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Pero no podemos olvidar las fórmulas, la base misma de las matemáticas. La integración está plagada de multitud de fórmulas distintas, lo que hace que hacer una integral sea, en parte, una tarea fácil.
Veamos algunas de estas Fórmulas de Integración:
Definición de fórmula de integración
Al principio puede parecer absurdo que podamos tener fórmulas para integrales directamente. Pero hay una trampa, sólo podemos tener fórmulas para integrales relativamente sencillas, no para funciones más compuestas.
Empecemos por lo más básico, las fórmulas fundamentales de integración:
Fórmulas básicas de integración
Las siguientes fórmulas de las que vamos a hablar son las fórmulas fundamentales, sobre las que se construyen otras fórmulas.
Por tanto, sería una buena práctica recordarlas de memoria:
$$ \begin{aligned} &\int x^n \, \mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c \\\ &\int e^x \, \mathrm{d}x=e^x+c \\\\ &\int a^x \, \mathrm {d}x=\frac{a^x}{\log_e a}+c \&\int \frac{1}{x} \frac, \mathrm{d}x=\log_e x +c \final{alineado}$$
Fórmulas de integración de funciones trigonométricas
Acabamos de ver las fórmulas de integración de funciones como la función lineal, las funciones cuadráticas, la función exponencial, las funciones logarítmicas, y también funciones como \(\frac{1}{1+x}, \frac{1}{1+x^2}\), etcétera.
Pero hay toda una clase de funciones importantes que aún no hemos abordado, las Funciones Trigonométricas. Hay algunas fórmulas básicas que hay que recordar para las funciones trigonométricas, a partir de las cuales podemos resolver funciones trigonométricas más complicadas. Estas fórmulas de integración son las siguientes
$$ \begin{aligned} &\int \cos x \, \mathrm{d}x=\sin x+c \\ &\int \sin x \, \mathrm{d}x=-\cos x+c \ &\int \tan x \, \mathrm{d}x=-\log_e |\cos x|+c \\ &\int \cot x \, \mathrm{d}x=-\log_e |\\cos x|+c \ &\int \sec^2 x \, \mathrm{d}x=\tan x +c \\\ &\int \csc x \, \mathrm{d}x=\log_e |\frac{\tan x}{2}|+c \\\ &\int \sec x \tan x \, \mathrm{d}x=\sec x+c \ &\int \csc^2 x \, \mathrm{d}x=-\cot x+c \ &\int \csc x \cot x \, \mathrm{d}x=-\cot x+c \end{aligned}$$
Quizá te preguntes por qué hay una constante de integración al final de cada integral indefinida. La razón es que si tomamos la derivada del resultado que obtenemos, la constante desaparece, esto se debe a que la derivada es lo contrario de una integral.
Fórmula de la integral definida
Como habrás observado, todas las integraciones que hemos visto están relacionadas con integrales indefinidas. Pero, ¿qué ocurre con las integrales definidas? Las integrales de todas las funciones no cambian, lo único que se introduce son los límites de integración.
A continuación se indican algunas fórmulas, propiedades esencialmente, que son cruciales al hacer integración definida.
$$ \begin{aligned} &\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x=F(b)-F(a) \ ; \text{where} \int f(x) \, \mathrm{d}x=F(x)+c \ &\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x=-int_b^a f(x) \, \mathrm{d}x \ &\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x=\int_a^b f(a+b-x) \, \mathrm{d}x \ &\int_{-a}^a f(x) \, \mathrm{d}x=2\int_0^a f(x)\, \mathrm{d}x ; \text{where} \ f(x) es una función par. \\ &\int_{-a}^a f(x) \, \mathrm{d}x=0 \ ; \text{donde} \ f(x) es una función impar. \\ fin{alineado}$$
Observa que no hay constante de integración en la integración definida.
Fórmula de integración Gráfico
Al resolver integrales, necesitamos conocer multitud de fórmulas de integración diferentes, sin las cuales, resolver integrales será imposible (¡a menos que hagas trampas usando WolframAlpha o algo así!).
