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La Serie p

Supongamos que cada vez que compras comida rápida te dan un boleto, y si reúnes todos los tipos diferentes de boletos ganarás más comida rápida. Si hay distintos tipos de boletos, ¿cuántas veces tienes que comprar comida rápida para esperar ganar un premio? Esto se llama el Problema del Coleccionista de Cupones, y es una aplicación de la serie armónica.

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¿Cuándo converge una serie p?

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¿Cómo se llama una serie p cuando p = 1?

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Última actualización: 01.01.1970
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Este artículo explorará una generalización de la serie armónica, la serie p, su definición o suma, el criterio de convergencia y otras pruebas de convergencia relacionadas.

Suma de series p

En primer lugar, ¿qué es una serie armónica? Es un tipo de serie p. Ahora tienes que saber qué es una serie p.

Una serie p es una serie de la forma

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{n})}^{p} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$

donde $p$ es un número real.

Cuando esto se denomina serie armónica.

Decide si la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt[4]{n}}{n^{5}}$

es una serie p o no.

Contesta:

A primera vista no parece una serie p, pero hagamos un poco de álgebra para estar seguros. Aquí

$\frac{\sqrt[4]{n}}{n^{5}} = \frac{n^{\frac{1}{4}}}{n^{5}} = \frac{1}{n^{5} \cdot n^{- \frac{1}{4}}} = \frac{1}{n^{5 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{n^{\frac{19}{4}}} = {(\frac{1}{n})}^{\frac{19}{4}}$

así que, efectivamente, se trata de una serie p.

¿Es la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}}$

una serie p?

Respuesta:

No, porque en una serie p tiene que ser $\frac{1}{n}$ elevada a una potencia constante, no una constante elevada a la $n$ potencia. De hecho, esta serie también tiene un nombre especial, se llama serie Geométrica. Para más información sobre este tipo de series, consulta Series geométricas.

La serie p y la prueba integral

Para más información sobre por qué funciona la Prueba Integral y cómo utilizarla, consulta Prueba Integral. Veamos un ejemplo de aplicación de la Prueba Integral a la serie p.

¿La serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \sqrt[3]{n}}$

converge o diverge?

Contesta:

Aunque no parezca una serie p, recuerda que

$\frac{1}{n \cdot \sqrt[3]{n}} = \frac{1}{n \cdot n^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$ ,

por lo que en realidad se trata de una serie p. Para utilizar la Prueba Integral, toma la función

$f (x) = \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ .

Esta función es decreciente, continua y positiva para lo que significa que se cumplen las condiciones para aplicar la Prueba Integral. Luego integra,

$\int_{1}^{\infty} f (x) d x = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}} d x = \int_{1}^{\infty} x^{- \frac{4}{3}} d x = \lim_{k \to \infty} \int_{1}^{k} x^{- \frac{4}{3}} d x = \lim_{k \to \infty} [{- 3 x^{- \frac{1}{3}}}_{1}^{k}] = \lim_{k \to \infty} [- 3 k^{- \frac{1}{3}} - (- 3)] = 3 .$

Como la integral converge, por la Prueba Integral la serie también converge.

Convergencia de la serie p

Averiguar cuándo converge y diverge una serie p general también es una aplicación de la Prueba Integral.

Prueba de la convergencia de las series p

Para demostrar si la serie p converge o diverge, utilizarías la Prueba Integral exactamente igual que en el ejemplo anterior, pero con un valor general para $p$ en lugar del $p = \frac{4}{3}$ utilizado en el ejemplo. Puedes enunciar los resultados de esa Prueba Integral como:

Utilizando la Prueba Integral puedes comprobarlo:

Si $p > 1$ la serie p converge,
Si $p \leq 1$ la serie p diverge.

A veces, la información de la Profundidad anterior se denomina Prueba de la serie p, aunque en realidad se trata de propiedades de la serie p y no de una prueba real.

Esto significa que la serie armónica diverge. Cómo puedes utilizar esto en el Problema del Coleccionista de Cupones está más allá de lo que tratará este artículo, pero si hay 50 tipos diferentes de cupones, puedes esperar comprar comida rápida unas 225 veces diferentes para reunir todos los cupones, ¡y eso suponiendo que no haya ninguno raro!

¿La serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$

converge o diverge?

Responde:

En este ejemplo $p = 2$ . Puesto que $p > 1$ esta serie converge.

Explica por qué la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{n})}^{- 2}$ diverge escribiendo algunas de las sumas parciales y mostrando lo que ocurre.

Responde:

Escribiendo las sumas parciales,

$\begin{matrix} s_{1} & = & {(\frac{1}{1})}^{- 2} = 1 \\ s_{2} & = & s_{1} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} = 1 + 4 = 5 \\ s_{3} & = & s_{2 +} {(\frac{1}{3})}^{- 2} = 5 + 9 = 14, \end{matrix}$

y como puedes ver no hacen más que aumentar. Eso significa que la serie diverge.

La serie p y la prueba de comparación

En general, la serie p no es una serie cuya suma vayas a encontrar realmente. En cambio, como sabes exactamente qué la hace converger o divergir, es útil para comparar otras series con ella. Para más información sobre las pruebas de convergencia, consulta Pruebas de convergencia, pero recuerda que para utilizar la Prueba de comparación necesitas

una serie con términos positivos con la que puedas comparar, y
poder decir si tu serie con términos positivos diverge o converge.

La serie p tiene términos positivos, y es fácil saber si converge o diverge. Por eso es muy útil cuando intentas aplicar la Prueba de Comparación.

Decide si la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{2} 3^{n}}$

converge o diverge.

Contesta:

Primero reescribamos la serie en cuestión como

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{n} \frac{1}{n^{2}}$ .

Ya sabes que la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$

es una serie p con $p = 2$ y converge. También tiene todos los términos positivos. Así que si puedes aplastar los términos de la serie que estás viendo (que también tiene todos los términos positivos) bajo los términos de la serie p, puedes utilizar la Prueba de Comparación para decir que la nueva serie converge.

Observando

${(\frac{2}{3})}^{n}$ ,

porque $n \geq 1$ puedes decir que

${(\frac{2}{3})}^{n} < 1$ .

Así que

${(\frac{2}{3})}^{n} {(\frac{1}{n})}^{2} < 1 \cdot {(\frac{1}{n})}^{2} = {(\frac{1}{n})}^{2}$ .

Eso significa que por la Prueba de Comparación utilizando la serie p con , la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{2} 3^{n}}$

converge.

Series p - Puntos clave

Una serie p es una serie de la forma
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$
donde es un número real.
Cuando la serie p se llama serie armónica.
Si , la serie p converge.
Si , la serie p diverge.

Tarjetas en La Serie p 3

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¿Cuándo converge una serie p?

Cuando p > 1.

¿Qué es una serie p?

Una serie de la forma ∑ (n/p).

¿Cómo se llama una serie p cuando p = 1?

Serie armónica.

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Preguntas frecuentes sobre La Serie p

¿Qué es la Serie p en Matemáticas?

La Serie p es una serie infinita de la forma Σ(1/n^p), donde p es una constante real.

¿Cuándo convergen las Series p?

Las Series p convergen si y solo si el exponente p es mayor que 1.

¿Cuál es la diferencia entre convergencia y divergencia en las Series p?

La convergencia ocurre cuando la serie tiene un límite finito; la divergencia ocurre cuando no tiene un límite finito.

¿Cómo se aplica la prueba de la Serie p?

La prueba de la Serie p se aplica verificando si el exponente p es mayor o igual a 1. Si p > 1, la serie converge; si p ≤ 1, diverge.

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