Integración

Definición de integración

Conceptualmente, la integración puede considerarse como lo "opuesto" a la diferenciación. Ambas son operaciones matemáticas que se tratan en el campo matemático del cálculo.

Hay dos tipos principales de integración: definida e indefinida. Una integral definida tiene límites reales y da un valor numérico, que puede representar una magnitud física como un área. Una integral indefinida no tiene límites establecidos y da como resultado una función, a menudo representada por una gráfica.

Integración definida

Una integral definidaes una integral con límites, por lo que podríamos verla como el área bajo una función entre dos puntos, digamos el punto a y el punto b. Para una función f(x), la escribiríamos como \(\int^{b}_a f(x) dx\). Esto puede visualizarse como

Visualización de una integral definida

La forma de visualizarlo es dividir el área bajo la función en n franjas iguales entre a y b. Esto significa que tenemos la anchura de cada franja, \(\delta x = \frac{b-a}{n}\). Luego tomamos la altura de cada franja como \(f(x_i^*)\), con el punto \(x^*_i\) en algún punto de la franja i. Esto se muestra a continuación.

Visualización de una integral definida

El área de las franjas en este punto viene dada como \(\suma^n_{i=1} f(x_i^*) \delta x\). Para hallar el valor de la integral, necesitamos utilizar un número infinito de tiras para cubrir totalmente el interior de la curva. Esto significa que, al tomar el límite, obtenemos \(\lim_{n \rightarrow \infty} \suma^n_{i=1} f(x^*_i) \Delta x = \int^b_a f(x)dx\).

\(\lim_n \flecha_derecha \infty} \suma^n_{i=1} f(x^*_i) \Delta x = \int^b_a f(x)dx\). En la práctica, esto resulta más fácil, ya que hallamos la antiderivada (sin la constante de integración) y luego la evaluamos en los dos límites, alejando el límite inferior del superior.

Integrales indefinidas

El objetivo de una integración indefinida es hallar la antiderivada. La antiderivada viene dada como una función y no nos indica directamente el área bajo la función. Si queremos comprobar si tenemos la antiderivada correcta, podemos diferenciar la antiderivada, y deberíamos llegar de nuevo a la función original. Si nuestra función original es f(x), a menudo denotamos F(x) como la antiderivada de f(x).

Cuando hallamos una integral indefinida, es importante que añadamos una constante de integración, lo que significa que si halláramos \(\int{f(x) dx}\), daríamos nuestra respuesta como F(x) + C. Este + C refleja que esta función antiderivada podría tener cualquier constante y seguir diferenciándose a la función original.

Reglas de integración

1. Para constantes a y b, y funciones f, g, entonces \(\int(af(x) + bg(x)) dx = a\int f(x)dx + b\int g(x) dx\)
2. \(\int^b_a f(x) dx = -\int^{a}_b f(x) dx\)
3. \(\int^{a}_a f(x) dx= 0\)
4. para \( c \espacio \epsilon \espacio [a, b], \int^b_a f(x)dx = \int^c_a f(x)dx + \int^b_c f(x)dx\)

Métodos de integración

No todas las antiderivadas pueden hallarse fácilmente por inspección. En este caso, podemos utilizar en su lugar un método de integración que nos permita hallar la antiderivada.

Integración por piezas

Por la regla del producto (como se ha visto en la diferenciación), para dos funciones u(x) y v(x) entonces \((u(x)v(x))' = u(x)v'(x) + u'(x)v(x)\)

Si integramos ambos lados con respecto a x, obtenemos \(\int{(u(x) v(x))'dx} = \int{u(x) v'(x)dx} + \int{u'(x)v(x)dx})

que entonces se simplifica a -

\(u(x)v(x) = \int{u(x)v'(x)dx} + \int{u'(x)v(x)dx}\)

Reorganizamos esto para

\(\int{u(x)v'(x)dx} = u(x)v(x) - \int{u'(x)v(x)dx}\)

Ésta es ahora nuestra fórmula de integración por partes, y lo demostraremos con un ejemplo.

Integración por sustitución

También existe la opción de utilizar la sustitución para simplificar una integral. Aquí cambiamos la variable respecto a la que integramos. En el caso de una integral definida, también hay que cambiar los límites mediante la sustitución. También debemos cambiar el integrando. Esto se demuestra mejor con un ejemplo. Intentar elegir la sustitución correcta lleva su tiempo. Sin embargo, resulta más fácil.

Integración paramétrica

También se nos puede dar una función paramétricamente y esperar que la integremos. Supongamos que nos dan que \(y = f(t)\) y \(x = g(t)\), entonces la integral de la curva definida por estas funciones viene dada como \(\int{y \frac{dx}{dt} dt}). Podemos pensar que los dt se anulan para dar \(\int y \space dx\), que es lo que esperaríamos en una integral normal.

Ejemplos de integración

En el apartado siguiente, repasaremos ejemplos trabajados de integrales, y utilizaremos las reglas de integración mostradas anteriormente para explicarlos.

Integración de polinomios

De la derivada de un polinomio, debes saber que \(\frac{d}{dx}x^n =nx^{n-1}\). Para una integral, podemos invertir esto para obtener \(\int{x^n \space dx} = \frac{1}{n+1} x^{n+1}, \space n≠-1\). Esta regla se convertirá en algo natural cuantas más integrales hagas.

Integrando \(\frac{1}{x}\)

La fórmula anterior para polinomios no funcionará para \(\frac{1}{x}\). Así que veámoslo de otra manera:

\(\int{frac{1}{x} dx}\). Dejemos que \(x = e^y\), entonces \(\frac{dx}{dy} = e^y\) por lo que \(dx = e^y dy\).

Rellenando esto, obtenemos \(\int{frac{1}{x} dx} = \int{frac{1}{e^y} \cdot e^y dy} = \int dy = y = \ln|x| +C\)

Observa que ponemos x en una función módulo para garantizar que la entrada del logaritmo es válida. Podemos ampliar esto aún más. Haciendo una sustitución adecuada, podemos demostrar \(\int{{frac{f'(x)}{f(x)} dx} = \ln|f(x)| + C\).

Integrar funciones trigonométricas

Como todo lo que hemos visto hasta ahora, podemos tratar la integración como la inversa de la diferenciación, y esto continúa con las funciones trigonométricas. Puede que tengamos que utilizar sustituciones para resolverlas, y también podemos introducir las funciones trigonométricas como una sustitución.