(x\) y utilizar un Plano Cartesiano para dibujar todos los pares \( (x, f(x) )\).
Las ecuaciones diferenciales no son una excepción cuando hablamos de gráficas. Por supuesto, puedes intentar resolver una ecuación diferencial y obtener una función como respuesta. Luego puedes representar gráficamente esta función, ¡que es la gráfica de la solución de la ecuación diferencial!
Sin embargo, las ecuaciones diferenciales siguen proporcionando cierta información sin tener que encontrar una solución. Esta información se muestra utilizando campos de dirección.
Los campos de dirección se conocen más comúnmente como campos de pendiente , porque cada segmento de la gráfica representa una pendiente en un punto determinado.
Los campos de dirección, también conocidos como campos de pendiente, son una representación gráfica de las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Aunque un campo de dirección puede utilizarse para representar la solución de una ecuación diferencial de primer orden, ten en cuenta que el campo de dirección no es la gráfica de la solución de una ecuación diferencial.
Campos de dirección y ecuaciones diferenciales
Como ya hemos dicho, los campos de dirección, más conocidos como campos de pendiente, son la representación gráfica de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Pero quizá te preguntes, ¿cómo es posible dibujar la gráfica de una ecuación diferencial sin resolverla?
Supongamos que te dan una ecuación diferencial
\[ xy'=2y,\]
que puedes reescribir como
\[ y' = \frac{2y}{x}.\]
La interpretación básica de una derivada es que te da la pendiente de una recta tangente a una función en un punto dado. Sabiendo esto, la expresión
\[ \frac{2y}{x}]
te está dando información sobre la pendiente en un punto \( (x,y) \). Dibujando pequeños segmentos de recta en cada punto \( (x,y)\) con la pendiente requerida, puedes representar realmente esta ecuación diferencial.
Figura 2. Campo de pendiente de la ecuación diferencial \( xy' = 2y\)
Resolver una ecuación diferencial requiere que conozcas una constante de integración, que vendrá dada en función del problema. Esto significa que puedes tener distintas gráficas para la solución de una ecuación diferencial.
Figura 3. Soluciones de la ecuación diferencial \(xy'=2y\) para distintos valores de la constante de integración
¿Qué ocurre si graficas algunas soluciones de la ecuación diferencial junto con el campo de la pendiente?
Figura 4. Campo de pendiente y soluciones de la ecuación diferencial \( xy'=2y\)
Observa que los segmentos del campo de pendientes son tangentes a cada solución de la ecuación diferencial. Esto significa que puedes dibujar algunas soluciones de una ecuación diferencial basándote en el campo de pendiente.
Cómo representar gráficamente campos de dirección
La idea básica para representar gráficamente campos de dirección es elegir un conjunto de puntos y, a continuación, utilizar la ecuación diferencial para hallar la pendiente asociada a cada punto. Después, puedes dibujar un pequeño segmento con la pendiente respectiva en cada uno de los puntos que elijas. Aquí tienes algunos segmentos de ejemplo con diferentes pendientes.
Figura 5. Cinco segmentos con diferentes pendientes
A medida que aumenta el valor absoluto de la pendiente, el segmento se acercará más a una recta vertical. Si la pendiente es positiva será como un segmento de una función creciente, y si es negativa se parecerá a una función decreciente.
Figura 6. Dos segmentos cuyas pendientes difieren de un signo
Del mismo modo, a medida que disminuye el valor absoluto de la pendiente, el segmento se acercará más a una recta horizontal.
Figura 7. Dos segmentos cuyas pendientes difieren de un signo
También existe la posibilidad de tener segmentos completamente verticales u horizontales. Si la pendiente se evalúa como \(0\), entonces el segmento será completamente horizontal. Si la pendiente se hace infinita (positiva o negativa), entonces el segmento será completamente vertical.
Figura 8. Un segmento completamente horizontal junto con un segmento completamente horizontal
Ahora que sabes qué segmento dibujar en función de la pendiente, puedes proceder a dibujar algunos campos de pendiente eligiendo algunos puntos del plano cartesiano y dibujando segmentos con la pendiente correspondiente en esos puntos.
Aquí tienes un ejemplo.
Esboza el campo de pendientes de la ecuación diferencial
\[ xy' = 2y. \]
Solución:
Empieza por aislar \(y'\) de la ecuación diferencial. Puedes conseguirlo dividiendo ambos lados de la ecuación por \(x\), es decir
\[ \begin{align} \y'} &= \frac{2y}{x} \\ y' &=\frac{2y}{x}. \fin \]
A continuación, prueba a elegir algunos puntos en cada cuadrante, así como algunos puntos en ambos ejes.
