Método de Newton

Método de aproximación de Newton

Un método que podemos utilizar para ayudarnos a aproximar la(s) raíz(es) de una función se llama Método de Newton (¡Sí, lo descubrió el mismo Newton que has estudiado en Física)!

Fórmula del método de Newton

La fórmula del método de Newton establece que para una función diferenciable F(x) y un punto inicial _x0 cercano a la raíz

$x_{n+1}=x_n-\frac{F\left(x_n\right)}{F\text{'}\left(x_n\right)}$ donde n = 0, 1, 2, ...

Con múltiples iteraciones del Método de Newton, la secuencia de _xn convergerá a una solución para F( x) = 0.

Como la derivada de F(x) está en el denominador de la fracción, si F(x) es una función constante con la primera derivada de 0, el Método de Newton no funcionará. Además, como debemos calcular la derivada analíticamente, las funciones con primeras derivadas complejas pueden no funcionar para el Método de Newton.

El cálculo del método de Newton

Teniendo en cuenta la fórmula del Método de Newton, observa la representación gráfica que aparece a continuación.

El Método de Newton busca una recta tangente al punto inicial para encontrar una aproximación para la raíz de f(x) - StudySmarter Original

El Método de Newton pretende encontrar una aproximación para la raíz de una función. En términos de la gráfica, el cero de la función es el punto verde, f(x) = 0. El Método de Newton utiliza un punto inicial (el rosa _x0 en la gráfica) y halla la recta tangente al punto. La gráfica muestra que la recta tangente a $x_0$ toca el eje x cerca de la raíz.

En la segunda iteración, el método de Newton construye una nueva recta tangente basándose en la última aproximación encontrada por la recta tangente - StudySmarter Original

El nuevo punto, _x1, hallado mediante la recta tangente en _x0, se traslada a la gráfica de la función y se halla una nueva recta tangente. Este proceso se repite hasta que se encuentra una estimación plausible para f(x) = 0.

Cuando falla el método de Newton

En los casos en que no podemos resolver directamente la raíz de una función, el método de Newton es un método adecuado. Sin embargo, hay ciertos casos en los que el Método de Newton puede fallar:

• La recta tangente no cruza el eje x

  • Ocurre cuando f'(x) es 0

• Diferentes aproximaciones pueden acercarse a diferentes raíces si hay varias

  • Esto ocurre cuando la _x0 inicial no está lo suficientemente cerca de la raíz

• Las aproximaciones no se acercan en absoluto a la raíz

  • La aproximación oscila de un lado a otro

Veamos un ejemplo en el que falla el método de Newton.

Supongamos que tenemos la función

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+x^2}$

Esta función tiene raíces en $x=-1$ y $x=1$. Sin embargo, supongamos que quieres utilizar el método de Newton para hallar las raíces de $f\left(x\right)$. Con una estimación inicial de $x=2$el método de Newton se aproximará a la raíz $x=-1$ en lugar de a la $x=1$ aunque $x=2$ esté más cerca de $x=1$. ¡Pruébalo tú mismo y verás!

Ejemplos del método de Newton

Ejemplo 1

Método de aproximación de raíces cuadradas de Newton

¡También es posible utilizar el Método de Newton para aproximar la raíz cuadrada de un número! La fórmula de aproximación de la raíz cuadrada del Método de Newton es casi idéntica a la fórmula del Método de Newton.

Para calcular una raíz cuadrada $x=\sqrt{a}$ para $a>0$ y con una conjetura inicial para $x$ de $x_0$

$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$

Aproximación a la raíz cuadrada mediante el método de Newton Ejemplo

Apliquemos la ecuación de aproximación de la raíz cuadrada por el método de Newton a un ejemplo.