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Una escalera de \(10ft\) de altura se apoya en una pared. La base de la escalera comienza a deslizarse alejándose de la pared a una velocidad de \(2 pies/s). A medida que la base de la escalera se aleja de la pared, la parte superior de la escalera se desliza verticalmente por la pared. Cuando la base de la escalera está a \(9ft\) de la pared, ¿cuál es la velocidad a la que la parte superior de la escalera se desliza por la pared?

Paso 1: Dibuja un diagrama

Dibujar un diagrama del problema nos ayudará a comprender mejor nuestros valores conocidos y desconocidos.

Fig. 2. A partir de la tasa de variación horizontal, tenemos la tarea de hallar la tasa de variación vertical.

Paso 2: Identificar las cantidades conocidas y desconocidas

Antes de hacer Cálculo, debemos comprender bien el problema. Sabemos que una escalera de \(10ft\) se desliza horizontalmente desde una pared a una velocidad de \(2ft/s\). El problema quiere saber a qué velocidad se mueve la parte superior de la escalera cuando la base de la escalera está a \(9ft\) de la pared.

Utilizando nuestro diagrama del paso 1, podemos organizar las cantidades variables conocidas y desconocidas:

\[dfrac{dy}{dt}=?\\]

\[y(t)=?\]

\[x(t)=9\]

\[\dfrac{dx}{dt}=2\]

\[z=10\]

\(x\) y \(y\) son funciones del tiempo en este problema, por lo que se escriben \(x(t)\) y \(y(t)\). Sin embargo, la longitud de la escalera, \(z\), no cambia con el tiempo, por lo que no se escribe con notación de función.

Paso 3: Utiliza ecuaciones para relacionar la información del problema

Basándonos en la información que tenemos y en la que necesitamos, debería ser obvio que el Teorema de Pitágoras será útil en este problema.

Mirando de nuevo el diagrama, observa que la escalera y las 2 paredes forman un triángulo rectángulo. ¡Este es un escenario perfecto para utilizar el Teorema de Pitágoras!

Recuerda que, mientras la escalera se mueve horizontal y verticalmente, la hipotenusa del triángulo (longitud de la escalera) no cambia.

\[(x(t))^2+ (y(t))^2=z^2\]

\[(x(t))^2+ (y(t))^2=10^2]

\[(x(t))^2+ (y(t))^2=100\]

Observa que se nos da la derivada de \(x\) con respecto al tiempo,

\[\dfrac{dx}{dt}\]

También se nos pide que encontremos la velocidad a la que la escalera se mueve verticalmente,

\[\dfrac{dy}{dt}\]

¿Cómo podemos hacer una ecuación con estas variables? ¡Diferenciación implícita!

Paso 4: Resolver utilizando la diferenciación implícita

Ahora que tenemos una ecuación, utilicemos la diferenciación implícita para obtener la ecuación en términos de dos tasas de cambio. Tomaremos la derivada respecto al tiempo.

\[\dfrac{d}{dt}[(x(t))^2+(y(t))^2]=\dfrac{d}{dt} 100\]

\[2(x(t))\dfrac{dx}{dt}+2(y(t))\dfrac{dy}{dt}=0\]

Paso 5: Sustituye los valores conocidos

De nuevo, queremos hallar la velocidad a la que la escalera se desliza verticalmente por la pared:

\[\dfrac{dy}{dt}\]

Sabemos que \(x=9\) ft y

\[\dfrac{dx}{dt}=2ft/s\]

Introduciendo nuestros valores conocidos, obtenemos

\[2 \cdot 9 \cdot 2 + 2(y(t))\dfrac{dy}{dt}=0\]

Para resolver \(\dfrac{dy}{dt}), aún necesitamos el valor de \(y\) cuando \(x=9\). Podemos utilizar la ecuación del Teorema de Pitágoras que establecimos antes para hallar \(y\), subyugando \(x(t)=9\).

\[(x(t))^2+ (y(t))^2=z^2\]

\[9^2+ (y(t))^2=10^2]

\[ (y(t))^2=19\]

\[ (y(t))=\sqrt{19}\]

Introduciendo \(y(t)\) y resolviendo para \(\dfrac{dy}{dt}\).

\[36+2(\sqrt{19})\dfrac{dy}{dt}=0\]

\[\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{36}{2 \sqrt{19}}\]

\[\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{18}{\sqrt{19}}\]

\[\dfrac{dy}{dt}=-4.129ft/s\]

Considera un globo perfectamente esférico que se llena de aire. El globo se expande a un ritmo de \(3cm^2/s\). Cuando el radio del globo es de \(4cm\), ¿a qué velocidad aumenta el radio?

Paso 1: Dibuja un diagrama

Fig. 3. A partir de la velocidad de cambio del volumen, tenemos la tarea de hallar la velocidad de cambio del radio.

Según nuestro diagrama, nos falta la tasa de variación del radio. Sin embargo, sí tenemos la tasa de variación del volumen.

Paso 2: Identificar las cantidades conocidas y desconocidas

Sabemos que el volumen de un globo esférico aumenta a razón de \(3cm^2/s\). Queremos conocer la tasa de variación del radio cuando el globo tiene un radio de \(4cm\). Organizando en variables, tenemos

\[\dfrac{dV}{dt}=3cm^3/s\]

\[r(t)=4cm\]

\[\dfrac{dr}{dt}=?\]

Paso 3: Utiliza ecuaciones para relacionar la información del problema

Basándonos en la información que necesitamos, y en la forma del globo, la ecuación del volumen de una esfera será útil en este problema.

\V=dfrac{4}{3} \pi \cdot r^3]

Paso 4: Resolver utilizando la diferenciación implícita

Ahora que tenemos una ecuación, vamos a utilizar la diferenciación implícita para obtener la ecuación en términos de dos tasas de cambio. Tomaremos la derivada respecto al tiempo.

\[\dfrac{d}{dt}[V]=\dfrac{d}{dt}left(\dfrac{4}{3} \pi \cdot r^3 \right)\].

\dfrac{dV}{dt}=4 \cdot \pi \cdot r^2 \dfrac{dr}{dt}].

Paso 5: Sustituye los valores conocidos

Queremos hallar la tasa de variación del radio:

\[\dfrac{dr}{dt}\]

Sabemos que \(r=4cm\) y:

\[\dfrac{dV}{dt}=3cm^3/s\]

Introduciendo nuestros valores conocidos, obtenemos

\[3=4\pi \cdot 4^2 \dfrac{dr}{dt}]

\[\dfrac{dr}{dt} \aproximadamente 0,01492 cm/s \]

\[\dfrac{dr}{dt} \aprox 0,015 cm/s \]

El signo positivo de nuestra respuesta significa que el radio aumenta en sentido positivo.

Por tanto, el radio se expande a un ritmo de aproximadamente \(0,015cm/s\). Evidentemente, el radio crece a un ritmo muy lento. Sin embargo, esto tiene sentido si tenemos en cuenta que el volumen también crece a un ritmo relativamente lento.