A continuación encontrarás una lista de casi todas las fórmulas de integración que necesitarás para resolver integrales más complicadas, que comprenden distintas funciones compuestas. Esto incluirá fórmulas que ya has visto antes (trigonométricas, fundamentales) junto con fórmulas trigonométricas inversas, fórmulas hiperbólicas y muchas más. Es una tabla muy útil que debes tener cuando hagas integrales:
Tabla de fórmulas fundamentales de integración
Repasemos algunas de las fórmulas fundamentales de integración en forma de tabla:
∫ e^x, \mathrm{d}x=e^x+c ∫ a^x, \mathrm{d}x=frac{a^x}{log_e a}+c ∫ \frac{1}{x}{c \¾, ¾mathrm{d}x=\log_e x +c ¾ &\int k\, ¾mathrm{d} x=k x+c \end{aligned}$$
Tabla de integración trigonométrica inversa
A continuación se muestra la tabla de integrales de funciones trigonométricas inversas:
$$ \begin{aligned} &\int \sin^{-1} x, \mathrm{d} x=x \sin^{-1} x+\sqrt{1-x^2}+c \&\int \cos^{-1} x \, \mathrm{d} x=x \cos^{-1} x-\sqrt{1-x^2}+c&\int \tan^{-1} x \, \mathrm{d} x=x \tan^{-1} x-\frac{1}{2} \ln \left(x^2+1\right) +c&\int \cot^{-1} x \, \mathrm{d} x=x \cot^{-1} x+\frac{1}{2} \ln \left(x^2+1\right) +c &\int \csc ^{-1} x \, \mathrm{d} x=x \csc ^{-1} x+\ln \left|x+\sqrt{x^2-1}\right|+c &\int \sec ^{-1} x, \mathrm{d} x=x \sec ^{-1} x-\ln \left|x+cuadrado{x^2-1}\right|+c \end{aligned}$$
Cuadro de otras fórmulas de integración
Existen otras fórmulas de integración, que se enumeran a continuación: $$ \begin{aligned} &\int e^{c x} \sin b x \, \mathrm{d} x=\frac{e^{c x}}{c^2+b^2}(c \sin b x-b \cos b x) +c\\ &\int e^{c x} \cos b x \, \mathrm{d} x=\frac{e^{c x}}{c^2+b^2}(c \cos b x+b \sin b x) +c\&\int \frac{1}{x^2+a^2} \, \mathrm{d} x=\frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} +c\&\int \frac{1}{x^2-a^2} \x= izquierda. \displaystyle \frac{1}{2 a} \ln \left( \frac{a-x}{a+x} \right) +c\displaystyle \frac{1}{2 a} \ln \left( \frac{x-a}{x+a} \right)+c \end{array}\right. \end{aligned}$$
Gráfico de fórmulas de integración trigonométrica
Repasemos las fórmulas trigonométricas con algunas fórmulas cuadráticas y también hiperbólicas:
$$ \begin{aligned} &\int \sin x \, \mathrm{d} x=-\cos x+c \&\int \cos x \, \mathrm{d} x=\sin x+c \&\int \tan x \, \mathrm{d} x=\ln |sec x|+c \&\int \sec x \, \mathrm{d} x=\ln ||tan x+\sec x|+c \\&\int \sin ^2 x \, \mathrm{d} x=\frac{1}{2}(x-\sin x \cos x)+c \&\int \cos ^2 x \, \mathrm{d} x=\frac{1}{2}(x+sin x \cos x)+c \&\int \tan ^2 x \, \mathrm{d} x=tan x-x+c \&\int \sec ^2 x \, \mathrm{d} x=tan x+c \ &\int \sin x \cos ^n x \, \mathrm{d} x=-\frac{\cos ^{n+1} x}{n+1}+c \\ &\int \sin ^n x \cos x \, \mathrm{d} x=\frac{\sin ^{n+1} x{n+1} +&\int \sinh x \, \mathrm{d}x=\cosh x +c \\ &\int \cosh x \, \mathrm{d}x=\sinh x +c\end{aligned} $$
Algunas de las fórmulas anteriores son a su vez derivadas de las otras, las tomamos como fórmulas ya que aparecen con bastante frecuencia al resolver integrales.
Ejemplos de fórmulas de integración
Apliquemos ahora estas fórmulas y resolvamos un par de integrales. Utilizaremos las fórmulas anteriores sin aportar su demostración, a menos que se nos pida una en concreto.
Resuelve la integral indefinida \( \displaystyle \int \cos 4x \, \mathrm{d}x\).
Solución:
Recordemos que \(\int \cos x \, \mathrm{d}x=\sin x+c\), obtenemos aquí:
$$\int \cos 4x \, \mathrm{d}x= \frac{\sin 4x}{4}+c (porque \int f(ax)\, \mathrm{d}x=\frac{F(ax)}{a}+c)$$
Evalúa la integral definida \( \displaystyle \int_0^1 (x+1)^2 \, \mathrm{d}x\).
Solución:
Aquí primero lo integraremos como lo haríamos normalmente, y luego aplicaremos los límites de integración utilizando la propiedad de integración definida (\(\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x=F(b)-F(a)\)).
