El Teorema del Atrapamiento

Utiliza el Teorema del Apriete para evaluar

\lim_{x \rightarrow 0} x^2 \cos \left( \dfrac{1}{x^2} \right)\].

Cuando introducimos $x=0$, nos encontramos con una forma indefinida $cos\left(\frac{1}{0}\right)$. ¡Se trata de un candidato perfecto para el Teorema del Apriete!

La estrategia general para resolver este tipo de problemas del Teorema del Apriete es- empezar con la función trigonométrica,$f(x)=\cos \left({\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)$ en este caso- llegar hasta la función del problema; aquí es \(f(x)=x^2 \cos \left( \dfrac{1}{x^2}\right)\)¡Veamos cómo se hace!

• Paso 1: Haz una desigualdad de doble cara para acotar la función trigonométrica basándote en la naturaleza de la función coseno.
  • Sabemos que la función coseno oscila en el intervalo cerrado $[-1,1]$, es decir, $-1\le cos(x)\le 1$
  • Al representar gráficamente $\cos \left(\frac{1}{x^2}\right)$, comprobamos que f también oscila en el intervalo cerrado $[-1,1]$, es decir, $-1\le \cos \left(\frac{1}{x^2}\right)\le 1$

• Paso 2: Modifica la desigualdad según sea necesario para acotar la función del problema:
  • Nuestra función es $f(x)=x^2\cos \left(\frac{1}{x^2}\right)$, así que multiplicamos nuestra desigualdad de doble cara por $x^2$ y obtenemos

$$\text{Extra close brace or missing open brace}$$.

• Paso 3: Comprueba que las funciones acotadas tienen el mismo límite.
  • Ahora que nuestra función está acotada, debemos comprobar que $li{m}_{x\to 0}-x^2=li{m}_{x\to 0}{x}^2$ para poder aplicar el Teorema del Estrujamiento: \(lim_{x \rightarrow 0}-x^2= lim_{x \rightarrow 0} x^2=0)

• Paso 4: Aplica el Teorema del Apriete
  • Como $li{m}_{x\to 0}-x^2=li{m}_{x\to 0}{x}^2=0$, por el Teorema de la compresión$$li{m}_{x\to 0}{x}^2\cos \left(\frac{1}{x^2}\right)=0$$.

Halla \ (lim_{x \flecha derecha - \infty} \dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}\)

Cuando introducimos $-\mathrm{\infty }$, nos queda la forma indeterminada ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$. De nuevo, como aparece una función trigonométrica, ¡ésta es una candidata perfecta para el Teorema del Apriete!Siguiendo la misma estrategia que antes, empieza con la función trigonométrica $f(x)=\sin (5x)$, y llega hasta

$$f(x)={\displaystyle \frac{7x^2-\sin (5x)}{x^2+15}}$$

¡Echemos un vistazo!

• Paso 1: Haz una desigualdad de doble cara para acotar la función trigonométrica basándote en la naturaleza de la función seno.
  • Sabemos que el seno se comporta como el coseno en el sentido de que oscila en el intervalo cerrado $[-1,1]$.
  • Observando la imagen de abajo, cuando graficamos $-\sin (5x)$, encontramos que:

$$-1\le -\sin (5x)\le 1$$.

Fig. 4. Gráficodel ejemplo 2.

• Paso 2: Modifica la desigualdad según sea necesario para acotar la función del problema
  • Nuestra función es:$$\text{Extra close brace or missing open brace}$$ y nuestra desigualdad de doble cara es: $$-1\le -\sin (5x)\le 1$$
  • Suma $7x^2$ para obtener $$7x^2-1\le 7x^2-\sin (5x)\le 7x^2+1$$.
  • Multiplica por \(\frac{1}{x^2+15}) para obtener $${\displaystyle \frac{7x^2-1}{x^2+15}}\le {\displaystyle \frac{7x^2-\sin (5x)}{x^2+15}}\le {\displaystyle \frac{7x^2+1}{x^2+15}}$$
• Paso 3: Ahora que nuestra función está acotada, debemos comprobar que \lim_x \rightarrow - \infty }dfrac{7x^2-1}{x^2+15}=lim_x \rightarrow -\infty } \dfrac{7x^2+1}{x^2+15}\] Esto con el fin de aplicar el Teorema del Apriete.
  • De nuevo, cuando intentamos introducir $-\mathrm{\infty }$, nos encontramos con una forma indeterminada. Sin embargo, esta vez podemos utilizar la manipulación algebraica para resolver.
  • Multiplica ambos límites por \[\dfrac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}] para obtener \[lim_{x \rightarrow -\infty \dfrac{7- \1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1
  • Ahora, al introducir $-\mathrm{\infty }$, obtenemos ${\displaystyle \frac{7-0}{1+0}}$ y ${\displaystyle \frac{7+0}{1+0}}$, respectivamente, quedando $$\text{Extra close brace or missing open brace}$$

• Paso 4: Aplica el teorema del estrujamiento
  • Puesto que [lim_{x \rightarrow -\infty} \7x^2-1}{x^2-15}=lim_x flecha-derecha -infty \7x^2+1}{x^2-15}=7], entonces, por el Teorema del Estrujamiento: \lim_{x \rightarrow -\infty } \dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}=7].