Figura 9. Puntos \(8\) en el plano cartesiano que se utilizarán para el campo de pendiente
Observa que falta el punto \( (0,0) \). Esto se debe a que la evaluación de la pendiente en dicho punto dará como resultado una forma indeterminada de
\[ \frac{0}{0},\]
por lo que es mejor evitar este punto. Ahora que has elegido algunos puntos, tendrás que hacer muchas evaluaciones. Puedes representar gráficamente cada segmento sobre la marcha, pero si aún estás practicando, una tabla de valores te será realmente útil.
| \[x\] | \[y\] | \[\frac{2y}{x}] | \[y'\] |
| \[-2\] | \[2\] | \[\frac{2(2)}{-2}] | \[-2\] |
| \[-2\] | \[0\] | \[\frac{2(0)}{-2}] | \[0\] |
| \[-2\] | \[-2\] | \[\frac{2(-2)}{-2}} | \[2\] |
| \[0\] | \[2\] | \[\frac{2(2)}{0}] | \[0] |
| \[0\] | \[-2\] | \[\frac{-2}{0}] | \[-infty] |
| \[2\] | \[2\] | \[\frac{2(2)}{2}] | \[2\] |
| \[2\] | \[0\] | \[\frac{2(0)}{2}] | \[0\] |
| \[2\] | \[-2\] | \[\frac{2(-2)}{2}] | \[-2\] |
Por último, puedes dibujar los segmentos en cada punto identificando la pendiente \(y'\) en cada punto.
Figura 10. Esquema del campo de pendientes de la ecuación diferencial \( xy'=2y\) utilizando segmentos \(8\)
Como es habitual, se obtiene más información utilizando más puntos, pero esta tarea te llevaría algún tiempo. Sin embargo, inspeccionando la expresión de la pendiente
\[ y'=\frac{2y}{x}\]
puedes observar que los segmentos serán más inclinados a medida que aumente el valor de \(y \). Además, la pendiente será positiva en los cuadrantes primero y tercero, mientras que será negativa en los cuadrantes segundo y cuarto. Puedes utilizar esta información para mejorar el esbozo del campo de la pendiente.
Figura 11. Campo de pendiente de la ecuación diferencial \( xy' = 2y\)
Esbozar una solución a partir de un campo de direcciones
Como el campo de direcciones de una ecuación diferencial te da un montón de rectas tangentes a distintas familias de curvas solución, ¡puedes dibujar algunas de esas soluciones!
Considera el campo de direcciones de la ecuación diferencial
\[y'=y.\]
Figura 12. Campo de pendiente de la ecuación diferencial \( y'=y\)
Puedes observar cómo las líneas del campo de pendiente se alinean siguiendo un determinado patrón. Para identificar mejor cómo se comportan estas curvas, imagina que empiezas en el extremo izquierdo de la gráfica, en cualquier valor de \(y-\). A medida que te desplazas hacia la derecha, encontrarás algunos segmentos de pendiente. Si estos segmentos tienen pendiente negativa, deberás moverte hacia abajo a medida que te desplazas hacia la derecha. Del mismo modo, si los segmentos tienen pendiente positiva, deberás moverte hacia arriba.
Figura 13. Esquema de dos curvas solución de la ecuación diferencial \(y'=y\) utilizando su campo de pendiente
Las soluciones de esta ecuación diferencial son en realidad una familia de funciones exponenciales de la forma\[ y(x) = Ae^x,\]
donde \(A\) es una constante de integración, que puede ser positiva o negativa. ¡Esto tiene mucho sentido con las soluciones que has esbozado del campo de pendiente!
Ejemplos de campos de dirección
Aquí puedes ver más ejemplos de campos de dirección.
Esboza el campo de pendientes de la ecuación diferencial
\[y'=\frac{1}{2}y.\]
Solución:
Te dan una forma aislada de \(y'\), así que puedes hallar la pendiente de cada segmento evaluando la expresión
\[\frac{1}{2}y.\\]
Observa que la expresión anterior no depende de \(x\), por lo que no tienes que preocuparte del valor de \(x\). Esto significa que puedes centrarte en observar cómo la pendiente será positiva para valores positivos de \(y\), y será negativa para valores negativos de \(y\). Las rectas serán más inclinadas a medida que te alejes del origen, ¡y serán horizontales a lo largo de todo el eje \(x-\)!
Figura 14. Campo de pendiente de la ecuación diferencial \(y'=\frac{1}{2}y\)
También es posible que el campo de pendiente sólo dependa del valor de \(x\).
Esboza el campo de pendiente de la ecuación diferencial
\[y'-1=x.\]
Solución:
Empieza por aislar \(y'\) de la ecuación diferencial. Puedes conseguirlo sumando \(1\) a ambos lados de la ecuación, obteniendo
\[ y'=x+1.\]
Esta vez la expresión anterior no depende de \(y\). Debido al término \(+1\), la pendiente será positiva para \(x>-1\), negativa para \(x<-1\), y cero cuando \(x=-1\). Además, las rectas son más empinadas cuanto más te alejas de \(x=-1\).
Figura 15. Campo de pendiente de la ecuación diferencial \( y'=x+1\)
Campos de dirección - Puntos clave
- Los campos de dirección, más conocidos como campos de pendiente, son representaciones gráficas de ecuaciones diferenciales de primer orden.
- Un campo de pendiente no es la gráfica de la solución de una ecuación diferencial.
- Un campo de pendiente está formado por muchos segmentos que representan rectas tangentes a las distintas soluciones de una ecuación diferencial.
- Para representar gráficamente un campo de pendientes tienes que elegir un conjunto de puntos, hallar la pendiente asociada a cada punto mediante la ecuación diferencial y, a continuación, representar gráficamente segmentos con la pendiente correspondiente.
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