Utilizando la fórmula \( \int x^n \, \mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\),
$$ \begin{aligned} |int_0^1 (x+1)^2 \, \mathrm{d}x &=left[\frac{(x+1)^3}{3} \right]_0^1 \\ &=\frac{(1+1)^3}{3}-\frac{(0+1)^3}{3} \\ &=frac{8-1}{3} \\ Por tanto, \int_0^1 (x+1)^2, \mathrm{d}x &=\frac{7}{3} \end{aligned}$$
Evalúa la integral \(\int \cos^2 x \, \mathrm{d}x\).
Solución:
En primer lugar, utilizaremos la identidad trigonométrica de doble ángulo \(\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}\):
$$\int \cos^2 x, \mathrm{d}x=\int \frac{1+\cos 2x}{2} \int, \mathrm{d}x$$
Ahora, utilizando las fórmulas integrales \(\int x^n \, \mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\) y \(\int \cos x \, \mathrm{d}x=\sin x+c\):
$$\begin{aligned} \int \cos^2 x \, \mathrm{d}x &=\int \frac{1+\cos 2x}{2} \, \mathrm{d}x \ &=\frac{x}{2}+\frac{sin 2x}{4}+c fin{alineado}$$
Evalúa la integral \(\int_-\pi}^{\pi} \sec x \tan x \, \mathrm{d}x\).
Solución:
Observa que los límites de integración son de la forma \(-a\) a \(a\), lo que significa que primero debemos comprobar si la función dada es par o impar.
$$ \begin{aligned} f(-x) &=\sec (-x) \tan (-x) \\ &=-\sec x \tan x \ \therefore f(-x) &=-f(x) \end{aligned}$$
Por tanto, la función es una función impar. Así que utilizaremos la propiedad de la integral definida: \(\int_{-a}^a f(x) \, \mathrm{d}x = 0\).
Por tanto
$$\int_{-\pi}^{\pi} \sec x \tan x \, \mathrm{d}x =0$$
Evalúa \(\int_{\pi / 3}^{\pi / 2} x \sin x\, \mathrm{d} x\)
Solución:
Observa que tenemos el integrando como producto de dos funciones, por lo que tenemos que utilizar la integración por partes:
\( \begin{align} &u=x \ \, \, \text{and} \v=sin x x, \mathrm{d}x &\, \mathrm{d}u= \mathrm{d} x, \text{y} \quad v=-\cos x \end{align}\})
lo que da como resultado
Inicio \int x \sin x \t, \mathrm{d}x &=-x \cos x-\int-\cos x \t, \mathrm{d}x \t &=-x \cos x+\sin x+c \end{aligned} $$
Por tanto,
$$ \begin{aligned} \int_{\pi / 3}^{\pi / 2} x \sin x \, \mathrm{d}x &=[-x \cos x+\sin x]_{\pi / 3}^{\pi / 2} \ &=\left[\left(-\frac{\pi}{2}\right)\left(\cos \frac{\pi}{2}\right)+\sin \frac{\pi}{2}\right]-\left[\left(-\frac{\pi}{3}\right)\left(\cos \frac{\pi}{3}\right)+\sin \frac{\pi}{3}\right] \\ xml-ph-0000@deepl.internal &=(0+1)-\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ xml-ph-0001@deepl.internal &=1+\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ &=frac 6-3 + ipi 6 \end{aligned}$$
Fórmulas de integración - Puntos clave
- Hay un montón de fórmulas esenciales para la integración, que constituyen los fundamentos para resolver otras integrales.
- Hay algunas fórmulas de integración fundamentales como \int x^n \mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}{n+1}+c, \int e^x \mathrm{d}x =e^x+c, \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x=\log_e x+c\) que dan lugar a integrales polinómicas e integrales exponenciales más complejas.
- Lasfórmulas de integrales trigonométricas son esenciales para las integrales trigonométricas compuestas, son las siguientes: \( \begin{aligned} &\int \cos x \, \mathrm{d}x=\sin x+c, \\int \tan x \, \mathrm{d}x=-\log_e |\cos x|+c, \int \cot x \, \mathrm{d}x=-\log_e |\\sin x|+c, \ & \int \sec^2 x \, \mathrm{d}x=\tan x +c, \int \csc x \, \mathrm{d}x=\log_e ||frac{\tan x}{2}|+c, \ &\int \sec x \tan x \, \mathrm{d}x=\sec x+c, \int \csc^2 x \, \mathrm{d}x=-\cot x+c, \ &\int \csc x \cot x \, \mathrm{d}x=-\cot x+c \end{aligned})
- Estas fórmulas no cambian en el caso de las integrales definidas , y lo único que se añade son los límites de integración. Aunque hay que recordar algunas propiedades.
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Preguntas frecuentes sobre fórmulas de integración
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